1.6.2　兩個重要極限

1.

證　首先注意到，函數(shù)一切x≠0都有意義，并且當x改變符號時，函數(shù)值的符號不變，即是一個偶函數(shù)，所以只需對x從右側(cè)趨于零時來論證，即只需證明

作單位圓，設圓心角∠BOC=x，過點B的切線與OC的延長線相交于D，又CA⊥OB，由圖1-15知

sinx=AC，x=，tanx=BD.

而

△OBC的面積<扇形BOC的面積<△OBD的面積，

故

即

sinx<x<tanx.

不等號各邊都除以sinx（sinx>0），得

從而

這里利用 .

由 ，根據(jù)夾逼準則2可得

綜上所述， .

例3　求

解　.

例4　求.

解　令u=3x，則當x→0時，u→0，所以

注　如果正弦、正切符號后面的變量與分母的變量相同，且都趨于零，則有

例5　求.

例6　求

例7　求.

解　令u=arcsinx，則x=sinu，當x→0時，u→0，所以

2.

證　第一步：考慮x取正整數(shù)n，即x趨于+∞的情形來證明.

設，證明{an}是單調(diào)遞增并且有界的數(shù)列.

由an表達式可知，

比較an與an+1的展開式，可以看到除前兩項外，an的每一項都小于an+1的對應項，并且an+1還多了最后一個非零項，因此an<an+1，即{an}是單調(diào)遞增數(shù)列.

又因為都小于1，所以

即數(shù)列{an}是單調(diào)遞增有界數(shù)列，根據(jù)極限存在準則2，數(shù)列{an}的極限存在，將此極限記為e，即 .

第二步：首先考慮當x→+∞時的情形，即證明

設{xn}是趨于+∞的任一單調(diào)遞增正實數(shù)數(shù)列，則必存在正整數(shù)數(shù)列{bn}，使得

bn≤xn<bn+1.

由此可得

又因為

由夾逼準則知

由實數(shù)列{xn}的任意性知

對于x→-∞時的情形，采用類似x→+∞時的推導過程，只需令xn=-yn即可，這里不再贅述.

綜上所述　　.

注　這個極限也可換成另一種形式.

令，當x→∞時，u→0，于是有

例8　求

例9　求

例10　求.

則

例11　求.

例12　求.

例13　求.

解　令u=ex-1，即x=ln（1+u），則當x→0時，u→0，于是

利用例10的結(jié)果，可知上述極限為1，即

例14　求.

解　而

由冪指函數(shù)極限的求法，得