第四節(jié)　數(shù)據(jù)處理的基本方法

數(shù)據(jù)處理是指從獲得數(shù)據(jù)起到得出結(jié)論為止的整個過程。如果數(shù)據(jù)處理不當，會前功盡棄，所以數(shù)據(jù)處理在實踐中占重要地位。本節(jié)介紹一些常用的數(shù)據(jù)處理方法。

一、列表法

以表格的形式列出測量數(shù)據(jù)的方法稱為列表法。列表的好處是：測量時能有條不紊，避免漏測；表達方式簡單醒目，有助于反映物理量間的對應關系；便于檢查、發(fā)現(xiàn)和分析實驗中存在的問題；有利于計算和不確定度的估算，提高數(shù)據(jù)處理的效率。

列表的要求：

①簡單明確有條理。欄目順序應充分注意數(shù)據(jù)間的聯(lián)系和計算程序，也要注意測量順序。一些主要的中間計算結(jié)果也應在表中有所體現(xiàn)，以便于處理和分析實驗數(shù)據(jù)。

②各欄目（縱或橫）均應標明名稱和單位。若名稱用自定符號，需予以說明。單位寫在物理量符號之后，并用括號括起來，不要標在每個數(shù)據(jù)的后面。如整個表格都用同一單位，也可標在表格的上方。

③表中必須包含原始數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)應能正確反映測量有效數(shù)字的位數(shù)。

④實驗室所給數(shù)據(jù)或查得的單項數(shù)據(jù)應列在表格的上部。

列表的具體格式參考各實驗中所附的記錄表格。

二、圖示法

利用實驗數(shù)據(jù)畫實驗圖線（圖示法）的好處是簡便而直觀地反映了數(shù)據(jù)之間的關系，更能反映函數(shù)關系的“幾何”特性。它比列表法更為完整，具有連續(xù)性的優(yōu)點，從而可彌補列表之不足，找到表上未列出的中間數(shù)值。通過作圖，還可以幫助人們發(fā)現(xiàn)測量中的不足與“壞值”，指導進一步試驗、測量。有了圖線之后，在某些特殊情況下，可以利用圖解的方法（簡稱“圖解法”）推出實驗圖線（整條曲線或其中某一段）對應的方程式。把這種方程式叫做經(jīng)驗方程式或經(jīng)驗公式。

1.圖線的類型

物理實驗中遇到的圖線，大致可以分為三類。

（1）表示在一定條件下某一物理量與另一物理量之間依賴關系的圖線，這類圖線一般是光滑連續(xù)的曲線或直線。

（2）在少數(shù)情況下，兩個物理量的函數(shù)關系可能是不規(guī)則的，或者依賴關系的精確性質(zhì)不清楚。這時，盡管坐標紙上的點都是根據(jù)觀測值畫出的，相鄰兩點間仍然用直線連接。這樣畫得的圖線稱為校正圖線。這類圖線不是光滑連續(xù)的曲線，而是無規(guī)則的折線。

（3）用于代替表格上所列數(shù)據(jù)的計算用圖。這類圖線是根據(jù)較精密的測量數(shù)據(jù)經(jīng)過整理后，精心細致地繪制在標準圖紙上，以便計算和查對。

這三種圖線雖有各自不同的特點和應用，但它們的基本圖示原則是一致的。

2.實驗數(shù)據(jù)的圖線表示法——圖示法

要做好一張正確、實用、美觀的實驗圖線，大體包括下列幾個步驟。

（1）選擇合適的圖紙　常用的圖紙有直角坐標紙、對數(shù)（單對數(shù)和雙對數(shù)）坐標紙、極坐標紙三種。

圖紙大小的選擇，以不損失實驗數(shù)據(jù)的有效數(shù)字和能包括所有實驗點作為選取坐標紙大小的最小限度，即圖紙上的最小分格至少應與實驗數(shù)據(jù)中最后一位準確數(shù)字相當。例如，用伏安法測電阻所得數(shù)據(jù)如表1-4所示。

根據(jù)實驗范圍：

Imax-Imin=0.260-0.082=0.178和Vmax-Vmin=2.80-0.87=1.93。則圖紙至少要取20mm×20mm。但這樣的圖紙?zhí)×耍煞糯?倍、5倍或10倍。一般測量值的有效數(shù)字在3～4位，且變化范圍不大，用直角坐標紙做圖較好。如果變化范圍很大，則要考慮用對數(shù)坐標紙做圖。

（2）確定坐標軸　以橫軸代表自變量，縱軸代表因變量，軸末端或外側(cè)注明物理量符號及單位，兩者間用斜線“/”或逗號分開，也可用括號括上單位。

（3）標注分度值　對于每個坐標軸，在相隔一定距離上標明該物理量的整齊數(shù)值，稱為坐標分度。在注明坐標分度時應注意以下幾點。

①圖線上觀測點的坐標讀數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)大體上與實驗數(shù)據(jù)的有效數(shù)字位數(shù)相同。例如：對于直接測量的物理量，軸上最小格的標度可與測量儀器的最小刻度相同。

②分度應使每個點的坐標值都能迅速方便地讀出。一般用一大格（10mm）代表1個、2個、5個、10個單位較好，而不采用一大格代表3、6、7、9……個單位，也不應用3、6、7、9……個小格（1mm）代表一個單位，因為那樣不僅標點和讀數(shù)不方便，而且也容易出錯。

③好的比例分度，應使作出的圖線對稱地充滿整個圖紙而不偏于一邊或一角。縱軸、橫軸的起點不一定要從零開始。兩軸的比例也可以不同，使圖線和橫軸的夾角在30°～60°。

④如果數(shù)據(jù)特別大或特別小，可以提出乘積因子10n（n為正負整數(shù)）放在所標單位之前。

（4）標點　按表列數(shù)值，在坐標系內(nèi)逐個描出點，有時要在一個坐標圖上畫出幾條線，為區(qū)別不同的函數(shù)關系的點，可以用不同的符號作出標記（例如，用“×”“+”“☉”“……”）以示區(qū)別，并在適當?shù)奈恢蒙献⒚鞲鞣柕囊饬x。注意不要用“·”來標記，因為它極易被圖線淹沒。

（5）連線　除了標準曲線應連成折線外，其他情形一律連成光滑曲線；曲線不一定通過所有的點，而是要求曲線“平均地”通過這些點，個別偏離過大的點應當舍去或重新測量核對；如果圖線是一條直線，該直線一定通過xi和yi的平均值）所在的點，可將該點標出，然后以它為軸轉(zhuǎn)動直尺到恰當位置畫出該直線；如欲將圖線延伸到測量數(shù)據(jù)范圍之外，應依其趨勢用虛線表示；所畫曲線應盡量勻、細、光滑。

（6）寫圖名　在圖紙頂部附近空曠位置寫出簡潔而完整的圖名。一般將縱軸代表的物理量寫在前面，橫軸代表的物理量寫在后面，中間用符號“～”連接。在圖名的下方允許附加必不可少的實驗條件或圖注。

3.圖解法

根據(jù)實驗圖線，運用解析幾何知識進一步得到曲線方程或經(jīng)驗公式的方法，稱為圖解法。

（1）直線圖解的步驟　如果作出的實驗圖線是一條直線，直線方程y=kx+b，圖解法實際上就是求斜率k和截距b。其步驟如下。

①選點。在直線的兩端各選一個點A（x1，y1）和點B（x2，y2）。為了減小相對誤差，所選的兩點應該相隔遠一些，但仍在實驗范圍之內(nèi)，一般不選實驗數(shù)據(jù)的點。將所選的點用與實驗數(shù)據(jù)的點不同的符號表示，并在旁邊注明其坐標值。

②求斜率k。將A、B兩點的坐標值代入直線方程y=kx+b，于是有

y1=kx1+b

y2=kx2+b

解得：

k稱為直線的斜率。

③求截距b。如果橫坐標的起點為零，則直線的截距可直接從圖中讀出（∵x=0時，y=b）。否則可用下式計算截距。

于是得到了與實驗圖線相適應的經(jīng)驗公式。

（2）曲線改直　在實際工作中許多物理量的關系并不都是線性的，但仍可通過適當變換成為線性關系，即把曲線變換成直線。這種方法叫做曲線改直。舉例說明如下。

例1：求y=axb中的函數(shù)a、b。

因為lgy=blgx+lga，令Y=lgy，X=lgx，A=lga，則變?yōu)?span id="2393dka" class="italic">Y=bX+A，由測得的各組（xi，yi）值，可求出相應的（Xi，Yi），由圖解法可求出b、A，進一步求得a值。

例2：求y=x/（a+b+x）中的函數(shù)a、b。

上式可改寫為y-1=ax-1+b，令Y=y-1，X=x-1，則轉(zhuǎn)化為線性方程Y=aX+b，由測得的各組（xi，yi）可求出相應的（Xi，Yi），由圖解法可求出a、b。

三、逐差法

逐差法是物理實驗中常用的一種初等解析方法，比圖解法準確。

使用前提：第一，具有形如y=a+bx的線性關系；第二，自變量x對于因變量y為精確量，且按等差變化。

在物理實驗中，常常遇到等間隔測量線性連續(xù)變化的物理量，求其間隔的平均值（變化率）的問題，怎樣計算最好呢？一般會認為將測得的每個間隔值相加，再除以間隔數(shù)（稱做“簡單平均法”）就是最好的辦法。但并不盡然，下面就以測量金屬絲楊氏彈性模量實驗中單位加載引起的觀測高程差Δni的測量為例，加以說明。在金屬絲彈性變化范圍內(nèi)，每次均勻加載所引起的伸長量是相近的。因而由光放大后測得的每次加載引起的讀數(shù)差[Δni=（ni+1-ni）（i=0，1，2，…，k）]值也是相近的，如果就以這樣的各次差值（Δni）求得的平均值）作為測量值，則有：

這樣一來，只有首、末兩次測量才起作用，而一切中間測量都失去了意義。實際上就與單次測量沒有兩樣，失去了多次測量以減小誤差的優(yōu)越性。為了避免上述情況，平均地運用一切測量值，把它們按順序分作相等數(shù)量的兩組（n1，n2，…，np）及（np+1，…，n2p）。取兩組對應項之差，記作Δnj=np+j-nj（j=1，2，…，p）。再求其平均值：

　　 （1-40） 　　

這樣的方法叫做逐差法，它保持了多次測量的優(yōu)越性[注意：逐差法公式（1-40）所求得的是p個間隔值差的平均值]。

四、最小二乘法

對于線性關系（或通過曲線改直法而轉(zhuǎn)化成的線性關系）：

y=kx+b　　（1-41）

測得各（xi，yi）（i=1，2，…，n）后，如何“最佳地”決定式中的k、b值？

1805年法國Legadre首先發(fā)現(xiàn)了最小二乘法，其后Gause建立了它的數(shù)學原理，從而解決了上述問題。

最小二乘法是建立在實驗觀測服從正態(tài)分布這一基點上的，使用的前提是自變量的各測量值均無誤差或與因變量的測量值相比，其誤差可以忽略。

設圖1-6中的虛線是最佳直線，對應的直線方程為：

y*=kx+b　　（1-42）

則稱為yi的偏差，式中是將xi代入式（1-42）所得的值。研究表明，最佳直線方程應滿足所有偏差的平方之和為最小這一條件，即

　　 （1-43） 　　

這就是最小二乘法的基本思想。

將式（1-42）代入式（1-43）可得：

因為xi、yi皆為測得值，故D只是k、b的函數(shù)，從而D最小應滿足的條件為：

　　 （1-44a） 　　

　　 （1-44b） 　　

　　 （1-44c） 　　

由式（1-44a）得到關于k、b的一元二次方程組，解此方程組得

　　 （1-45） 　　

　　 （1-46） 　　

式中

　　 （1-47） 　　

　　 （1-48） 　　

分別為n個xi及yi的平均值。

不難證明，所求得的k、b確實滿足式（1-44b）、式（1-44c），所以，式（1-45）、式（1-46）即為使D（k，b）極小的條件，將由式（1-45）、式（1-46）兩式所求得的k、b值代入式（1-42），即得最佳直線方程。

獲得數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，…，n）后，應判斷x、y間是否具有線性關系，可用相關系數(shù)Re來判斷。可以導出相關系數(shù)Re為：

　　 （1-49） 　　

式中，Sxx、Sxy由式（1-47）、式（1-48）確定，而Syy為

　　 （1-50） 　　

相關系數(shù)的性質(zhì)如下。

①｜Re｜≤1。

②如果Re>0，則y隨x的增加而增加，稱x與y正相關；如果Re<0，則y隨x增加而減少，稱x與y負相關；如果Re=0，稱x與y完全不相關。

③｜Re｜≈1時，說明x與y線性相關，即x與y具有線性關系，｜Re｜越接近1線性越好。｜Re｜接近1到什么程度才能確認x、y間具有線性關系呢？可以證明，其條件是：

Reo≤｜Re｜≤1　　（1-51）

式中，Reo稱為相關系數(shù)起碼值，見表1-5。

下面介紹由最小二乘法得到的最佳線性方程的誤差問題。可以證明，方程的剩余標準差Sy以及系數(shù)k、b的標準差Sk、Sb分別為

　　 （1-52） 　　

　　 （1-53） 　　

　　 （1-54） 　　

Sy的意義如圖1-7所示，如果在y*=kx+b兩側(cè)畫兩條平行直線

　　 （1-55） 　　

那么當c=1時，說明數(shù)據(jù)點（xi，yi）有約68.3％的可能性落在兩直線之間；c=3時，這種可能性幾乎是100％。

思考題

1.用精密天平稱一物體的質(zhì)量m，共稱五次，結(jié)果分別為3.6127g、3.6122g、3.6121g、3.6120g和3.6125g。試求這些數(shù)據(jù)的和ur。

2.按照誤差理論和有效數(shù)字運算規(guī)則，改正以下錯誤：

（1）N=（10.8000±0.2）cm。

（2）有人說0.2870有五位有效數(shù)字，有人說只有三位（因為兩個“0”都不算有效數(shù)字），請糾正并說明其原因。

（3）有人說8×10-5g比8.0g測得準確，試糾正并說明原因。

（4）28cm=280mm。

（5）L=（28000±8000）mm。

（6）0.0221×0.0221=0.00048841.

（7）

3.判斷下面一些情況所出現(xiàn)的誤差是可定系統(tǒng)誤差、未定系統(tǒng)誤差還是隨機誤差：

（1）零點沒對準產(chǎn)生的零點誤差；

（2）用讀數(shù)顯微鏡測量時，眼睛稍稍左右錯動，發(fā)現(xiàn)物像與叉絲也發(fā)生相對錯動所存在的視差；

（3）用伏安法測電阻時，電表內(nèi)阻影響造成的誤差；

（4）儀表誤差；

（5）天平兩臂不等長產(chǎn)生的誤差；

（6）電位差計的靈敏度誤差；

（7）單擺實驗中空氣浮力與阻力影響造成的誤差；

（8）用停表計時的計時誤差；

（9）在米尺不同部位測物體長度所出現(xiàn)的讀數(shù)起伏；

（10）接觸電阻造成的誤差。

4.試利用有效數(shù)字運算規(guī)則計算下列各式的結(jié)果：

（1）98.754+1.3=？

（2）107.50-2.5=？

（3）111×0.100=？

（4）237.5/0.10=？

（5）

（6）

（7）

5.說明下列概念。

可定系統(tǒng)誤差、未定系統(tǒng)誤差、隨機誤差、平均絕對誤差、標準偏差、儀器誤差、極限誤差、不確定度、相對不確定度、A類不確定度、B類不確定度。

6.試寫出下列測量關系式的不確定度傳播公式。

（1）

（2）

要求：①進行粗略估算（算術合成）；

②進行精確估算（方和根合成）。

7.用量程為300mm的50分度游標尺測某樣品長度10次，數(shù)值為l（mm）=63.56，63.58，63.54，63.56，63.54，63.56，63.60，63.58，63.52，63.56。求和ur。

8.測量固體比熱實驗中，物體初溫為，放入量熱器達到平衡時的溫度為，溫度降低為t=t1-t2，求t+Ut及相對不確定度Ur。采用算術合成法。