§1.6　極限存在準則及兩個重要極限

1.6.1　極限存在準則

1.夾逼準則

準則1　如果數列{an}，{bn}，{cn}滿足下列條件：

（1）自某項起，有bn≤an≤cn；

（2

那么數列{an}極限存在，且 =a.

這一準則可以這樣理解：由知，當n→∞時，bn，cn無限接近于a，而bn≤an≤cn，因此an也無限接近于a.

上述數列極限的夾逼準則可以推廣到函數的極限.

準則2　如果函數f（x），g（x），h（x）滿足下列條件：

（1）在x0的某去心鄰域內，有g（x）≤f（x）≤h（x）；

（2）那么存在，且極限等于A.

注　準則2對其他類型的極限也有類似的結論.準則2的幾何解釋如圖1-14所示.

例1　求

解　由于

而

由準則1知，.

2.單調有界收斂準則

首先介紹單調數列的定義.

定義　若數列{an}滿足條件

an≤an+1（或an≥an+1），n∈Z+；

則稱數列{an}是單調遞增的（或單調遞減的），單調遞增和單調遞減的數列統稱為單調數列.

準則3　單調有界數列必有極限.

從數軸上直觀分析，準則3的結論是顯然的.因為an作為數軸上的動點，若{an}是單調遞增數列，則動點an只能向右移動，所以只有兩種可能情形：

（1）向右無限遠離原點；

（2）向右無限趨近于某個定點，也就是說數列{an}趨于一個定值.

由于{an}是一個有界數列，即存在正數M，使得對任意n∈Z+滿足an∈[-M，M]，所以第一種情況是不成立的，從而表明這個數列趨于一個定值，也就是說數列{an}的極限存在，并且數列極限的絕對值不超過M.

從上面的分析不難得到下面的結論：單調遞增（或單調遞減）有上界（或下界）數列必有極限.

例2　設數列a1=

證　數列{an}顯然是單調遞增的.因為a1=，不妨設an-1<2，則

即數列{an}是單調遞增的有界數列.

由準則3知存在，設，對an=兩側同時取極限得，a2=2+a，即a=2或a=-1，由an>0知，a=-1舍去，所以=2.