二、習題詳解

習題1.1

1.求下列函數的定義域.

解　（1）要使有意義，則4-x2≥0，即|x|≤2.所以定義域為[-2，2].

（2）當x≠3且x≠1時，有意義；而要使有意義，必須x+2≥0，故函數的定義域為[-2，1），（1，3），（3，+∞）.

（3）當x≤3時，有意義；又當x≠0時，有意義，故函數的定義域為（-∞，0），（0，3].

（4）當2kπ≤x≤（2k+1）π（k=0，±1，±2，…）時，有意義；又要使有意義，必須有-4≤x≤4.所以函數的定義域為[-4，-π]，[0，π].

2.設，求f（3），f（2），f（0），，.

3.設，g（x）=-x2+4x-3，求f（g（x））的定義域.

解　，因此要使有意義，必須使1≤x≤3.即f（g（x））的定義域為[1，3].

4.設f（x）的定義域是[0，1]，求f（sinx）的定義域.

解　當0≤sinx≤1時，f（sinx）有意義，故其定義域為[2kπ，（2k+1）π]（k=0，±1，±2，…）.

5.設，求f（x-1）+f（x+1）.

6.設 ，g（x）=x2+1，求f-1（x），f（g（x）），g（f（x））.

解　f-1（x）=f（x）；；.

7.設f（x）滿足2f（x）+f（1-x）=x2，求f（x）.

解　　2f（x）+f（1-x）=x2　　（1）

令x=1-t　得

2f（1-t）+f（t）=（1-t）2

2f（1-x）+f（x）=（1-x）2　　（2）

由式（1）和式（2）得　　.

8.設f（x）為奇函數，g（x）為偶函數，試證：f（f（x））為奇函數，g（f（x））為偶函數.

解　因為f（f（-x））=f（-f（x））=-f（f（x）），故f（f（x））為奇函數.

因為g（f（-x））=g（-f（x））=g（f（x）），故g（f（x））為偶函數.

9.證明在（-∞，+∞）上有界.

證　當|x|≥1時，x2≤x4，因此；當|x|＜1時，.所以對任意x∈（-∞，+∞），|f（x）|≤2，即f（x）有界.

10.將下列函數拆開成若干基本初等函數的復合：

（1）y=sin3（1+2x）；　　（2）.

解　（1）y=u3，u=sinv，v=1+2x.

（2）y=10u，u=v2，v=2x-1.

11.一球的半徑為r，作外切于球的正圓錐，試將其體積表示為高的函數，并說明定義域.

解　設正圓錐的高為h，底面半徑為R，體積為V，由立體幾何學知：.又利用兩直角三角形相似可得，所以，.