第五節(jié)　檢測次數(shù)的選擇

在統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)中，檢測次數(shù)或測量次數(shù)n，是一個(gè)很重要的量，一般n取得愈大愈好。在顯著性水平a值已確定時(shí)，n值大，易于檢出較小的差異；當(dāng)差異大小值已確定時(shí)，n值大，則可提高可信水平，減少犯第Ⅰ類錯誤和第Ⅱ類錯誤的概率。但n取得太大，則造成人力、財(cái)力、物力的浪費(fèi)。因此，如何確定最低限度的n值，在實(shí)際工作中顯得很重要。以下我們介紹在評定兩組檢測結(jié)果時(shí)，如何確定n值。

一、用標(biāo)準(zhǔn)（）來評定一組檢測結(jié)果（）時(shí)，檢測次數(shù)的確定

（一）比較與之間是否存在顯著性差異

1.總體標(biāo)準(zhǔn)偏差σ未知時(shí)

（1）選定顯著性水平a值及犯第Ⅱ類錯誤的概率β值。

（2）確定希望檢出的與之間的差的絕對值。

（3）求總體標(biāo)準(zhǔn)偏差σ的估計(jì)值?？捎脙煞N方法得到：

①通過已有的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算。

②用以下簡單的方法估算：

　?。?-20a）

a1和b1為設(shè)定的兩個(gè)值，我們希望有99.7%的檢測數(shù)據(jù)落在a1～b1的范圍內(nèi)，或：

　?。?-20b）

a2和b2為設(shè)定的兩個(gè)值，我們希望有95%的檢測數(shù)據(jù)落在a2～b2的范圍內(nèi)。

（4）按式（4-2）計(jì)算d值：

　?。?-21）

（5）查表4-15，根據(jù)已選定的a值及β值，查得相應(yīng)的n值，如a=0.01，應(yīng)將此n值加4，如a=0.05，應(yīng)將此n值加2，得到所需要的測定次數(shù)n。也就是說，至少要做n次測定，與之差的絕對值才能不超過設(shè)定的值，如測定結(jié)果實(shí)際上等于或超過設(shè)定的值，則在選定的a和β值下，可認(rèn)為該組數(shù)據(jù)所求得的平均值不可靠。

例4-17　現(xiàn)需要評定用某一檢測方法求得的平均值（）與經(jīng)典的檢測方法求得的平均值（）之間是否存在顯著差異。要求檢驗(yàn)用這兩種檢測方法得到的結(jié)果之差應(yīng)不超過0.0024。問：每種方法至少需平行測定多少次？

解：

（1）選定顯著性水平a=0.05，犯第Ⅱ類錯誤的概率β=0.30。

（2）根據(jù)題意要求兩種檢測方法得到的結(jié)果之差不超過0.0024。

（3）因總體標(biāo)準(zhǔn)偏差σ未知，且假定我們希望有97.5%的檢測數(shù)據(jù)落在寬度為0.024的范圍內(nèi)，故用式（4-20b）估算σ：

（4）按式（4-21）計(jì)算d：

查表4-15：a=0.05，1-β=0.70，d=0.6，查得n=18，n+2=20，故需要平行測定20次，才能達(dá)到要求。即至少每種檢測方法要平行測定20次，才可使兩組平均值之間的差，在a=0.05，β=0.30下，不超過0.0024。

2.總體標(biāo)準(zhǔn)偏差σ已知時(shí)

（1）選定顯著性水平a值及犯第Ⅱ類錯誤的概率β值。

（2）確定希望檢出的與之間的差的絕對值。

（3）按式（4-21）計(jì)算d值。

（4）查表4-15，據(jù)已選定的a值及β值，查得相應(yīng)的n值，此值即為需要的測定次數(shù)。

例4-18　一種測碳的檢測方法，方法的總體標(biāo)準(zhǔn)偏差σ為0.34%?，F(xiàn)在要求能檢出一個(gè)檢測人員測定一標(biāo)樣的含碳量（）與標(biāo)樣值（）之差不超過0.4%。問：他至少要平行測定幾次才能達(dá)到要求？

解：

（1）選定顯著性水平a=0.05，犯第Ⅱ類錯誤的概率β=0.10。

（2）根據(jù)題意要求：不超過0.4%。

（3）按式（4-21）計(jì)算d：

（4）查表4-15：a=0.05，1-β=1-0.10=0.90，d=1.2，查得n=8。

故這個(gè)檢測人員需要對標(biāo)樣做8次平行測定，才能使他的檢測結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)值的差不超過0.4%。

（二）比較檢測結(jié)果是否比要大，或者比要小時(shí)檢測次數(shù)的確定

1.總體標(biāo)準(zhǔn)偏差σ未知時(shí)

（1）選定顯著性水平a值及犯第Ⅱ類錯誤的概率β值。

（2）確定希望檢出的比要大的數(shù)值δ：

　　（4-22）

（3）用本節(jié)中前面介紹過的兩種方法，求總體標(biāo)準(zhǔn)偏差σ的估計(jì)值。

（4）按式（4-21）計(jì)算d值。

（5）查表4-16，根據(jù)已選定的a及β值，查得相應(yīng)的n值，如a=0.01，應(yīng)將此n值加3，如a=0.05，應(yīng)將此n值加2，即得到所需要的測定次數(shù)n。

例4-19　用容量法標(biāo)定一高錳酸鉀溶液，今給出溶液的濃度為0.1157mol/L，問：至少標(biāo)定幾次，才能使標(biāo)定的結(jié)果（）為0.1158mol/L，要求檢測結(jié)果中有95%的數(shù)據(jù)是落在0.1155～0.1159mol/L的范圍內(nèi)。

解：

（1）選定a=0.01，β=0.20。

（2）按題意要求。

（3）按式（4-20b）估算σ：

（4）按式（4-21）計(jì)算d：

（5）查表4-16：a=0.01，1-β=0.80，d=1.0，查得n=11，n+3=14。

故至少需要平行測定14次，才能達(dá)到要求；如平行測定14次，求得的平均值等于或大于0.1158mol/L，則在a=0.01，β=0.20下，認(rèn)為該數(shù)據(jù)不可靠。

用相同的方法也可檢驗(yàn)是否小于，只是此時(shí)計(jì)算δ及d應(yīng)分別改用以下兩式：

　?。?-23）

　?。?-24）

例4-20　仍用例4-19中的溶液，要求也與例4-19相同。問：至少平行測定幾次，才能使測得的檢測結(jié)果（）大于0.1156mol/L？

解：

（1）選定a=0.05，β=0.30。

（2）按式（4-23）計(jì)算δ：

（3）同例4-19，σ=0.0001。

（4）按式（4-24）計(jì)算d：

（5）查表4-16：a=0.05，1-β=0.70，d=1.0，查得n=5，n+2=7。

故至少需要測定7次，才能達(dá)到要求。

2.總體標(biāo)準(zhǔn)偏差σ已知時(shí)

（1）選定顯著性水平a值及犯第Ⅱ類錯誤的概率β值。

（2）按式（4-22）確定希望檢出的比要大的數(shù)值δ。

（3）按式（4-21）計(jì)算d值。

（4）查表4-16，據(jù)已選定的a及β值，查得相應(yīng)的n值，此值即為需要的測定次數(shù)n。

例4-21　有一測鉻的檢測方法，其方法精度為0.25%，一熟練的檢測人員用此方法對含量為10.80%的鉻標(biāo)樣進(jìn)行檢測，欲使測得的比大的數(shù)值δ小于0.20%。問：需要平行測定幾次？

解：

（1）選定顯著性水平a=0.05，β=0.30。

（2）根據(jù)題意：δ=-=0.20%

（3）按式（4-21）計(jì)算d值：

（4）查表4-16：a=0.05，1-β=0.70，d=0.80，查得n=8；故需要平行測定8次，才能達(dá)到要求。

用相同的方法也可檢驗(yàn)是否小于，只是此時(shí)計(jì)算δ及d應(yīng)分別改用式（4-23）及式（4-24）。

二、評定兩組檢測結(jié)果與時(shí)檢測次數(shù)的確定

（一）比較與之間是否存在顯著差異

1.兩組檢測數(shù)據(jù)的總體精度σ1及σ2均未知，但認(rèn)為它們是一致（σ1≈σ2）時(shí)

（1）選定顯著性水平a值及犯第Ⅱ類錯誤的概率β值。

（2）確定希望檢出的與之間的差異的絕對值δ：

　　（4-25）

（3）用以上介紹過的方法［參見式（4-20a）及式（4-20 b）］，求總體標(biāo)準(zhǔn)偏差σ的估計(jì)值。

（4）按下式計(jì)算d值：

　?。?-26）

其中σ=σ1≈σ2。

（5）查表4-15，據(jù)已選定的a及β值，查得相應(yīng)的n值，如a=0.01，應(yīng)將此n值加2；如a=0.05，應(yīng)將此n值加1，即得到所需要的測定次數(shù)n（n=n1=n2），此時(shí)應(yīng)小于δ，如，則在選定的a及β值下，認(rèn)為該兩組檢測結(jié)果之間有顯著差異。

例4-22　例4-6中所提到的那位檢測人員，每天仍需標(biāo)定一次鹽酸，如果他想使自己兩天的檢測結(jié)果（和）之間的差異不超過0.0002mol/L，問：每天需要平行測定幾次，才能達(dá)到這個(gè)要求？

解：

（1）選定顯著性水平a=0.05，β=0.20。

（2）根據(jù)題意，希望檢出的與之間的差異δ為0.0002mol/L。

（3）由于σ未知，需求出σ的估計(jì)值，在例4-6解中已求得標(biāo)準(zhǔn)偏差S=1.02×10-4，故以此值作為σ的估計(jì)值。

（4）按式（4-26）計(jì)算d值：

（5）查表4-15：a=0.05，1-β=0.80，d=1.4，查得n=5，n+1=6。

故每天需平行測定6次，才能達(dá)到檢測結(jié)果的平均值與之間的差不超過0.0002mol/L，如實(shí)際得到的與之間的差等于或大于0.0002mol/L，則在a=0.05，β=0.20下，認(rèn)為與之間有顯著差異。

2.兩組檢測數(shù)據(jù)的總體精度σ1及σ2均為已知時(shí)

（1）選定顯著性水平a值及犯第Ⅱ類錯誤的概率β值。

（2）按式（4-25）確定希望檢出的與之間的差異的絕對值δ。

（3）如果希望用相同的測定次數(shù)取得兩組檢測數(shù)據(jù)，即n=n1=n2，則按下式計(jì)算d值：

　　（4-27）

（4）根據(jù)已選定的a、β值，可從表4-15中直接查得需要的測定次數(shù)n（n=n1=n2）。

（5）如果希望第一組的測定次數(shù)為n1，第二組的測定次數(shù)為n2，但n1=cn2，其中c為任意常數(shù)值，則按下式計(jì)算d值：

　?。?-28）

式中，c為以上n1=cn2中設(shè)定的常數(shù)值，根據(jù)已選定的a，β值及式（4-28）計(jì)算得的d值，從表4-15中直接查得所需要的第一組的測定次數(shù)n，即n=n1，第二組的測定次數(shù)為n2=n1/c。

例4-23　測定某元素有兩種不同的檢測方法，其中方法A的總體標(biāo)準(zhǔn)偏差σA為0.024%，方法B的總體標(biāo)準(zhǔn)偏差σB為0.033%，現(xiàn)用這兩種檢測方法測定相同試樣，設(shè)希望兩平均值之間的差小于0.04%，欲檢驗(yàn)這兩種檢測方法所得的平均值之間是否存在顯著差異，問：

①在n=nA=nB時(shí)，每種方法需平行測定多少次？

②在nA=0.5nB時(shí)，A、B兩方法各需平行測定多少次？

解：

（1）選定顯著性水平a=0.05，犯第Ⅱ類錯誤的概率β=0.30，1-β=0.70。

（2）按式（4-25）計(jì)算δ：

（3）計(jì)算d值：

①n=nA=nB時(shí)，按式（4-27）計(jì)算d值：

②nA=0.5nB時(shí)，按式（4-28）計(jì)算d值：

（4）查表4-15：a=0.05，1-β=0.70，

d=1.0時(shí)，查得n=7；

d=1.2時(shí)，查得n=5。

（5）結(jié)論：在n=nA=nB時(shí)，每種檢測方法至少平行測定7次；在nA=0.5nB時(shí)，A方法需要平行測定5次，B方法則需平行測定nB=nA/c=5/0.5=10次。

（二）比較兩組檢測結(jié)果及，其中一組檢測結(jié)果是否比另一組檢測結(jié)果要大，令偏大的一組檢測結(jié)果為，則檢驗(yàn)是否大于

1.兩組檢測數(shù)據(jù)的總體精度均未知，但認(rèn)為它們是一致（σ1≈σ2）時(shí)

（1）選定顯著性水平a值及犯第Ⅱ類錯誤的概率β值。

（2）確定希望檢出的比要偏大的值：

　?。?-29）

（3）按下式計(jì)算d值：

　　（4-30）

式中，σ=σ1≈σ2。式中的σ如果事先無法求得，則可按以前介紹的方法，計(jì)算它的估計(jì)值［參見式（4-20a）及式（4-20 b）］。

（4）查表4-16：據(jù)已選定的a及β值，查得相應(yīng)的n值，如a=0.01，應(yīng)將此n值加2，如a=0.05，應(yīng)將此n值加1，即得到兩組所需要的分別測定次數(shù)，即n=n1=n2。

例4-24　同例4-22，那位檢測人員標(biāo)定一瓶新配制的鹽酸溶液，第一天他得到的鹽酸濃度為0.1075mol/L，第二天他得到的鹽酸濃度為0.1073mol/L。問：這個(gè)檢測人員每天至少做多少次平行測定，才能檢驗(yàn)第一天的檢測結(jié)果（）是否比第二天的檢測結(jié)果（）偏大值小于0.0002mol/L？

解：

（1）選定顯著性水平a=9.05，犯第Ⅱ類錯誤的概率β=0.20，即1-β=0.80。

（2）按式（4-29）計(jì)算δ：

（3）同例4-22，以S作為σ的估計(jì)值，故σ=1.02×10-4，按式（4-30）計(jì)算d值：

（4）查表4-16：a=0.05，1-β=0.80，d=1.4，查得n=4，n+1=5。

故每天至少平行測定過五次，才能檢驗(yàn)出第一天的檢測結(jié)果是否比第二天的檢測結(jié)果偏大值小于0.0002mol/L。

2.兩組檢測數(shù)據(jù)的總體精度均為已知時(shí)

（1）選定顯著性水平a值及犯第Ⅱ類錯誤的概率β值。

（2）按式（4-29）確定希望檢出的比要偏大的值δ。

（3）如果希望用相同的測定次數(shù)取得兩組檢測數(shù)據(jù)，即n=n1=n2，則按下式計(jì)算d值：

　?。?-31）

（4）根據(jù)已選定的a及β值，可從表4-16中直接查得需要的測定次數(shù)n（n=n1=n2）。

（5）如果希望第一組的測定次數(shù)為n1，第二組的測定次數(shù)為n2，但n1=cn2，其中c為任意常數(shù)，則按下式計(jì)算d值：

　　（4-32）

式中，c為以上n1=cn2中設(shè)定的常數(shù)值，然后再根據(jù)已選定的a、β值及式（4-32）計(jì)算得的d值，從表4-16中直接查得所需要的第一組的測定次數(shù)n1，即n=n1，第二組的測定次數(shù)為n=n1/c。

例4-25　用例4-23，欲檢驗(yàn)用方法A測得的檢測結(jié)果（），是否比用方法B測得的檢測結(jié)果（）偏大值小于0.04%。

①如n=nA=nB，每種方法需平行測定多少次？

②如nA=0.5nB，A、B兩方法各需平行測定多少次？

解：

（1）選定顯著性水平a=0.05，犯第Ⅱ類錯誤的概率β為0.30，即1-β=0.70。

（2）按式（4-29）計(jì)算δ值：

（3）計(jì)算d值：

①在n=nA=nB下，按式（4-31）計(jì)算d：

②在nA=0.5nB下，按式（4-32）計(jì)算d：

（4）查表4-16：a=0.05，1-β=0.70，

d=1.0，查得n2=5；

d=1.2，查得n1=4。

（5）結(jié)論：在n=nA=nB時(shí)，每種方法需平行測定5次；在nA=0.5nB時(shí)，方法A需要平行測定4次，方法B則需平行測定nB=nA/c=4/0.5=8次。

（三）成對試驗(yàn)得到的兩組檢測結(jié)果及，比較及所需要的試驗(yàn)對數(shù)n的確定

（1）選定顯著性水平a值及犯第Ⅱ類錯誤的概率β值。

（2）按式（4-25）確定希望檢出的與之間的差的絕對值δ。

（3）令成對數(shù)據(jù)之間的總體標(biāo)準(zhǔn)偏差為σ，此數(shù)值可由過去的大量實(shí)驗(yàn)求得［參見式（4-17）］或?yàn)橐阎怠?/p>

（4）按下式計(jì)算d值：

　?。?-33）

（5）查表4-16，據(jù)計(jì)算得的d值和已選定的a及β值，查得相應(yīng)的n值，如a=0.01應(yīng)將此n值加3；如a=0.05，應(yīng)將此n值加2，即得到所需要的成對試驗(yàn)的對數(shù)n。

例4-26　用例4-13數(shù)據(jù)，若兩人重新對該試樣進(jìn)行檢測，希望檢驗(yàn)他們的檢測結(jié)果之間是否存在大于或等于0.030%的差異。

問：至少需要有多少個(gè)成對試驗(yàn)數(shù)據(jù)？

解：

（1）選定顯著性水平a=0.01，犯第Ⅱ類錯誤的概率β=0.01。

（2）按式（4-25）計(jì)算δ值：

（3）由于σ未知，以實(shí)驗(yàn)值得到的Sd來估計(jì)σ，由例4-13解中得Sd=0.0133，故σ=0.0133；

（4）按式（4-33）計(jì)算d值：

（5）查表4-16：a=0.01，1-β=0.90，d=2.3，查得n=4，n+3=7。

故至少需要有7次的成對試驗(yàn)，才能檢驗(yàn)出兩人重新對該試樣進(jìn)行檢測時(shí)所得的檢測結(jié)果是否存在大于或等于0.030%的顯著差異。