第一章　測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理

第一節(jié)　物理量的測(cè)量、誤差與不確定度的基本知識(shí)

一、物理量的測(cè)量

進(jìn)行物理實(shí)驗(yàn)時(shí)，不僅要定性觀察物理變化的過(guò)程，而且還要定量測(cè)定物理量的大小。為了進(jìn)行測(cè)量，必須規(guī)定一些標(biāo)準(zhǔn)單位，如選定質(zhì)量的單位為千克（kg），長(zhǎng)度的單位為米（m），時(shí)間的單位為秒（s），電流強(qiáng)度的單位為安培（A）等。所謂測(cè)量，就是將待測(cè)量與這些選作標(biāo)準(zhǔn)單位的物理量進(jìn)行比較，其倍數(shù)即為物理量的測(cè)量值。一般用米尺測(cè)長(zhǎng)度，用天平秤測(cè)質(zhì)量，用停表測(cè)時(shí)間，用電表測(cè)電壓、電流，用溫度計(jì)測(cè)溫度等，像這樣可以用測(cè)量器具直接測(cè)出物理量量值的測(cè)量稱為直接測(cè)量，相應(yīng)的物理量稱為直接測(cè)量量。但對(duì)于大多數(shù)物理量來(lái)說(shuō)，沒(méi)有直接讀數(shù)的儀器，只能用間接的辦法進(jìn)行測(cè)量。例如：測(cè)量圓柱形銅棒的密度時(shí)，可以用米尺量出它的高（h）和直徑（d），算出體積，然后用天平稱出它的質(zhì)量（M），則圓柱形銅棒的密度。像這樣由直接測(cè)得的物理量經(jīng)過(guò)函數(shù)運(yùn)算間接算出該物理量的量值，該物理量的測(cè)量過(guò)程稱為間接測(cè)量，相應(yīng)的物理量稱為間接測(cè)量量。如果設(shè)x，y…為直接測(cè)量值，W為由它們所確定的間接測(cè)量值，它們之間的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式為：

W=f（x，y…）　　（1-1）

可見，直接測(cè)量是獲得一切物理量的基礎(chǔ)，間接測(cè)量依賴于直接測(cè)量。但是，并非采取基本單位的物理量在一切情況下都必然是直接測(cè)量值，而用導(dǎo)出單位的物理量就必然是間接測(cè)量值。在實(shí)踐中，它取決于所使用的測(cè)量工具，還與測(cè)量方法有關(guān)。例如：用米尺無(wú)法直接測(cè)得圖1-1中所示的尺寸W，它只能由W=A-B獲得。這時(shí)，（厚度）尺寸W就成了間接測(cè)量值。另外，如果用速率表測(cè)汽車行駛的速率，這時(shí)所測(cè)得的速率就是直接測(cè)量值。

二、測(cè)量值的確定

1.直接測(cè)量

先給一個(gè)最簡(jiǎn)單的測(cè)量：用米尺（最小分度值為1mm）測(cè)量鋼棒的長(zhǎng)度（圖1-2）。將尺的始端對(duì)準(zhǔn)鋼棒的一端，鋼棒的另一端所對(duì)米尺上的刻度數(shù)值即為棒長(zhǎng)。從圖1-2中看到棒的長(zhǎng)度在3.2～3.3cm之間。但究竟是多少呢？不同的人可以讀出不同的數(shù)，如3.26cm、3.27cm、3.28cm等。這三個(gè)數(shù)中最后一位數(shù)是估計(jì)出來(lái)的，稱為存疑數(shù)字。實(shí)際上，我們很難判斷哪個(gè)讀數(shù)更準(zhǔn)確，因而也就不能確定鋼棒長(zhǎng)度的真值。所謂真值，就是指反映物質(zhì)自身各種各樣特性的物理量所具有的客觀的真實(shí)數(shù)值。而測(cè)量的目的就是力圖得到真值。

為了提高測(cè)量的可靠程度，常常對(duì)同一物理量進(jìn)行多次測(cè)量。如對(duì)于物理量x，各次測(cè)量值為xi（i=1，2，…，n）。通常，各次測(cè)量值并不完全一致，而且也不可能判斷出哪一次的測(cè)量值恰好是真值。那么，如何確定測(cè)量值呢？一般在測(cè)量沒(méi)有錯(cuò)誤及符合統(tǒng)計(jì)規(guī)律的情況下，可以“期望”諸測(cè)量值的算術(shù)平均值：

　　 （1-2） 　　

算術(shù)平均值是較為接近真值x的，因而把它叫做真值x的最佳近似值，即用代表x比采用任何一次測(cè)量值都更準(zhǔn)確。

如果量具有未消除的零點(diǎn)偏差δ0，則應(yīng)予以扣除，即令：

　　 （1-3） 　　

2.間接測(cè)量

對(duì)間接測(cè)量值W=f（x，y，…），它由諸直接測(cè)量值x，y，…所確定。當(dāng)多次測(cè)量時(shí)，有兩種可能情況：①各直接測(cè)量值是分別獨(dú)立進(jìn)行測(cè)量的，且測(cè)量條件變化幅度很小；②每次都是在差不多同時(shí)或同一條件下對(duì)各量測(cè)量一遍，而各次測(cè)量之間又都是相互獨(dú)立的。嚴(yán)格說(shuō)來(lái)，在這兩種不同的情況下，計(jì)算間接測(cè)量算術(shù)平均值的方法是不同的。

對(duì)于情況①，各直接測(cè)量值x，y，…是相互獨(dú)立測(cè)量的。首先分別求出它們各自的算術(shù)平均值，，…，然后將其代入函數(shù)關(guān)系式（1-1）中求得W的測(cè)量值：

　　 （1-4） 　　

對(duì)于情況②，每次測(cè)量得一組xi，yi，…（i=1，2，…，k），相應(yīng)地Wi=f（xi，yi，…），而以其多次測(cè)量的算術(shù)平均值作為測(cè)量值。

　　 （1-5） 　　

通常，當(dāng)測(cè)量條件沒(méi)有大幅度變化時(shí)，兩種計(jì)算方法所得結(jié)果是相近的。所以，除非測(cè)量條件變化幅度過(guò)大時(shí)必須采用式（1-5）外，不論何種情況，都可以用較為簡(jiǎn)便的式（1-4）計(jì)算。

三、誤差的定義

測(cè)量誤差ΔN為測(cè)量值N與其真值N0之差，即：

ΔN=N-N0　　（1-6）

真值N0一般未知，因而誤差不能確定，它只具有理論上的意義。

隨著科學(xué)水平的提高和人們經(jīng)驗(yàn)、技巧、知識(shí)的不斷豐富，誤差被控制得愈來(lái)愈小，但由于理論或方法、測(cè)量器具、環(huán)境影響以及人的分辨能力的限制，絕不會(huì)使誤差降為零，這已為大量實(shí)踐所證實(shí)，也為一切從事科學(xué)實(shí)驗(yàn)的人們所公認(rèn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果都存在誤差，誤差自始至終地存在于一切科學(xué)實(shí)驗(yàn)的整個(gè)過(guò)程中，這條結(jié)論稱為誤差公理。

四、誤差的分類

按照誤差的性質(zhì)，誤差可分為三類，不過(guò)在具體實(shí)驗(yàn)中，它們往往是混在一起出現(xiàn)的。

1.系統(tǒng)誤差（非統(tǒng)計(jì)性誤差）

在相同條件下，多次重復(fù)測(cè)量同一物理量所對(duì)應(yīng)的各次測(cè)量誤差，如果其符號(hào)和大小保持不變或隨著條件的改變而有規(guī)律地發(fā)生變化，這樣的誤差稱為系統(tǒng)誤差。這樣的誤差都不符合統(tǒng)計(jì)學(xué)中隨機(jī)函數(shù)的規(guī)律，亦稱非統(tǒng)計(jì)性誤差。

系統(tǒng)誤差的特征是具有確定性。產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因常常是：①設(shè)備誤差。如儀器的固有缺陷，如制造偏差、刻度不準(zhǔn)、安裝不正、零點(diǎn)未調(diào)準(zhǔn)、元件不標(biāo)準(zhǔn)、受過(guò)損傷等。②理論方法誤差。例如，測(cè)量方法的不當(dāng)或偏差，包括間接測(cè)量中函數(shù)關(guān)系式（計(jì)算公式）的簡(jiǎn)化（如忽略電表內(nèi)阻或電壓表分流等）。③環(huán)境誤差。如測(cè)量環(huán)境條件溫度、濕度、氣壓、電源電壓、地磁等的改變。④個(gè)人誤差。如觀測(cè)者操作方法欠妥；升溫、降溫過(guò)快，不待指針停穩(wěn)就讀數(shù)；千分尺螺旋桿擰得過(guò)緊等。⑤讀數(shù)偏差。如斜視讀數(shù)、一律抹去尾數(shù)等。

系統(tǒng)誤差按其掌握程度分為以下兩種。

①可定系差：能夠確定其數(shù)值的系統(tǒng)誤差。一經(jīng)發(fā)現(xiàn)，要從結(jié)果中修正掉（即：測(cè)量值=示值+修正值）。

②未定系差：無(wú)法確定其數(shù)值的系統(tǒng)誤差。例如：儀表的基本允許誤差主要屬于未定系統(tǒng)誤差。

系統(tǒng)誤差按其是否會(huì)發(fā)生變化分為以下兩種。

①定值系差：指符號(hào)與大小不變的系統(tǒng)誤差。例如：千分尺密合時(shí)就已有了一個(gè)微小示數(shù)，則每次重復(fù)測(cè)得的值都會(huì)出現(xiàn)同樣的偏離，稱為零點(diǎn)誤差。

②變值系差：指測(cè)量條件改變時(shí)，按某種規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。這種變化，有的可能隨著時(shí)間變化，有的可能隨著位置變化。例如：分光計(jì)刻度盤中心O與望遠(yuǎn)鏡轉(zhuǎn)軸O'如有偏心差e，如圖1-3所示，則當(dāng)轉(zhuǎn)盤角位置為φ時(shí)，測(cè)量誤差為：

Δ=BB'=esinφ　　（1-7）

這便是周期變化的系統(tǒng)誤差，稱為偏心差。

系統(tǒng)誤差常常是影響測(cè)量結(jié)果的主要因素，實(shí)驗(yàn)水平的高低往往決定于對(duì)系統(tǒng)誤差處理水平的高低。

2.隨機(jī)誤差（統(tǒng)計(jì)性誤差）

在相同條件下，多次測(cè)量同一物理量所對(duì)應(yīng)的各次測(cè)量的誤差，其符號(hào)和絕對(duì)值以不可預(yù)定的方式變化，這種誤差稱為隨機(jī)誤差。它通常是符合統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)律的，所以也稱為統(tǒng)計(jì)性誤差。

隨機(jī)誤差具有隨機(jī)變化的性質(zhì)。產(chǎn)生的原因通常是某些偶然的、不確定因素的影響，比如由于操作者視覺(jué)和儀器精度的限制使平衡點(diǎn)確定不準(zhǔn)或估讀數(shù)有起伏（讀數(shù)誤差）；由于環(huán)境因素的隨機(jī)起伏而導(dǎo)致讀數(shù)的微小變化等。這些影響一般是微小的，很難確定影響的具體大小，故不能予以排除或修正其影響。

盡管隨機(jī)誤差不能完全消除，但可通過(guò)改進(jìn)測(cè)量方式或進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量減少其影響。

隨機(jī)誤差雖然在大小和符號(hào)上不確定，但當(dāng)測(cè)量次數(shù)較多時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)存在某種統(tǒng)計(jì)規(guī)律。分析表明，大部分隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布（或稱為高斯分布）。令f（ΔN）代表單位誤差間隔內(nèi)出現(xiàn)某誤差值的概率，即：

　　 （1-8） 　　

f（ΔN）稱為概率密度函數(shù)，當(dāng)測(cè)量次數(shù)k趨于無(wú)限多次時(shí)，f（ΔN）可表達(dá)為：

　　 （1-9） 　　

　　 式中 　　 　　 （1-10）

稱為標(biāo)準(zhǔn)誤差，意義是任一次測(cè)量誤差ΔNi落在[-σ，σ]間的概率為0.68，它代表了一列測(cè)量數(shù)據(jù)的離散程度。

f（ΔN）～ΔN曲線形狀如圖1-4所示，稱為正態(tài)分布曲線。由曲線形狀看出，遵守正態(tài)分布的隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值隨著測(cè)量次數(shù)的增加而趨于零，即：

　　 （1-11） 　　

由該式得：

　　 （1-12） 　　

即在系統(tǒng)誤差可以忽略的情況下，當(dāng)k→∞時(shí)測(cè)量值的平均值等于真值。

實(shí)際測(cè)量總是有限次的，不難理解，此時(shí)測(cè)量值的平均值最接近真值，即平均值是測(cè)量的最佳值。

在有限次測(cè)量的情況下，稱測(cè)量值Ni與平均值之差為偏差或殘差，即

　　 （1-13） 　　

此時(shí)，用標(biāo)準(zhǔn)偏差S作為標(biāo)準(zhǔn)誤差σ的最佳描述。可以證明，測(cè)量列中任一次測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差為：

　　 （1-14） 　　

該式稱為貝賽爾公式。平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差為：

　　 （1-15） 　　

SN或的意義是，當(dāng)測(cè)量次數(shù)較多時(shí)（一般要求k≥5），任一個(gè)ΔNi落在[-SN，SN]之間或的誤差落在之間的概率約為0.68。

上面所得到的概率稱為置信概率（用P表示），置信概率P=0.997所對(duì)應(yīng)的誤差稱為極限誤差（或稱為誤差限），對(duì)于正態(tài)分布的隨機(jī)誤差，可以證明極限誤差近似為：

Δlim=3S　　（1-16）

3.粗大誤差

定義：誤差列ΔNi（i=1，2，…，k）中，有個(gè)別的誤差明顯超出規(guī)定條件下的預(yù)期值，這樣的誤差稱為粗大誤差。粗大誤差具有反常性質(zhì)。

產(chǎn)生原因：常由于各種過(guò)失所造成，比如讀錯(cuò)、記錯(cuò)、測(cè)量條件或操作不符合要求等。

粗大誤差對(duì)應(yīng)的測(cè)量值稱為壞值。應(yīng)按一定規(guī)則判斷測(cè)量值是否是壞值；一旦發(fā)現(xiàn)，應(yīng)將其從測(cè)量列中剔除。

一般常用的幾種判斷壞值的方法有以下兩種。

（1）多次等精度直接測(cè)量的情形

①3S準(zhǔn)則：如果測(cè)量次數(shù)足夠大，那么其中任一測(cè)量值Ni落在內(nèi)的概率幾乎是百分之百，所以如某測(cè)量值的偏差大于3S，可認(rèn)為該測(cè)量值為壞值。

該準(zhǔn)則適合于測(cè)量次數(shù)k較大（k≥10）的情形，否則該準(zhǔn)則失效。

②肖維勒準(zhǔn)則：如果測(cè)量值Ni（i=1，2，…，k）中Nj滿足

　　 （1-17） 　　

則Nj為壞值。式中，wk稱為肖維勒系數(shù)，其值與測(cè)量次數(shù)k有關(guān)，見表1-1。

由表1-1可知，測(cè)量次數(shù)越少wk越小，說(shuō)明測(cè)量值容許的范圍越小。另外，3S準(zhǔn)則相當(dāng)于測(cè)量次數(shù)k≈200次的情形。

注意，某壞值剔除后，還應(yīng)該再用上述準(zhǔn)則繼續(xù)判斷還有沒(méi)有壞值。

（2）yi=f（xi）的情形

①粗略判斷：在坐標(biāo)紙上標(biāo)出各數(shù)據(jù)點(diǎn)（xi，yi），如有個(gè)別點(diǎn)偏離大多數(shù)數(shù)據(jù)點(diǎn)所繪曲線太遠(yuǎn)，可認(rèn)為該組數(shù)據(jù)是壞值。

②嚴(yán)格判斷：對(duì)于線性函數(shù)

y=ax+b　　（1-18）

可計(jì)算其剩余標(biāo)準(zhǔn)差Sy（見本章第四節(jié)），如果

　　 （1-19） 　　

可認(rèn)為（xi，yi）是壞值。式中，是將xi代入由最小二乘法求得的最佳直線方程y*=ax+b所得的y*值。

如果是一般函數(shù)關(guān)系，應(yīng)先將它改為直線方程（見本章第四節(jié)），再按上述方法處理。

五、不確定度的概念及結(jié)果表示

由于真值N0未知，測(cè)量值N大于或小于N0都有可能，實(shí)際工作中只能要求N與N0之差的絕對(duì)值以一定的置信概率P不大于某微小值u：

｜N-N0｜≤u（置信概率為P）　　（1-20）

其中u值可以通過(guò)一定的手段進(jìn)行估算。該式等價(jià)于N-u≤N0≤N+u（置信概率為P），即N0以置信概率P存在于（N-u）～（N+u）之間。

上面引入的u稱為不確定度，它表征真值以某一置信概率存在的范圍，是衡量測(cè)量結(jié)果不確定性的尺度。為此，測(cè)量結(jié)果亦可表示為：

N±u=…　（置信概率P=…）　　（1-21）

該式稱為結(jié)果表示式。

不確定度u與測(cè)量值N比值的百分?jǐn)?shù)稱為相對(duì)不確定度，用ur表示：

　　 （1-22） 　　

相對(duì)不確定度的一個(gè)重要作用是用于衡量實(shí)驗(yàn)質(zhì)量的高低。

注意：

①結(jié)果表示式（1-21）并不意味著有兩個(gè)測(cè)量結(jié)果，而是代表真值以某置信概率存在的兩端界限。

②結(jié)果表示式（1-21）中要有單位。一般測(cè)量值、不確定度值和單位稱為結(jié)果表示的三要素。

③不確定度u只取一位數(shù)字，相對(duì)不確定度最多取兩位數(shù)字。

④結(jié)果表示式（1-21）中，測(cè)量結(jié)果所保留的最末位必須與u值所在的位對(duì)齊（因?yàn)樵撐灰咽强梢晌唬?/p>