1.2.4　反函數

1.反函數的定義

定義2　設函數y=f（x）的定義域是Df，值域是Rf.如果對于任意y∈Rf，都有唯一對應值x∈Df與之對應，并且滿足y=f（x），則x是定義在Rf上以y為自變量的函數，記此函數為x=f-1（y），y∈Rf，并稱其為函數y=f（x）的反函數.

由定義2知，函數y=f（x）的反函數x=f-1（y）的定義域為y=f（x）的值域Rf，值域為y=f（x）的定義域Df.

習慣上，常用x表示自變量，y表示因變量，因此將x=f-1（y）改寫為y=f-1（x）.從圖像上看，函數y=f（x）與其反函數y=f-1（x）的圖像是關于直線y=x對稱的.

注　（1）只有一一對應的函數（自變量的不同取值對應因變量的值也不同）才有反函數.例如，函數y=x2在區間（0，+∞）內的反函數是，而在區間（-∞，0）內的反函數是

（2）單調函數必有反函數，且反函數也是嚴格單調的；

（3）函數y=f（x）與其反函數y=f-1（x）的定義域、值域地位交換可得.例如，正弦函數y=sinx，，y∈[-1，1]的反函數為反正弦函數y=arcsinx，x∈[-1，1]，；余弦函數y=cosx，x∈[0，π]，y∈[-1，1]的反函數為反余弦函數y=arccosx，x∈[-1，1]，y∈[0，π]；

2.求反函數的一般步驟

（1）把x作為未知量，從方程y=f（x）中解出，得到x=f-1（y）；

（2）所得的表達式中x與y對換，即得y=f-1（x）.

例5　求函數y=2x-1的反函數.

解　由y=2x-1得，用x表示自變量，y表示因變量，于是得y=2x-1的反函數是.

例6　設函數，則f-1（x）=.

解　分別求出各區間上的反函數與定義域（原函數的值域）.

當x<0時，由y=x-1解得x=y+1；

當x≥0時，由y=x2解得

將x，y位置互換，得反函數