第二節　離散型隨機變量

一、離散型隨機變量的概率分布

［定義1］　設離散型隨機變量X所有可能的取值為x1，x2，…，xk，…，稱

P{X=xk}=pk　（k=1，2，3，…）

為X的概率分布或分布律.

常用表格的形式來表示分布律：

根據概率分布的定義，pk（k=1，2，3，…，）必然滿足：

①pk≥0，（k=1，2，3，…）

②

由分布函數的定義F（x）=P{X≤x}，離散型隨機變量X的分布函數為

　　 （2-2-1） 　　

【例2-2-1】　消費者協會收到大量顧客來信，投訴他們購買的空調器的質量問題，消費者協會對數據進行整理后給出空調器重要缺陷數X的概率分布：

其中這些概率都是用統計方法確定的，其和為1.從概率可以看出，多數空調器的缺陷數在1和5之間，而超過6個缺陷的空調器是較少的，用此概率分布可以計算出下列事件的概率：

P{1≤X≤5}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}+P{X=4}+P{X=5}=0.895

P{X>6}=P{X=7}+P{X=8}+P{X=9}+P{X=10}=0.044

【例2-2-2】　設盒子中有5個球，其中2個白球、3個黑球，先從中任意取出3個球，求取到白球數X的概率分布.

解：X的可能取值為0，1，2，則

即

【例2-2-3】　設X的概率分布為

求X的分布函數.

解：分布函數F（x）=P{X≤x}

當x<-1時，F（x）=P{X≤x}=0

當-1≤x<1時，F（x）=P{X≤x}=P{X=-1}=0.2

當1≤x<2時，F（x）=P{X≤x}=P{X=-1}+P{X=1}=0.7

當x≥2時，F（x）=P{X≤x}=P{X=-1}+P{X=1}+P{X=2}=1

因此

【例2-2-4】　下列數列能否作為一個隨機變量的概率分布？

（1）（k=1，2，3，4）

（2）（k=0，1，2，3，4）

（3）pk=2-k（k=1，2，…，n）

解：數列（1）不能作為一個隨機變量的概率分布，因為p3<0和p4<0.

數列（2）也不能作為一個隨機變量的概率分布，因為.

數列（3）能作為一個隨機變量的概率分布，因為pk>0（k=1，2，…，n）；且它們的和為1.

二、幾種常用的離散型分布

1.伯努利分布（0—1分布）

［定義2］　若隨機變量X的概率分布為

P{X=1}=p，P{X=0}=1-p　（0<p<1）

則稱隨機變量X服從伯努利分布或0—1分布.

伯努利分布的試驗背景是伯努利試驗，若在一次伯努利試驗中，某個事件A發生的概率為p，則事件A發生的次數X服從伯努利分布，即

2.二項分布

［定義3］　若隨機變量X的概率分布為

則稱X服從參數為n，p的二項分布，記作X～B（n，p）.

二項分布的試驗背景是n重伯努利試驗.在n重伯努利試驗中，若一次實驗中事件A發生的概率為p，則n次試驗中事件A發生k次的概率為.由二項式定理可知

【例2-2-5】　某單位有4輛汽車，假設每輛車在一年內至多只發生一次損失，且各自相互獨立，具有相同的損失率p=0.1，試建立該單位一年內汽車損失次數的概率分布.

解：設X表示該單位一年內汽車損失次數，n=4，p=0.1，則X～B（4，0.1），按照二項分布的定義有

即

【例2-2-6】　一批產品的廢品率p=0.03，每次抽取一個產品，進行20次有放回抽樣，求出現廢品的頻率為0.1的概率.

解：設X表示20次有放回抽樣中廢品出現的次數，則X～B（20，0.03）.

所求概率為

【例2-2-7】　甲、乙兩棋手約定進行10盤比賽，以贏的盤數較多者勝，設在每盤中甲贏的概率為0.6，乙贏的概率為0.4，在各盤比賽相互獨立的條件下，甲勝、乙勝和不分勝負的概率各是多少？

解：若用X表示10盤棋中甲贏的盤數，則X～B（10，0.6），按照約定，甲贏6盤或6盤以上即得勝，因此有

類似地分析有

因此甲勝的概率為0.6331，乙勝的概率為0.1662，甲乙不分勝負的概率為0.2007.

3.泊松（Poisson）分布

在歷史上，泊松分布是作為二項分布的近似，于1837年由法國數學家泊松（Poisson）首次提出的，以后發現，很多取非負整數的離散隨機變量都服從泊松分布.

［定義4］　若隨機變量X的概率分布為

則稱隨機變量X服從參數為λ的泊松分布，記作X～P（λ）.

容易算得

泊松分布的概率值可由附表1查得.

泊松分布是常用的離散分布之一，它常與計數過程相聯系，現實世界中很多隨機變量都為泊松分布.例如：

①一段時間內，來到公共汽車站的候車人數；

②一段時間內，某個操作系統發生故障的次數；

③一段時間內，超市排隊等候付款的顧客人數；

④一個穩定的團體內，活到100歲的人數；

⑤一匹布上，疵點的個數；

⑥100頁書上，錯別字的個數.

【例2-2-8】　某城市每天發生火災的次數X服從參數λ=0.8的泊松分布，求該城市一天內發生3次或3以上火災的概率.

解：參數λ=0.8的泊松分布的概率分布為

所求概率為

在二項分布B（n，p）中，若相對的n很大、p較小時，二項分布的概率很難計算，以下給出這種情況下二項分布概率的近似計算方法.

定理　（泊松定理）設隨機變量Xn～B（n，pn），且參數n、pn滿足，則對任意非負整數k，有

證略.

由以上定理可知，X～B（n，p）時，若相對的n很大、p較小時（一般n≥100，p≤0.1）時，可以用泊松分布近似計算二項分布的概率.即近似的有

X～P（λ），　　（λ=np）

即

【例2-2-9】　在500人組成的團體中，恰有k個人的生日是在元旦的概率是多少？

解：在該團體中，每個人生日恰好在元旦的概率為，則該團體中生日在元旦的人數.因此

這個概率很難計算，由泊松定理，令，則有

為了比較，對計算后與（k=0，1，2，…，6）進行對比（見表2-2-1）.

【例2-2-10】　保險公司售出某種一年期壽險保單2000份，已知此種壽險每單需交保費100元，當被保人一年內死亡時，保險公司賠付2萬元.假設已知此類被保險人一年內死亡的概率均為0.002，試求：

（1）保險公司從此種壽險獲利不少于10萬元的概率（營業成本忽略不計，下同）；

（2）保險公司從此種壽險獲利不少于18萬元的概率.

解：由題可知，保險公司2000份保單的收入為20萬元.設X表示一年內被保險人的死亡人數，則X～B（2000，0.002），保險公司一年的賠付為2X萬元.

顯然近似的有X～P（4），則

（1）

（2）

4.超幾何分布

［定義5］　若隨機變量X的概率分布為

其中N、M、n均為自然數，且M<N、n<N，則稱隨機變量X服從參數為N、M、n的超幾何分布.

超幾何分布的試驗背景是不放回抽樣.

【例2-2-11】　20個產品中有5個不合格品，若從中隨機取出8個，求其中不合格品數的概率分布.

解：由題可知，N=20，M=5，n=8，則

將計算結果列表為

【例2-2-12】　設有一大批發芽率為90％的種子，現從中任取10粒，求播種后

（1）恰有8粒發芽的概率；

（2）至少有9粒發芽的概率.

解：從一大批種子任取10粒，發芽的種子數X服從超幾何分布，但參數N、M均未知.由于10粒種子從一大批中取出，即N很大而n相對N很小，此時不放回抽樣可近似看成有放回抽樣，即超幾何分布近似為二項分布，即近似的有X～B（10，0.9），因此

（1）

（2）

5.幾何分布

［定義6］　在伯努利試驗中，若一次試驗成功的概率為p，隨機變量X表示獨立重復該試驗直到成功為止需要的次數，則X的概率分布為

P{X=k}=（1-p）k-1p　（k=1，2，…）

稱隨機變量X服從參數為p的幾何分布.

【例2-2-13】　若一批產品不合格率為0.01，現有放回抽樣，每次一件直到抽到不合格品為止，求抽查次數X的概率分布.

解：抽查次數X服從參數為p=0.01的幾何分布，其概率分布為

P{X=k}=（0.99）k-1×0.01　（k=1，2，…）