第二節(jié)　不確定度的估算方法

一、測量結(jié)果的正確度、精密度、準(zhǔn)確度、精度和不確定度

1.正確度

測量值與真值的符合程度稱為正確度。測量值越接近真值，正確度越高。正確度反映了系統(tǒng)誤差的大小。在其他方面的系統(tǒng)誤差得到修正或可忽略的情況下，儀器的基本允許誤差（簡稱儀器誤差）Δ儀可作為直接測量正確程度的界限。

儀器誤差是指在正確使用儀器的條件下，測量所得結(jié)果和被測量的真值之間可能產(chǎn)生的最大誤差。不同種類測量器具的儀器誤差的形式不一樣。例如，對于電表類：

Δ儀=a％×量程　　（1-23）

式中，a為電表的準(zhǔn)確度等級。有些測量器具沒有注明準(zhǔn)確度等級，可查閱有關(guān)的計量器具說明書或參考國家標(biāo)準(zhǔn)。例如，量程為300mm的50分度游標(biāo)卡尺，Δ儀=0.02mm，量程為25mm的一級千分尺，Δ儀=0.004mm，最大稱量為500g的WL型物理天平，Δ儀如表1-2所列等。

Δ儀可認(rèn)為是誤差限，它不能用統(tǒng)計方法估算，這種不確定度分量稱為B類不確定度。

2.精密度

重復(fù)測量所得結(jié)果相互接近的程度稱為精密度，精密度反映的是隨機(jī)誤差大小的程度。各次測量值相互越接近，精密度越高。單次測量無精密度可言，多次重復(fù)測量所算得的平均絕對誤差或標(biāo)準(zhǔn)偏差[式（1-15）]可用來表達(dá)測量結(jié)果的精密程度。

平均絕對誤差定義為測量列中各測量值偏差絕對值的平均值，即：

　　 （1-24） 　　

沒有明確的置信概率可言。當(dāng)測量次數(shù)k≥5時，接近于極限誤差。盡管如此，由于計算起來簡單直觀，所以在粗略估算中仍被采用。

能夠用統(tǒng)計方法估算的不確定度分量稱為A類不確定度，標(biāo)準(zhǔn)偏差（或SN）是A類不確定度的量度。

顯然，反映數(shù)據(jù)相互靠近程度的精密度高，反映數(shù)據(jù)接近程度的正確度不一定高，反之也如此。

3.準(zhǔn)確度

測量結(jié)果正確度與精密度的綜合效果稱為準(zhǔn)確度。

4.精度

它是一個籠統(tǒng)的概念。通常用精度來反映測量值與真值的差異。精度高的誤差小，精度低的誤差大。按通常習(xí)慣，測量結(jié)果的相對不確定度的數(shù)值可作為測量結(jié)果精度的反映。例如：ur=0.7％，就是測量精度達(dá)到0.007。

5.不確定度

它是用來表示誤差范圍的一個重要概念。在計量工作中就常用不確定度來評定實(shí)驗結(jié)果的誤差，因為誤差是指測量值與真實(shí)值之差，而不確定度則是表示測量誤差可能出現(xiàn)的范圍，因此不確定度這個概念更能反映測量結(jié)果的特征，其次不確定度包含了各種來源不同的誤差對測量結(jié)果的影響，而它們的計算又反映了這些誤差所服從的分布規(guī)律。為了取得對不確定度計算和表示方法上的統(tǒng)一，實(shí)驗不確定度主要還是用標(biāo)準(zhǔn)差表示。

二、直接測量不確定度的估算

1.單次測量情形

（1）測量條件較差時，可根據(jù)具體情況給出不確定度的估計值U估，它相當(dāng)于極限誤差。

（2）一般情形下，取Δ儀作為不確定度U的值，它也相當(dāng)于極限誤差。

2.多次等精度測量情形

（1）粗略估算

　　 （1-25） 　　

（2）精確估算　當(dāng)測量次數(shù)k≥5時，估算步驟如下。

第一步，列出影響測量準(zhǔn)確性的一切因素，要求不遺漏、不擴(kuò)大、不重復(fù)。對于可定系差，應(yīng)從測量結(jié)果中修正掉。

第二步，分清上述因素中，哪些屬于能用統(tǒng)計方法估算的A類不確定度分量，哪些屬于不能用統(tǒng)計方法估算的B類不確定度分量。

對于A類不確定度分量，如果測量對象真值不固定（如圓柱直徑各處真值不同），按式（1-14）估算。如果真值固定，按式（1-15）估算。對于B類不確定度分量，如U估、Δ儀等，要轉(zhuǎn)換成相似標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行估算，對于大多數(shù)測量器具的儀器誤差所對應(yīng)的相似標(biāo)準(zhǔn)差為：

　　 （1-26） 　　

第三步，求合成不確定度uN，它等于各A類不確定度分量Si和各B類不確定度分量uj的方和根。

　　 （1-27） 　　

第四步，求總不確定度U。

U=cuN　　（1-28）

c可取1，2或2.6，所對應(yīng)的置信概率分別為0.68，0.95或0.99。總不確定度用于測量結(jié)果的報告又稱報告不確定度。

第五步，列結(jié)果表示式，按下述三種方式之一列出：

N±U=…　（P=0.68）　（U=uN）

N±U=…　（P=0.95）　（U=2uN）

N±U=…　（P=0.99）　（U=2.6uN）

三、間接測量不確定度的估算

設(shè)間接測量量N 與直接測量量x，y滿足

N=f（x，y）　　（1-29）

今對x，y測量了k組：（x1，y1），（x2，y2），…，（xk，yk），則有兩種計算N值的方式。

第一種方式是先計算各Ni值，然后求出各Ni的平均值。

Ni=f（xi，yi）（i=1，2，…，k）　　（1-30a）

　　 （1-30b） 　　

第二種方式是先求出，然后將代入式（1-29）中計算值。

　　 （1-31a） 　　

　　 （1-31b） 　　

第一種方式比較麻煩，第二種方式是近似計算，通過臺勞展開可知，當(dāng)測量次數(shù)較大時，可采用第二種簡單算法。我們規(guī)定，k≥5時用第二種算法，否則用第一種算法。

1.不確定度傳播規(guī)律

直接測量量具有不確定度，從而導(dǎo)致間接測量量也具有不確定度，稱之為不確定度的傳播下面介紹其傳播規(guī)律由于不確定度一般是微小量故可借助于微分手段予以研究。

對式（1-29）兩邊微分得：

從而傳播規(guī)律為（對加減運(yùn)算用起來方便）

　　 （1-32） 　　

或者先對式（1-29）兩邊取自然對數(shù)，再對兩邊取微分

從而傳播規(guī)律為（對乘除為主的運(yùn)算，用起來方便）

　　 （1-33） 　　

上述公式中相加各項稱為不確定度項，各直接測量量不確定度前面的系數(shù)稱為不確定度傳播系數(shù)。

2.不確定度的合成

由各不確定度項求間接測量量不確定度的過程，稱為不確定度的合成。

（1）粗略估算——不確定度的算術(shù)合成從極限情形考慮，各不確定度項全為正值到全為負(fù)值都有可能，但在最不利的情況下，各不確定度項全為正值時，由式（1-32）、式（1-33）得：

　　 （1-34） 　　

　　 （1-35） 　　

式中，Ux、Uy可采用U估、Δ儀或由式（1-25）確定的U，而由式（1-34）、式（1-35）所得間接測量的不確定度相當(dāng)于誤差限。

（2）精確估算——不確定度的方和根合成可以證明，當(dāng)直接測量量x、y彼此獨(dú)立無關(guān)時，間接測量量的不確定度為：

　　 （1-36） 　　

　　 （1-37） 　　

式中，ux、uy可采用相似標(biāo)準(zhǔn)差（單次直接測量、一般為Δ儀/3），或者采取式（1-27）所確定的值。由式（1-36）、式（1-37）所得間接測量的不確定度的置信概率約為0.68。

為了方便，現(xiàn)將常用運(yùn)算關(guān)系的不確定度計算公式列入表1-3中以供查找。

四、測量值相對于其公認(rèn)值（或理論值）的百分差

設(shè)NS代表待測量的公認(rèn)值或理論計算值，則N與NS之間的百分差ES為

　　 （1-38） 　　

一般說來，NS更接近真值N0，故應(yīng)滿足

｜N-NS｜≤uN

從而｜N-NS｜/NS≤uN/NS≈uN/N，即

ES≤ur　（以一定概率）　　（1-39）

可見計算ES的意義除了衡量測量值N的正確度外，還具有判斷不確定度估算是否合理等作用，如發(fā)現(xiàn)ES>ur，應(yīng)仔細(xì)審查不確定度的估算是否存在什么問題，是否存在較大的系統(tǒng)誤差沒有反映到不確定度的估算中等。