第三節 有效數字及其運算
一、有效數字的定義
如上所述，用實驗儀器直接測量的數值都具有一定的誤差，因此，測得的數據都只能是近似數。由這些近似數通過計算而求得的間接測量值也是近似數。顯然，幾個近似數的運算不可能使運算結果更準確地表示記錄和運算結果的近似性。
從儀器上讀出的數字，通常都要盡可能估計到儀器最小刻度線的下一位。以圖1-2用米尺測量鋼棒的長度為例，可以讀出3.26cm、3.27cm、3.28cm，前兩位數“3.2”可以從米尺上直接讀出來，是準確數字，而第三位數是測量者估讀出來的，估讀的結果因人而異。因此下一位數的估計已經是沒有可能和必要了。我們把儀器上讀出的數字包括最后一位可疑的數字，全部記錄下來，稱為有效數字。即
有效數字=全部可靠數字+1位可疑數字
物理實驗中之所以特別強調用有效數字表達測量結果，是因為它能直觀地反映測量結果精度的高低，如100Ω的相對不確定度約為百分之幾，而100.0Ω的相對不確定度則為千分之幾，所以，有效數字位數越多測量精度越高。
應該明確：
①可疑數字只應保留一位，保留多位或沒有這一位都是無意義的。
②數字前面的零不算作有效數字，它與單位換算有關；數字后面的零是有效數字的一部分，不能任意增減。例如，58.00mA是四位有效數字，0.05800A也是四位有效數字。
③單位換算時，有效數字的位數必須保持不變，從而保證測量精度不變。例如，11.80kg=1.180×104g（數字的科學表達法），不能寫成11800g。
二、直接測量有效數字的讀取
一般而言，測量器具的分度值是考慮到儀器誤差所在的位來劃分的，讀取測量值的一般原則是：除了讀取能夠準確讀出的數值外，還必須在分度值以內再讀出一位可疑數字。
如圖1-5中，工件A長應讀成13.0mm，讀成12.9mm或13.1mm也不錯，但絕不能讀成12mm或13mm。
圖1-5 用米尺測工件長度
應注意：
①估讀方法不一定都按1/10分度值讀可疑數字，可按情況采取1/5、1/4或1/2分度值估讀。有時也可以不估讀，如50分度游標卡尺，其儀器誤差為0.02mm，則讀數的最末位即為可疑位。
②當儀器指示與儀器上某刻線對齊時，特別要注意在數后補零，以便能正確反映測量精度。如圖1-5中工件A和B的總長度應為2.00cm，寫成20mm或2cm都是不正確的。總之，如需補零，末位零必須與可疑數字位一致。數字顯示儀表，可疑數字位在數字的最末位上。
三、間接測量有效數字的運算
由直接測得量計算間接測得量時，如不遵守正確的規則，會使測量結果的準確性受到歪曲。
1.加、減運算（可疑數字下面標一橫線）
例如：
加減運算規則：幾個有效數字相加減時，結果的可疑數字位和參與加減運算的幾個有效數字中最大可疑數字位一致。
2.乘、除運算
例如：
9雖為可疑數，但不影響商7，所以7還是準確數。
乘除運算規則：一般情況下幾個有效數字相乘除時，結果有效數字的位數與參與乘除運算的幾個有效數字中最少的位數一致。
3.乘方、開方的有效數字
不難證明，乘方、開方的有效數字與其底的有效數字位數相等。
應該注意：
①整倍數、整分數是準確數字，結果位數與整倍數、整分數的位數無關。
②無理數（π、e、
、物理常數等）參與乘除運算時，無理數取位應比式中最少的位數多取一位，以保證結果的準確性。
③有效數字運算經常遇到數字的舍入問題，舍入的原則是：以要保留的最末位數為準，對于后面的數小于5時舍，大于5時入，等于5時，末位數湊成偶數。例如，將下面各數一律變為三位有效數字，則：
8.25499→8.25；
0.6375→0.638；
6.71501→6.72；
0.6385→0.638。