第二節(jié)　點(diǎn)、直線、平面的投影

點(diǎn)、線、面是構(gòu)成物體表面最基本的幾何要素。為了迅速而正確地畫出物體的投影，必須首先掌握這些幾何元素的投影規(guī)律。

一、點(diǎn)的投影

1.點(diǎn)的投影規(guī)律

（1） 點(diǎn)投影的形成　國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：空間點(diǎn)用大寫字母如A、B、C…表示，點(diǎn)的水平投影用相應(yīng)的小寫字母表示，如a、b、c…；點(diǎn)的正面投影用相應(yīng)的小寫字母加一撇表示，如a'、b'、c'…；點(diǎn)的側(cè)面投影用相應(yīng)的小寫字母加兩撇表示，如a″、b″、c″…。

如圖2-13（a）所示，將空間點(diǎn)A置于三個(gè)相互垂直的投影面體系中，分別過A點(diǎn)作垂直于V面、H面、W面的投射線，得到點(diǎn)A的正面投影a'、水平投影a和側(cè)面投影a″。點(diǎn)A的三面投影不在同一個(gè)平面內(nèi)，稱為點(diǎn)的投影的立體圖。

（2）點(diǎn)的投影圖　為了在一個(gè)平面內(nèi)表達(dá)空間點(diǎn)的三面投影，如圖2-13（b）所示，正投影面（V面）不動(dòng)，將水平投影面（H面）、側(cè)立投影面（W面）按箭頭所指的方向旋轉(zhuǎn)90°，這樣與正投影面處于同一個(gè)平面上，便得到點(diǎn)A的三面投影。圖中aX、aY、aZ分別為點(diǎn)的投影連線與投影軸X、Y、Z的交點(diǎn)。

（3）點(diǎn)的投影規(guī)律　由點(diǎn)的三面投影圖，可得點(diǎn)的投影規(guī)律。

①點(diǎn)的兩面投影連線垂直于相應(yīng)的投影軸。即：

aa'⊥OX，a'a″⊥OZ，aaYH⊥OYH，a″aYW⊥OYW。

②點(diǎn)的投影到投影軸的距離，等于該點(diǎn)到相應(yīng)的投影面的距離，如圖2-14所示，即：

a'aX==Aa=OaZ=Z　　　    表示點(diǎn)A到H面的距離；

a aX=a″aZ=A a'=OaY=Y　　        表示點(diǎn)A到V面的距離；

a'aZ==A a″=OaX=X　　        表示點(diǎn)A到W面的距離。

【例2-1】　已知點(diǎn)A（20、15、18），求作它的三面投影。

作圖步驟，如圖2-15所示。

①畫出投影軸，標(biāo)出坐標(biāo)名稱，在YH和YW之間作45°斜線；

②在OX軸正方向O點(diǎn)開始量取20，得aX=20；

③過aX點(diǎn)作OX軸垂線，自aX點(diǎn)向下量15得a點(diǎn)、向上量18得a'點(diǎn)；

④由a點(diǎn)作平行于X軸的水平線，經(jīng)45°斜線后作平行于Z軸的垂直線；由a'點(diǎn)作平行于X軸的水平線，兩線的交點(diǎn)即為a″。

2.兩點(diǎn)的相對(duì)位置

空間兩點(diǎn)的相對(duì)位置，可以由兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系來確定。如圖2-16所示，X坐標(biāo)值反映點(diǎn)的左、右位置，X坐標(biāo)值大者在左；Y坐標(biāo)反映點(diǎn)的前、后位置，Y坐標(biāo)值大者在前；Z坐標(biāo)值反映點(diǎn)的上、下位置，Z坐標(biāo)值大者在上。

從圖2-16中可以看出，由于A點(diǎn)的X坐標(biāo)小于B點(diǎn)的X坐標(biāo)，所以點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊；A點(diǎn)的Y坐標(biāo)小于B點(diǎn)的Y坐標(biāo)，所以點(diǎn)A在點(diǎn)B的后面；A點(diǎn)的Z坐標(biāo)小于B點(diǎn)的Z坐標(biāo)，所以點(diǎn)A在點(diǎn)B的下方。

【例2-2】　已知空間點(diǎn)A（5，10， 15）的三面投影，B點(diǎn)在A點(diǎn)的左邊10，前面4，下方8。求作B點(diǎn)的三面投影。

作圖步驟，如圖2-17所示。

①首先畫出A點(diǎn)的三面投影，如圖2-17（a）所示；

②在a a'左邊作距離為10的平行線，如圖2-17（b）所示；

③在a a″下方作距離為8的平行線，兩線交點(diǎn)即為b'，如圖2-17（c）所示；

④在水平投影aaYH前方作距離為4的平行線，兩線交點(diǎn)即為b，如圖2-17（d）所示；

⑤由寬相等，通過45°斜線作出點(diǎn)b″，如圖2-17（e）所示；

⑥完成圖形，如圖2-17（f）所示。

3.重影點(diǎn)的表示方法

如圖2-18所示，A、B兩點(diǎn)的投影中，A點(diǎn)在B點(diǎn)的正前方，a'和b'相重合。在V面的投影中，A可見，B不可見。在投影圖中，對(duì)不可見的點(diǎn)投影，加圓括號(hào)表示。圖中B的V面投影表示為（b'）。

二、直線的投影

1.直線的三面投影

①直線的投影一般仍是直線，特殊情況下，直線垂直于投影面，它在投影面上的投影積聚為一點(diǎn)，如圖2-19所示。

②直線的投影可由直線上兩點(diǎn)的同面投影來確定。圖2-20（a）所示為線段的兩端點(diǎn)A、B的三面投影，連接ab、a'b'、和a″b″，就是直線AB的三面投影，如圖2-20（b）所示。

2.直線上點(diǎn)的投影特性

直線上點(diǎn)的投影必在該直線的同面投影上，且符合點(diǎn)的投影規(guī)律。反之，如果點(diǎn)的各個(gè)投影都在直線的同面投影上，則該點(diǎn)一定在該直線上。直線上的點(diǎn)分割直線之比在其投影中保持不變，如圖2-21所示，點(diǎn)M在直線AB上，則AM∶MB=am∶mb= a'm'∶ m'b'= a″m″∶ m″b″。

3.各種位置直線的投影特性

直線按空間位置分為三類：投影面的平行線、投影面的垂直線和一般位置直線。平行線和垂直線又稱特殊位置直線。

（1）投影面平行線　平行于一個(gè)投影面而與其他兩個(gè)投影面傾斜的直線，稱為投影面平行線。共有三種，定義如下：

正平線　平行于V面并與H、W面傾斜的直線；

水平線　平行于H面并與V、W面傾斜的直線；

側(cè)平線　平行于W面并與H、V面傾斜的直線。

投影面平行線的投影特性見表2-1。

（2）投影面垂直線　垂直于一個(gè)投影面，與另外兩個(gè)面平行的直線，稱為投影面垂直線。按照所垂直的投影面不同，共有三種，定義如下：

正垂線　垂直于V面并與H面、W面平行的直線；

鉛垂線　垂直于H面并與V面、W面平行的直線；

側(cè)垂線　垂直于W面并與H面、V面平行的直線。

投影面垂直線的投影特性見表2-2。

（3）一般位置直線　對(duì)三個(gè)投影面都傾斜的直線，稱為一般位置直線。

一般位置直線的投影特性見表2-3。

三、平面的投影

在投影中，一般常用平面圖形來表示空間的平面，如圖2-22所示。平面按空間位置可分為三類：投影面的平行面、投影面的垂直面和一般位置平面，前兩種又稱為特殊位置平面。

1.投影面平行面

平行于一個(gè)投影面，與另外兩個(gè)投影面垂直的平面，稱為投影面平行面。根據(jù)平行不同的投影面，可分為如下三種：

正平面　平行于V面并與H面、W面垂直的平面；

水平面　平行于H面并與V面、W面垂直的平面；

側(cè)平面　平行于W面并與H面、V面垂直的平面。

投影面平行面的投影特性見表2-4。

2.投影面垂直面

垂直于一個(gè)投影面，與另外兩個(gè)投影面傾斜的平面，稱為投影面垂直面。根據(jù)垂直不同的投影面，可分為如下三種：

正垂面　垂直于V面并與H面、W面傾斜的平面；

鉛垂面　垂直于H面并與V面、W面傾斜的平面；

側(cè)垂面　垂直于W面并與H面、V面傾斜的平面。

投影面垂直面的投影特性見表2-5。

3.一般位置平面

傾斜于三個(gè)投影面的平面稱為一般位置平面，如圖2-23所示。

由于一般位置平面與三個(gè)投影面都傾斜，因此它的三個(gè)投影面都縮小，而且與原來的平面相似。三角形SAB的水平投影sab、正面投影s'a'b'、側(cè)面投影s″a″b″均為三角形，都小于平面SAB。

四、平面上直線和點(diǎn)的投影

1.平面上的直線

直線在平面上的幾何條件是：

直線經(jīng)過平面上的兩點(diǎn)，或通過平面上的一個(gè)點(diǎn)，且平行于屬于該平面任一直線，則直線在該平面上。

【例2-3】　如圖2-24所示，已知△ABC上的直線EF的正面投影e'f'，求水平投影ef。

作圖步驟，如圖2-25所示。

①將e'f'延長(zhǎng)，分別交a'b'于m'，交b'c'于n'，如圖2-25（a）所示；

②分別由m'、n'作豎直線，交ab于m，交bc于n，如圖2-25（b）所示；

③由e'、f'兩點(diǎn)作豎直，交mn于e、f點(diǎn)，如圖2-25（c）所示；

④完成圖形，如圖2-25（d）所示。

2.平面上的點(diǎn)

點(diǎn)在平面上的幾何條件是：若點(diǎn)在平面內(nèi)的一條直線上，則點(diǎn)一定在該平面上。因此，在平面上取點(diǎn)時(shí)，應(yīng)先在平面上取直線，再在該直線上取點(diǎn)。

【例2-4】　如圖2-26所示，已知△ABC上點(diǎn)E的正面投影e'和點(diǎn)F的水平投影f，求作它們的另一面投影。

作圖步驟，如圖2-27所示。

①過e'點(diǎn)作一條輔助直線a'1'，根據(jù)投影關(guān)系，作出水平投影a1，如圖2-27（a）；

②過e'作豎直線與a1相交，交點(diǎn)e就是所求點(diǎn)，如圖2-27（b）；

③連接af，af交bc于2，根據(jù)投影原理作出2'點(diǎn)，如圖2-27（c）；

④過f作垂直線與a'2'的延長(zhǎng)線相交，交點(diǎn)f'即為所求，如圖2-27（d）。