第三節(jié)　連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布

一、連續(xù)型隨機(jī)變量

［定義1］　若對(duì)于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F（x），存在非負(fù)可積函數(shù)f（x），使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，有

　　 （2-3-1） 　　

則稱(chēng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，稱(chēng)f（x）為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)為概率密度或密度函數(shù)，記為X～f（x）.概率密度函數(shù)的圖形稱(chēng)為X的密度曲線(xiàn).

根據(jù)定義可知概率密度具有以下性質(zhì)：

①f（x）≥0；

②.

反之，若一個(gè)函數(shù)滿(mǎn)足上述性質(zhì)，則該函數(shù)可以作為某個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù).

連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)有以下性質(zhì).

①對(duì)于一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量X，若已知它的概率密度f（x），根據(jù)定義可以求得分布函數(shù)F（x），同時(shí)可以通過(guò)密度函數(shù)的積分來(lái)求X落在任何區(qū)間上的概率，即

　　 （2-3-2） 　　

②連續(xù)型隨機(jī)變量X取任一指定值a（a∈R）的概率為0，因?yàn)?/p>

因此，對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量X，有

P{a<X≤b}=P{a≤X<b}=P{a<X<b}=P{a≤X≤b}

由此性質(zhì)可見(jiàn)，連續(xù)型隨機(jī)變量X取任意值a的概率為0，這說(shuō)明概率為零的事件不一定是不可能事件.同樣，概率為1的事件也不一定是必然事件.

③若f（x）在x處連續(xù)，則有

F'（x）=f（x）　　（2-3-3）

【例2-3-1】　設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

（1）求系數(shù)c；

（2）求X的分布函數(shù)；

（3）求P{2<X≤3.5}.

解：（1）根據(jù)概率密度的性質(zhì)有

解得，因此，密度函數(shù)為

（2）當(dāng)x<0時(shí)，；

當(dāng)0≤x<3時(shí)，；

當(dāng)3≤x≤4時(shí)，；

當(dāng)x>4時(shí)，

因此

（3）.

【例2-3-2】　設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

（1）求概率P{0.3<X<0.7};

（2）X的概率密度.

解：（1）P{0.3<X<0.7}=F（0.7）-F（0.3）=0.4；

（2）X的概率密度為

二、幾種常用的連續(xù)分布

1.均勻分布

［定義2］　若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為

稱(chēng)X服從區(qū)間［a，b］上的均勻分布，記作X～U［a，b］.

由定義可知：（1）f（x）≥0；（2）.

均勻分布的分布函數(shù)為

對(duì)于任意的x1，x2∈［a，b］（x1<x2），有

這表明均勻分布的隨機(jī)變量X落入［a，b］任意子區(qū)間的概率與該子區(qū)間的長(zhǎng)度成正比，而與子區(qū)間的位置無(wú)關(guān).

【例2-3-3】　某城市每天有兩班開(kāi)往某旅游景點(diǎn)的列車(chē)，發(fā)車(chē)時(shí)間分別為早上7點(diǎn)30分和8點(diǎn)，設(shè)一游客到達(dá)車(chē)站的時(shí)刻均勻分布于早上7～8點(diǎn)之間，求此游客候車(chē)時(shí)間不超過(guò)20分鐘的概率.

解：設(shè)游客到達(dá)車(chē)站的時(shí)間為7點(diǎn)過(guò)X分，則X～U［0，60］，因此X的概率密度為

游客只有在7：10～7：30之間或7：40～8：00之間到達(dá)車(chē)站，候車(chē)時(shí)間不超過(guò)20分鐘，因此所求概率為

2.指數(shù)分布

［定義3］　若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為

其中λ>0為常數(shù)，則稱(chēng)X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，記作X～e（λ）.

指數(shù)分布的分布函數(shù)為

指數(shù)分布常用來(lái)描述各種“壽命”，如電子元器件的壽命、動(dòng)物壽命、隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的等候時(shí)間都服從指數(shù)分布.指數(shù)分布在可靠性理論和排隊(duì)輪中有廣泛的應(yīng)用.

【例2-3-4】　設(shè)某電子元器件的壽命X（單位：小時(shí)）服從參數(shù)為的指數(shù)分布.

（1）求該元器件在使用800小時(shí)后仍沒(méi)有壞的概率；

（2）求在該元件已經(jīng)使用了600小時(shí)未壞的條件下，它還可以再使用800小時(shí)的概率.

解：（1）元器件的壽命X的分布函數(shù)為

因此

（2）

上例（2）中的計(jì)算結(jié)果表明：P{X>1400│X>600}=P{X>800}，即在元件使用了600小時(shí)未壞的條件下，可以再繼續(xù)使用800小時(shí)的概率，等于它從啟用起使用800小時(shí)不壞的無(wú)條件概率，這種性質(zhì)稱(chēng)為指數(shù)分布的“無(wú)記憶性”，相當(dāng)于說(shuō)，元器件對(duì)已使用過(guò)的600小時(shí)沒(méi)有記憶，不影響它以后使用壽命的統(tǒng)計(jì)規(guī)律.

3.正態(tài)分布

［定義4］　若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為

其中μ、σ均為常數(shù)，且σ>0，則稱(chēng)X服從參數(shù)為μ、σ2的正態(tài)分布，記作X～N（μ，σ2）.

正態(tài)分布的概率密度具有以下性質(zhì)：

①概率密度的圖形關(guān)于直線(xiàn)x=μ對(duì)稱(chēng)，當(dāng)x=μ時(shí)，f（x）達(dá)到最大值：；

②概率密度曲線(xiàn)在x=μ±σ處對(duì)應(yīng)有拐點(diǎn)；

③概率密度曲線(xiàn)以x軸為水平漸近線(xiàn).

正態(tài)分布的密度曲線(xiàn)也稱(chēng)作正態(tài)曲線(xiàn)，它是一條鐘形曲線(xiàn)：中間高、兩邊低、左右對(duì)稱(chēng).從圖2-3-1、圖2-3-2中可以看出，參數(shù)μ確定了正態(tài)曲線(xiàn)的位置，而σ的大小決定了曲線(xiàn)的陡峭程度.

正態(tài)分布是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中最重要的分布，很多隨機(jī)現(xiàn)象可以用正態(tài)分布描述或近似描述，例如：

①測(cè)量時(shí)產(chǎn)生的誤差ε是隨機(jī)變量，時(shí)大時(shí)小，時(shí)正時(shí)負(fù)，但是誤差大的可能性小，誤差小的可能性大，正負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相同，這個(gè)特點(diǎn)與正態(tài)曲線(xiàn)“中間高、兩邊低、左右對(duì)稱(chēng)”是吻合的，因此測(cè)量誤差服從正態(tài)分布；

②自動(dòng)包裝流水線(xiàn)上生產(chǎn)的罐頭重量服從正態(tài)分布；

③同年齡人的身高與體重分別都服從正態(tài)分布；

④某個(gè)地區(qū)的年降雨量（單位：毫米）服從正態(tài)分布；

⑤超市在一周內(nèi)售出的雞蛋的總重量服從正態(tài)分布.

正態(tài)分布的分布函數(shù)為

在正態(tài)分布中，當(dāng)參數(shù)μ=0、σ=1時(shí)稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作X～N（0，1），此時(shí)密度函數(shù)

分布函數(shù)

此時(shí)正態(tài)曲線(xiàn)見(jiàn)圖2-3-3.

x≥0時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)值Φ（x）由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表（附表2）可查，由此來(lái)計(jì)算正態(tài)分布的概率，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，可知，當(dāng)x<0時(shí)

Φ（x）=1-Φ（-x）　　（2-3-4）

若X～N（0，1），則

①P{X≤x}=Φ（x）

②P{X>x}=1-Φ（x）

③P{x1<X≤x2}=Φ（x2）-Φ（x1）

④P{｜X｜≤x}=2Φ（x）-1，（x≥0）

【例2-3-5】　設(shè)X～N（0，1），求P{X≤-1.25}及P{-1.5<X<2.3}.

解：由附表2可查得Φ（1.25）=0.8944，于是

P{X≤-1.25}=Φ（-1.25）=1-Φ（1.25）=1-0.8944=0.1056

　　P{-1.5<X<2.3}=Φ（2.3）-Φ（-1.5）=Φ（2.3）-［1-Φ（1.5）］

　　　　　　　　　=0.9893+0.9332-1=0.9225

任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可以通過(guò)線(xiàn)性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

定理　設(shè)X～N（μ，σ2），則.

證明　的分布函數(shù)

令，上式等于

即

P{Y≤x}=Φ（x）

因此 　　

設(shè)X～N（μ，σ2），則X的分布函數(shù)

　　 （2-3-5） 　　

若X～N（μ，σ2），則

（1）

（2）

（3）

【例2-3-6】　設(shè)X～N（8，0.52），求P{｜X-8｜≤1}及P{X<10}.

　　解：　　

【例2-3-7】　設(shè)X～N（μ，σ2），求：

（1）P{μ-σ<X<μ+σ}，

（2）P{μ-2σ<X<μ+2σ}

（3）P{μ-3σ<X<μ+3σ}

解：（1）

（2）

（3）

由此看出：X的取值大部分落在區(qū)間（μ-σ，μ+σ）內(nèi)，基本上落在區(qū)間（μ-2σ，μ+2σ）內(nèi)，幾乎全部落在區(qū)間（μ-3σ，μ+3σ）內(nèi)，落在以μ為中心、3σ為半徑的區(qū)間外的概率不到0.003.

從理論上講，服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量X的取值范圍是（-∞，+∞），但實(shí)際上X取區(qū)間（μ-3σ，μ+3σ）外的數(shù)值的可能性微乎其微.因此，往往認(rèn)為它的取值是個(gè)有限區(qū)間，即區(qū)間（μ-3σ，μ+3σ），即實(shí)用中的三倍標(biāo)準(zhǔn)差規(guī)則，也叫3σ規(guī)則.在企業(yè)管理中，經(jīng)常應(yīng)用這個(gè)規(guī)則進(jìn)行質(zhì)量檢查和工藝過(guò)程控制.

【例2-3-8】　某廠生產(chǎn)罐裝咖啡，每罐標(biāo)準(zhǔn)重量為1千克，長(zhǎng)期生產(chǎn)實(shí)踐表明自動(dòng)包裝機(jī)包裝的每罐咖啡的重量X服從參數(shù)σ=0.1千克的正態(tài)分布.為了使重量少于1千克的罐頭數(shù)不超過(guò)10％，應(yīng)把自動(dòng)包裝線(xiàn)控制的平均值μ調(diào)節(jié)到什么位置上？

解：X～N（μ，0.12），若把自動(dòng)包裝線(xiàn)控制的在μ值調(diào)節(jié)到1千克位置，則有：

即重量少于1千克的罐頭占全部罐頭數(shù)的50％，這顯然不符合要求.所以應(yīng)該把自動(dòng)包裝線(xiàn)控制的μ值調(diào)節(jié)到比1千克大一些的位置，使得

查附表2可得Φ（1.29）=0.90147>0.9，得μ=1+0.1×1.29=1.129.

即將包裝控制的平均值μ調(diào)節(jié)到1.129處，可使得少于1千克的罐頭數(shù)不超過(guò)10％（見(jiàn)圖2-3-4、圖2-3-5）.