§1.3　數列的極限

1.3.1　概念的引入

極限的概念是由求某些實際問題的精確解答而產生的.例如，我國魏晉時期杰出的數學家劉徽提出了利用圓的內接正多邊形的面積來推算圓的面積的方法——割圓術.做法如下：

設圓的半徑為1，先作圓的內接正六邊形，把它的面積記為A1；再作內接正十二邊形，其面積記為A2；再作內接正二十四邊形，其面積記為A3；依此類推，每次邊數加倍，這樣得到一系列圓的內接正多邊形的面積

A1，A2，A3，…，An，….

它們構成一列有次序的數，隨著n的增大，內接正多邊形的面積與圓的面積差別越來越小，從而以An作為圓的面積的近似值的誤差越來越小，但無論n多大，只要n取定，An終究是正多邊形的面積，而不是圓的面積.因此，設想讓n無限增大，即內接正多邊形的邊數無限增加，在這個過程中，內接正多邊形無限接近于圓，同時圓內接正多邊形的面積A1，A2，A3，…，An，…將無限接近于某一個確定的數值，即圓的面積.正如劉徽所說“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”.這個“無限接近”的過程充分體現了極限理論的思想.

定義1　按正整數順序1，2，3，…排列的無窮多個數，稱為數列.數列通常記作

a1，a2，…，an，…；

或簡記作{an}.數列的每個數稱為數列的項，第n項an稱為數列的通項或一般項.

例如，

都是數列.它們的通項依次為

注　（1）在幾何上，數列對應著數軸上的一個點列，可看作一動點在數軸上依次取a1，a2，…，an，…，如圖1-2所示.

（2）從函數的觀點來看，數列可以看作以正整數集Z+為定義域的函數an=f（n），當自變量n按照從小到大的順序依次取值時，對應的一列函數值就排列成數列{an}，而數列的通項公式就是相應函數的解析式.

對于數列{an}，主要研究當n無限增大時，通項an的變化趨勢.