2.5　切趾（變跡）函數

已經多次提到傅里葉變換光譜學的基本方程（2-8）適合的條件是，干涉儀的動鏡必須掃描無限長的距離，而且必須在無限小的光程差間隔中采集數據，才能夠得到分辨率無限高、測量區間-∞～+∞cm-1的一張光譜。從2.4節可以知道，商用紅外光譜儀采集數據的間隔不是無限小，而且數據點的采集是有限的。由于干涉圖的最大光程差受到限制，即被截止。所以傅里葉變換光譜學的基本方程（2-9）必須乘以一個函數，這個函數稱為截止函數（或截取函數），以D（δ）表示。方程（2-9）變成

　　 （2-12） 　　

在數學上，函數I（δ）和函數D（δ）乘積的傅里葉變換等于這兩個函數分別進行傅里葉變換的卷積。無限長光程差測量的I（δ）的傅里葉變換是個理想的光譜，以B（ν）表示。設截止函數D（δ）的傅里葉變換為f（ν）。數學上，B（ν）和f（ν）的卷積用下式表示：

Bm（ν）=B（ν）*f（ν）　　（2-13）

式中，符號“*”表示卷積。計算這兩個函數的卷積，就可以得到實際測量的光譜。

現在來討論單色光通過干涉儀后得到的干涉圖被截止的情況。

單色光是無限窄的調制光，它的干涉圖是純的余弦波，如圖2-11（a）所示。它的傅里葉變換結果是一條單色譜線，頻率為ν1，如圖2-11（b）所示。

因為動鏡只移動一定的距離，所以干涉圖就變成有限的余弦波（即干涉圖被截止），如圖2-11（e）所示。如果截止函數是矩形函數（boxcar function），如圖2-11（c）所示，它的傅里葉變換結果如圖2-11（d）所示。圖2-11（b）和圖2-11（d）卷積得到輸出光譜，如圖2-11（f）所示。

從圖2-11（f）可以看出，干涉圖用矩形函數截取后得到的光譜不是理想的線性光譜，雖然光譜主峰中心位于單色譜線頻率ν1處，但是譜帶卻變寬了許多，而且在主峰的兩側出現了旁瓣振蕩。這種旁瓣振蕩很像逐漸衰減的余弦波，有正值，也有負值。

主峰兩側的旁瓣像兩只腳的“腳趾”，它們的出現往往會掩蓋波數ν1兩側的弱光譜信號。因此，必須采取措施抑制這種旁瓣。抑制旁瓣的手段叫“切趾”（apodization）。apodization一詞來自拉丁文，意為“cutting off the feet”。

切趾就是將主峰兩側的“腳趾”切除掉。要實現這一點，就要用一個切趾函數（apodization function）代替矩形函數截取干涉圖。切趾函數有二十多種，如Happ-Genzel、triangular、Norton-Beer、Blackman-Harris、Trapezoidal、cosine、goussion等。

從圖2-11（c）可以看出，用矩形函數作為截止函數時，在截止處，干涉圖函數值突然降為零，這導致干涉圖在該處出現嚴重的不連續性。用切趾函數代替矩形函數，目的是為了緩和這種不連續性。一般來說，這個切趾函數在X=0處有極大值1，隨著X的增大而減小，并且在X=±Δ/2處取值為0。

當用三角形切趾函數（triangular function）代替矩形函數截取干涉圖時，圖2-11變成圖2-12。

比較圖2-11和圖2-12，可以看出：①圖2-12的輸出光譜主峰兩側的旁瓣基本消失，剩余的旁瓣未出現負峰；②圖2-12的輸出光譜譜帶的寬度加大，譜帶半高寬加大的結果使光譜的分辨率降低。對于一張紅外光譜，譜帶加寬而導致光譜分辨率降低一些是可以容忍的，但是，譜帶兩側出現旁瓣而干擾微弱紅外信號的測定是紅外光譜學家不能容忍的。這就是一定要使用切趾函數的原因。

雖然切趾函數有很多種，但是，商用傅里葉變換紅外光譜儀中使用的只有幾種，而且，各個儀器廠家使用的切趾函數也不盡相同。

使用切趾函數后，“腳趾”雖然被切除掉了，但是，光譜的分辨率卻降低了。對于同一個樣品的同一個干涉圖，使用不同的切趾函數進行傅里葉變換，得到的光譜有些不同，分辨率也有差別，但是差別非常小。所以在大多數情況下，不管使用哪一種切趾函數，得到的光譜都相當相似。

每臺傅里葉變換紅外儀器通常都設置幾種切趾函數可供選擇，儀器使用者可以根據不同的需要選擇不同的切趾函數。在高分辨率光譜的測試或要求進行光譜定量分析時，推薦使用Norton-Beer Weak切趾函數。在高分辨率紅外儀器分辨率檢定時，只能采用矩形函數，而不能采用其他切趾函數進行傅里葉變換。在實際紅外光譜測定時，則不能采用矩形函數。