第一節　在多組檢測數據中無對比組時的檢驗

設共有N組檢測數據，每組中有n個數據，但其中沒有一組檢測數據可用作對比。此時有兩種檢驗方法。

方法一：

（1）選定顯著性水平a值，此a值代表了各平均值之間事實上是一致的，但得到的結論是它們之間不一致的概率。

（2）按式（3-1）計算各組檢測數據相應的標準偏差S1，S2，…，SN。

（3）如各組檢測次數相等，即n1=n2=…=nN=nP，則按下式計算總的標準偏差Se：

　　（5-1）

如各組檢測次數不等，即n1≠n2≠…≠nN。則按下式計算總的標準偏差Se：

　　（5-2）

（4）查表5-1，其中N為總的檢測數據的組數，即平均值的個數，自由度v為（n1+n2+…+nN）-N。a為選定值，可查得相應的q1-a值。

（5）根據下式計算w值：

　　（5-3）

（6）結論：如各組平均值中差異最大的兩個平均值之間的絕對差大于以上計算得的w值，則可認為平均值之間，在顯著性水平為100a%下有顯著差異；反之，如這一絕對差小于計算得的w值，則在顯著性水平為100a%下，沒有理由認為平均值之間有顯著差異。

設共有N個平均值，如每兩個平均值作為一對互相比較差異的話，一共可以得到N（N-1）/2對。此時任何一對平均值（，）之間的差值，在可信水平為100（1-a）%下，它的范圍為：。

例5-1　一樣品在四種不同條件下測定其中某一物質的含量，所得結果見表5-2。

檢驗各結果的平均值之間是否存在顯著差異？

解：

（1）選定顯著性水平a=0.05。

（2）按式（3-1）計算各組檢測數據的相應的標準偏差，將計算結果列入表5-2。

（3）由于各組的平行測定次數相等n1=n2=n3=n4=3，按式（5-1）計算總的標準偏差Se：

（4）查表5-1：N=4，v=（n1+n2+n3+n4）-N=8，a為0.05，查得q0.95=4.53。

（5）按式（5-3）計算w值：

（6）四組數據中，各組平均值中差異最大的平均值為=102和=92，它們之差的絕對值為10，此值大于w，故在5%的顯著性水平下，這些平均值之間有顯著差異。

方法二：

（1）按下式計算每一組檢測數據相應的組內平方和SSw：

　　（5-4）

式中，n為每組檢測數據的個數；為相應的該組檢測數據的平均值，總共可得到N個組內平方和（SSw）。

（2）按下式計算各組檢測數據的組間平方和SSb

　　（5-5）

式中，N為檢測數據的組數；為該組檢測數據的平均值；為全部檢測數據的平均值。

（3）計算組內估計方差：

　　（5-6）

也可以用各組組內平方和的平均值求得，即：

　　（5-7）

（4）計算組間的估計方差：

　　（5-8）

（5）做F檢驗，按下式計算F0值：

　　（5-9）

（6）選定顯著性水平a值，查表4-2中單側檢驗表，此時自由度為N-1，為N（n-1），查得Fa值。

（7）結論：如計算得的F0值大于表中查得的Fa值，則說明各組平均值之間在顯著性水平為100a%下有顯著差異。

（8）為了進一步評定產生各組平均值之間有顯著性差異的原因，可以將各組平均值按從小到大的順序排列，然后求出相鄰兩個平均值的差值，再按下式計算顯著性差最小值δmin：

　　（5-10）

式中，S即為以上組內估計方差的平方根；ta可由表3-1中雙側檢驗欄查得；a為選定的顯著性水平，自由度為N（n-1）。將相鄰兩個平均值之差同計算得的顯著性差最小值δmin比較，如兩相鄰的平均值之差大于δmin，即表明顯著性水平為100a%時，該對平均值之間存在顯著性差異。經過這樣的連續比較，就可以找到其中一個或者幾個平均值使得各組平均值之間產生顯著差異。應指出的是，這個方法并不是非常嚴格，用這個方法可能認為有較多個數的平均值存在顯著差異，但因為這個方法計算簡單，仍可用作初步檢驗。

例5-2　對例5-1，用以上方法進行評定。

解：

（1）按式（5-4）計算每一組檢測數據的相應的組內平方和：

（2）按式（5-5）計算各組檢測數據之間的平方和：

總平均值=98，

（3）按式（5-7）計算組內估計方差：

（4）按式（5-8）計算組間的估計方差：

（5）做F檢驗，按式（5-9）計算F0值：

（6）選定顯著性水平a=0.05，查表4-2中a=0.05的單側檢驗表：自由度為（N-1，N（n-1））=（3，8），查得Fa=4.07。

（7）結論：由于F0>Fa，說明各組平均值之間在顯著性水平為5%下，有顯著差異。

（8）評定產生顯著性差異的平均值：

①按式（5-10）計算δmin：

查表3-1雙側檢驗欄：a=0.05，自由度為N（n-1）=8，查得ta=2.306；

②將各平均值按從小到大順序排列：

③將相鄰的每對平均值之差與δmin比較：

與之差大于δmin，說明與之間有顯著差異；

與之差大于δmin，說明與之間有顯著差異；

與之差小于δmin，說明與之間無顯著差異。

由于以上各平均值是按從小到大的順序排列的，由于與之間有顯著差異，故表明與之間以及xD與xB之間亦都有顯著差異；同樣，由于與之間有顯著差異，也表明與之間有顯著差異。

經過以上一些比較，可以得出結論：和使得各組檢測結果的平均值之間產生顯著差異。

此外，還有一種塞費（Scheffē）檢驗法也可用于計算相鄰兩平均值的最小差值δmin，此時δmin按式（5-11）計算：

　　（5-11）

式中，S為組內估計方差的平方根；n為每組檢測數據的數據個數；N為檢測數據的組數；由表4-2的單側檢驗表查得，其中a為選定的顯著性水平，v1為放于分子上的組間方差的自由度，v1=N-1，v2為放于分母的組內方差的自由度，v2=N（n-1）。

計算得到δmin以后，再按以上方法進行比較，以找出有顯著差異的一組或幾組數據。