第1章　函數、極限與連續

一、基本概念與基本公式

1.鄰域的概念

設δ是一正數，則稱開區間（a-δ，a+δ）為點a的δ鄰域，記作U（a，δ），即

U（a，δ）={x|a-δ＜x＜a+δ}={x||x-a|＜δ}.

其中，點a稱為鄰域的中心，δ稱為鄰域的半徑.

2.函數的概念

設x，y是兩個變量，若當x在某個實數范圍D內取值時，變量y按照某種對應的規則f，有唯一一個y與之對應，則稱變量y是x的函數.表示為y=f（x），x∈D，其中x稱為自變量，y稱為因變量（或函數）.D稱為函數f（x）的定義域，記作Df.函數值的集合稱為函數f的值域，記作Rf，即Rf={y|y=f（x），x∈D}.

3.函數的性質

（1）函數的有界性　設函數f（x）在數集D有定義，若對?x∈D，?M＞0，使得|f（x）|≤M，則稱函數f（x）在D上有界，否則稱函數f（x）在D無界.

（2）函數的單調性　設函數f（x）在數集D有定義，若對?x1，x2∈D，且x1＜x2，有f（x1）＜f（x2）f（x1）＞f（x2）），則稱函數f（x）在D上單調增加（單調減少）.

（3）函數的奇偶性　設函數f（x）在數集D有定義，若對?x∈D，有-x∈D，且f（-x）=-f（x）（f（-x）=f（x）），則稱函數f（x）是奇函數（或偶函數）.

（4）函數的周期性　設函數f（x）在數集D有定義，若對?x∈D，?l＞0，有x±l∈D，且f（x±l）=f（x），則稱函數f（x）是周期函數，l稱為函數f（x）的一個周期，通常將最小正周期稱為函數f（x）的基本周期，簡稱為周期.

4.基本初等函數

（1）常數函數　y=C（常數），x∈（-∞，+∞）.

（2）冪函數　y=xα（α為實數）.

（3）指數函數　y=ax　（a＞0，a≠1），x∈（-∞，+∞），y∈（0，+∞）.

（4）對數函數　y=logax　（a＞0，a≠1），x∈（0，+∞），y∈（-∞，+∞）.

（5）三角函數

正弦函數　y=sinx，x∈（-∞，+∞），y∈[-1，1].

余弦函數　y=cosx，x∈（-∞，+∞），y∈[-1，1].

正切函數　y=tanx，，n=0，±1，±2，…，y∈（-∞，+∞）.

余切函數　y=cotx，x≠nπ，n=0，±1，±2，…，y∈（-∞，+∞）.

正割函數　.

余割函數　.

（6）反三角函數

反正弦函數　y=arcsinx，x∈[-1，1]，.

反余弦函數　y=arccosx，x∈[-1，1]，y∈[0，π].

反正切函數　y=arctanx，x∈（-∞，+∞），.

反余切函數　y=arccotx，x∈（-∞，+∞），y∈（0，π）.

5.復合函數

定義　設函數z=f（y）定義在數集M上，函數y=φ（x）定義在數集D上，G是D中使y=φ（x）∈M的x的非空子集，即G={x|x∈D，φ（x）∈M}≠ф，對?x∈G，對應唯一一個y∈M，再按照對應關系f對應唯一一個z，即?x∈G都對應唯一一個z，于是在G上定義了一個函數，稱為y=φ（x）與z=f（y）的復合函數，表示為z=f（g（x）），x∈G.

6.數列極限

（1）定義　設數列{xn}，a是常數.若數列的項數n無限增大時，數列{xn}的值無限趨近于常數a，則稱數列{xn}的極限是a或數列{xn}收斂于a.記作或xn→a（n→∞）.若數列{xn}不存在極限，則稱數列{xn}發散.

*數列{xn}的極限是a，又可以精確表述為：設數列{xn}，a是常數，對任意ε＞0，總存在自然數N，對任意正整數n，若n＞N時，有|xn-a|＜ε，則稱數列{xn}的極限是a.

（2）收斂數列的性質

ⅰ.極限的唯一性　若數列{xn}的極限存在，則該極限一定唯一.

ⅱ.收斂數列的有界性　如果數列{xn}收斂，則數列{xn}一定有界.

ⅲ.收斂數列的保號性　如果數列{xn}收斂于a，且a＞0（或a＜0），那么存在正整數N，當n＞N時，有xn＞0（或xn＜0）.

ⅳ.收斂數列與其子數列間的關系　如果數列{xn}收斂于a，那么它的任一子數列也收斂，且極限也是a.

7.函數極限

（1）x→∞時，函數f（x）的極限

定義1（描述性定義）　對于函數f（x），如果當x的絕對值無限增大時，對應的函數值f（x）無限接近于一個確定的常數A，則稱常數A為函數f（x）當x→∞時的極限.

*定義2（ε-X定義）　對于任意給定的正數ε，如果存在一個正數X，使得當|x|＞X時的一切x，都能使不等式|f（x）-A|＜ε恒成立，則稱常數A為函數f（x）當x→∞時的極限.記為，或f（x）→A（x→∞）.

（2）x→x0時，函數f（x）的極限

定義1（描述性定義）　對于函數f（x），如果當x無限趨近于常數x0時，對應的函數值f（x）無限接近于一個確定的常數A，則稱常數A為函數f（x）當x→x0時的極限.

*定義2（ε-δ定義）　對于任意給定的正數ε，如果存在一個正數δ，使得當0＜|x-x0|＜δ時的一切x，都能使不等式|f（x）-A|＜ε恒成立，則稱常數A為函數f（x）當x→x0時的極限.記為，或f（x）→A（x→x0）.

（3）當x→x0時，函數f（x）的左、右極限

定義　如果當時，函數f（x）無限接近于一個確定的常數A，那么A就叫做函數f（x）當x→x0時的左極限，記為或f（x0-0）=A.

如果當時，函數f（x）無限接近于一個確定的常數A，那么A就叫做函數f（x）當x→x0時的右極限，記為或f（x0+0）=A.

顯然，函數f（x）當x→x0時極限存在的充分必要條件是：f（x）在x0處的左右極限都存在并且相等，即f（x0-0）=f（x0+0）=A.

（4）函數極限的性質

ⅰ.唯一性　若f（x）當x→x0（或x→∞）時極限存在，則其極限一定唯一.

ⅱ.局部有界性　若f（x）當x→x0時極限存在，則一定存在正數δ，使得當0＜|x-x0|＜δ時，函數f（x）有界.

ⅲ.局部保號性若，且A＞0（或A＜0），那么存在δ＞0，當0＜|x-x0|＜δ時，有f（x）＞0（或f（x）＜0）.

ⅳ.函數極限與數列極限的關系　如果當x→x0時f（x）的極限存在，{xn}為f（x）的定義域內任一收斂于x0的數列，且滿足xn≠x0（n∈N+），那么相應的函數值數列{f（xn）}必收斂，且.

8.無窮小量

（1）定義　若，則稱函數f（x）是x→x0時的無窮小.

性質1　若函數f（x）與g（x）都是無窮小，則函數f（x）±g（x）也是無窮小.

性質2　若函數f（x）與g（x）都是無窮小，則函數f（x）·g（x）也是無窮小.

性質3　若函數f（x）是無窮小，而函數g（x）有界，則函數f（x）·g（x）也是無窮小.

性質4　若極限，則f（x）=A+α（x），其中α（x）（x→x0）是無窮小.

（2）無窮小的比較

設α和β都是在x→x0（或x→∞）時的無窮小.

ⅰ.如果，則稱β是比α高階的無窮小；

ⅱ.如果，則稱β是比α低階的無窮小；

ⅲ.如果（C為不等于零的常數），則稱β是與α同階的無窮小；特別地，當C=1時，稱β與α是等價無窮小，記為α～β；

ⅳ.如果（C為不等于零的常數），則稱β是α的k階無窮小.

（3）常用等價無窮小

ln（1+x）～x；ex-1～x；ax-1～xlna；（1+x）μ-1～μx

9.無窮大量

（1）定義　如果當x→x0（或x→∞）時，函數f（x）的絕對值無限增大，那么函數f（x）叫做當x→x0（或x→∞）時的無窮大量，簡稱無窮大.

（2）性質　在自變量的同一變化過程中，若f（x）為無窮大，則為無窮小；反之，若f（x）為無窮小，且f（x）≠0，則為無窮大.

10.極限的運算法則

（1）四則運算　如果limf（x）=A，limg（x）=B，那么，

（1）lim[f（x）±g（x）]=limf（x）±limg（x）=A±B；

（2）limf（x）g（x）=limf（x）·limg（x）=A·B；

（3），其中B≠0.

（2）復合函數極限　設有復合函數f（g（x）），若；，有；，則.

11.極限的存在準則

準則Ⅰ　如果數列{xn}、{yn}和{zn}滿足下列條件：

（1）從某項起，即?n0∈N，當n＞n0時，有yn≤xn≤zn；（2），，那么數列{xn}的極限存在，且.

準則Ⅱ　單調有界數列必有極限.

12.兩個重要極限

13.函數的連續性

（1）連續

定義1　設函數y=f（x）在點x0及其近旁有定義，如果當自變量x在點x0處的增量Δx趨近于零時，函數y=f（x）相應的增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）也趨近于零，則稱函數y=f（x）在點x0連續.或.

定義2　設函數y=f（x）在點x0及其近旁有定義，如果函數f（x）當x→x0時的極限存在，且等于它在點x0處的函數值f（x0），即若，則稱函數在點x0連續.

（2）左、右連續

如果函數y=f（x）在（a，b）內連續，且（此時稱y=f（x）在x=a右連續）及（此時稱y=f（x）在x=b左連續），則稱y=f（x）在閉區間[a，b]上連續.

（3）閉區間上連續函數的性質

ⅰ.最值定理　如果y=f（x）在區間a[，b]上連續，則f（x）在[a，b]上一定取得最大值和最小值.

ⅱ.介值定理　如果y=f（x）在閉區間a[，b]上連續，且f（a）=A，f（b）=B（A≠B），則對于介于A和B之間的任何實數C，至少存在一點ξ∈（a，b）使f（ξ）=C.

ⅲ.零點定理　如果函數y=f（x）在閉區間[a，b]上連續，且f（a）和f（b）異號，那么至少存在一點ξ∈（a，b），使得f（ξ）=0（a＜ξ＜b）.

14.函數的間斷點

如果函數f（x）有下列三種情形之一：

（1）函數f（x）在x=x0沒有定義；

（2）函數f（x）在x=x0有定義，但不存在；

（3）函數f（x）在x=x0有定義，且存在，但，則函數f（x）在點x0不連續.我們把點x0叫做函數f（x）的不連續點或間斷點.

如果x0是函數f（x）的間斷點，但左極限及右極限都存在，那么x0稱為函數f（x）的第一類間斷點.不是第一類間斷點的任何間斷點，稱為第二類間斷點.在第一類間斷點中，左、右極限相等者稱為可去間斷點，不相等者稱為跳躍間斷點.無窮間斷點和振蕩間斷點顯然是第二類間斷點.