- 大學物理實驗
- 趙述哲 尹樹明
- 2516字
- 2020-01-22 11:35:08
第二節 不確定度的估算方法
一、測量結果的正確度、精密度、準確度、精度和不確定度
1.正確度
測量值與真值的符合程度稱為正確度。測量值越接近真值，正確度越高。正確度反映了系統誤差的大小。在其他方面的系統誤差得到修正或可忽略的情況下，儀器的基本允許誤差（簡稱儀器誤差）Δ儀可作為直接測量正確程度的界限。
儀器誤差是指在正確使用儀器的條件下，測量所得結果和被測量的真值之間可能產生的最大誤差。不同種類測量器具的儀器誤差的形式不一樣。例如，對于電表類：
Δ儀=a％×量程 （1-23）
式中，a為電表的準確度等級。有些測量器具沒有注明準確度等級，可查閱有關的計量器具說明書或參考國家標準。例如，量程為300mm的50分度游標卡尺，Δ儀=0.02mm，量程為25mm的一級千分尺，Δ儀=0.004mm，最大稱量為500g的WL型物理天平，Δ儀如表1-2所列等。
表1-2 WL型物理天平的儀器誤差
Δ儀可認為是誤差限，它不能用統計方法估算，這種不確定度分量稱為B類不確定度。
2.精密度
重復測量所得結果相互接近的程度稱為精密度，精密度反映的是隨機誤差大小的程度。各次測量值相互越接近，精密度越高。單次測量無精密度可言，多次重復測量所算得的平均絕對誤差
或標準偏差
[式（1-15）]可用來表達測量結果的精密程度。
平均絕對誤差定義為測量列中各測量值偏差絕對值的平均值，即：
（1-24）
沒有明確的置信概率可言。當測量次數k≥5時，
接近于極限誤差。盡管如此，由于計算起來簡單直觀，所以在粗略估算中仍被采用。
能夠用統計方法估算的不確定度分量稱為A類不確定度，標準偏差
（或SN）是A類不確定度的量度。
顯然，反映數據相互靠近程度的精密度高，反映數據接近程度的正確度不一定高，反之也如此。
3.準確度
測量結果正確度與精密度的綜合效果稱為準確度。
4.精度
它是一個籠統的概念。通常用精度來反映測量值與真值的差異。精度高的誤差小，精度低的誤差大。按通常習慣，測量結果的相對不確定度的數值可作為測量結果精度的反映。例如：ur=0.7％，就是測量精度達到0.007。
5.不確定度
它是用來表示誤差范圍的一個重要概念。在計量工作中就常用不確定度來評定實驗結果的誤差，因為誤差是指測量值與真實值之差，而不確定度則是表示測量誤差可能出現的范圍，因此不確定度這個概念更能反映測量結果的特征，其次不確定度包含了各種來源不同的誤差對測量結果的影響，而它們的計算又反映了這些誤差所服從的分布規律。為了取得對不確定度計算和表示方法上的統一，實驗不確定度主要還是用標準差表示。
二、直接測量不確定度的估算
1.單次測量情形
（1）測量條件較差時，可根據具體情況給出不確定度的估計值U估，它相當于極限誤差。
（2）一般情形下，取Δ儀作為不確定度U的值，它也相當于極限誤差。
2.多次等精度測量情形
（1）粗略估算
（1-25）
（2）精確估算 當測量次數k≥5時，估算步驟如下。
第一步，列出影響測量準確性的一切因素，要求不遺漏、不擴大、不重復。對于可定系差，應從測量結果中修正掉。
第二步，分清上述因素中，哪些屬于能用統計方法估算的A類不確定度分量，哪些屬于不能用統計方法估算的B類不確定度分量。
對于A類不確定度分量，如果測量對象真值不固定（如圓柱直徑各處真值不同），按式（1-14）估算。如果真值固定，按式（1-15）估算。對于B類不確定度分量，如U估、Δ儀等，要轉換成相似標準差進行估算，對于大多數測量器具的儀器誤差所對應的相似標準差為：
（1-26）
第三步，求合成不確定度uN，它等于各A類不確定度分量Si和各B類不確定度分量uj的方和根。
（1-27）
第四步，求總不確定度U。
U=cuN （1-28）
c可取1，2或2.6，所對應的置信概率分別為0.68，0.95或0.99。總不確定度用于測量結果的報告又稱報告不確定度。
第五步，列結果表示式，按下述三種方式之一列出：
N±U=… （P=0.68） （U=uN）
N±U=… （P=0.95） （U=2uN）
N±U=… （P=0.99） （U=2.6uN）
三、間接測量不確定度的估算
設間接測量量N 與直接測量量x，y滿足
N=f（x，y） （1-29）
今對x，y測量了k組：（x1，y1），（x2，y2），…，（xk，yk），則有兩種計算N值的方式。
第一種方式是先計算各Ni值，然后求出各Ni的平均值。
Ni=f（xi，yi）（i=1，2，…，k） （1-30a）
（1-30b）
第二種方式是先求出
，然后將
代入式（1-29）中計算
值。
（1-31a）
（1-31b）
第一種方式比較麻煩，第二種方式是近似計算，通過臺勞展開可知，當測量次數較大時，可采用第二種簡單算法。我們規定，k≥5時用第二種算法，否則用第一種算法。
1.不確定度傳播規律
直接測量量具有不確定度，從而導致間接測量量也具有不確定度，稱之為不確定度的傳播下面介紹其傳播規律由于不確定度一般是微小量故可借助于微分手段予以研究。
對式（1-29）兩邊微分得：
從而傳播規律為（對加減運算用起來方便）
（1-32）
或者先對式（1-29）兩邊取自然對數，再對兩邊取微分
從而傳播規律為（對乘除為主的運算，用起來方便）
（1-33）
上述公式中相加各項稱為不確定度項，各直接測量量不確定度前面的系數稱為不確定度傳播系數。
2.不確定度的合成
由各不確定度項求間接測量量不確定度的過程，稱為不確定度的合成。
（1）粗略估算——不確定度的算術合成從極限情形考慮，各不確定度項全為正值到全為負值都有可能，但在最不利的情況下，各不確定度項全為正值時，由式（1-32）、式（1-33）得：
（1-34）
（1-35）
式中，Ux、Uy可采用U估、Δ儀或由式（1-25）確定的U，而由式（1-34）、式（1-35）所得間接測量的不確定度相當于誤差限。
（2）精確估算——不確定度的方和根合成可以證明，當直接測量量x、y彼此獨立無關時，間接測量量的不確定度為：
（1-36）
（1-37）
式中，ux、uy可采用相似標準差（單次直接測量、一般為Δ儀/3），或者采取式（1-27）所確定的值。由式（1-36）、式（1-37）所得間接測量的不確定度的置信概率約為0.68。
為了方便，現將常用運算關系的不確定度計算公式列入表1-3中以供查找。
表1-3 常用運算關系的不確定度計算公式
四、測量值相對于其公認值（或理論值）的百分差
設NS代表待測量的公認值或理論計算值，則N與NS之間的百分差ES為
（1-38）
一般說來，NS更接近真值N0，故應滿足
｜N-NS｜≤uN
從而｜N-NS｜/NS≤uN/NS≈uN/N，即
ES≤ur （以一定概率） （1-39）
可見計算ES的意義除了衡量測量值N的正確度外，還具有判斷不確定度估算是否合理等作用，如發現ES>ur，應仔細審查不確定度的估算是否存在什么問題，是否存在較大的系統誤差沒有反映到不確定度的估算中等。