1.4　資金等值計算的基本公式

根據支付方式和等值換算點的不同，資金等值計算公式可分為一次支付類型、等額支付類型和變額支付類型。本節(jié)主要介紹一次支付類型和等額支付類型，對于變額支付類型主要介紹一下均勻梯度類型。

1.4.1　一次支付類型

（1）一次支付終值公式（已知P，求F）

假設在某一時間點上，有一筆資金P，計息期利率為i，復利計息，則到n期末的本利和為多少？其現金流量圖如圖1-6所示。

根據式（1-6），應為：

Fn=P（1+i）n

因此，該公式又稱作一次支付終值公式，可以表示為Fn=P（F/P，i，n），其中，（1+i）n或（F/P，i，n）稱作一次支付終值系數。

公式中的系數（F/P，i，n）可以從復利系數表中查出。

【例1-10】　現在把1000元存入銀行，銀行年利率為10％，計算5年后該筆資金的實際價值。

解　已知P=1000，i=10％，n=5，求F。

由式（1-6）得：

Fn=P（1+i）n=1000×（1+10％）5=1610.51（元）

即1000元資金在年利率為10％時，經過5年以后變?yōu)?610.51元，增值610.51元。

【例1-11】　甲公司向乙公司借款100萬元，借期2年，年利20％，到期一次還清，計復利，問到期甲公司向乙公司償還本利和多少？

解　已知P=100，i=20％，n=2，求F。

由式（1-6）得：

Fn=P（1+i）n=100×（1+20％）2=144（萬元）

【例1-12】　某建筑公司進行技術改造，2008年初貸款100萬元，2009年初貸款200萬元，年利率8％，2011年末一次償還，問共還款多少元？

解　先畫現金流量圖，見圖1-7所示。

則

所以，4年后應還款387.99萬元。

（2）一次支付現值公式（已知F，求P）

如果計劃n年后積累一筆資金F，利率為i，問現在一次投資P應為多少？這個問題相當于已知終值F，利率為i和計算期數n，求現值P。即將某一時點（非零點）的資金價值換算成資金的現值（零點處的值）。其現金流量圖如圖1-8所示。

由式（1-6）可求出：

P=F（1+i）-n　　（1-7）

式（1-7）可以表示為P=F（P/F，i，n），其中（1+i）-n和（P/F，i，n）稱作一次支付現值系數。

公式中的系數（P/F，i，n）也可在復利系數表中查出。

【例1-13】　假使你希望第4年末得到800元的存款本息，銀行每年按5％利率付息，現在你應當存入多少本金？

解　P=F（1+i）-n=800（1+0.05）-4=800×0.8227=658.16（元）

【例1-14】　某企業(yè)2年后需要資金5萬元（2年后一次支付），現應存入多少錢，銀行的年利率為10％。

解　P=F（1+i）-n=5（1+10％）-2=4.13（萬元）

【例1-15】　某公司對收益率為15％的項目進行投資，希望8年后能得到1000萬元，計算現在需要投資多少？

解　先畫現金流量圖，如圖1-9所示。

P=F（1+i）-n=1000（1+15％）-8=327（萬元）

1.4.2　等額支付類型

等額支付是指所分析的系統(tǒng)中現金流入與現金流出可在多個時間點上發(fā)生，而不是集中在某一個時間點，即形成一個序列現金流量，并且這個序列現金流量數額的大小是相等的。它包括以下四個基本公式。

（1）等額支付序列年金終值公式（已知A，求F）

等額支付序列年金終值涉及的問題是：在一個時間序列中，在利率為i的情況下連續(xù)在每個計息期的期末支付一筆等額的資金A，求n年后由各年的本利和累積而成的總值F，也即已知A，i，n，求F。類似于我們平常儲蓄中的零存整取。其現金流量圖如圖1-10所示。

由圖根據一次支付終值公式可得：

F=A+A（1+i）1+A（1+i）2+…+A（1+i）n-1

根據等比數列求和公式，可得：

　　 （1-8） 　　

式（1-8）即為年金終值（未來值）公式，也可表示為F=A（F/A，i，n），其中或（F/A，i，n）稱作年金終值系數。

【例1-16】　某夫婦每月末存入銀行20元，月利率為8‰，求一年期本利和多少。

解　已知A=20元，i=8‰，n=2。

【例1-17】　某公路工程總投資10億元，5年建成，每年末投資2億元，年利率為7％，求5年末的實際累計總投資額。

解　已知A=2，i=7％，n=5，求F。

此項目資金現金流量圖見圖1-11。第5年虛線表示需要收入多少才能與總投資相持平。

F=A（F/A，i，n）=2×（F/A，7％，5）=2×5.7507=11.5（億元）

此題表示若全部資金是貸款得來，需要支付1.5億元的利息。

（2）償債基金公式（已知F，求A）

其含義是為了籌集未來n年后所需要的一筆資金，在利率為i的情況下，求每個計息期末應等額存入的資金額，即已知F，i，n，求A，類似于我們日常商業(yè)活動中的分期付款業(yè)務，其現金流量圖如圖1-12所示。

由式（1-8）可得

　　 （1-9） 　　

式（1-9）即為償債基金公式，也可表示為A=F·（A/F，i，n），公式中，系數或（A/F，i，n）稱為償債基金系數，它與年金終值系數互為倒數。

【例1-18】　若要在8年以后得到包括利息在內的300萬元的資金，利率為8％的情況下，每年應投入（或存儲）的基金為多少？

解　已知F=300，i=8％，n=8，求A=？

　　 則 　　

【例1-19】　某企業(yè)打算五年后興建一幢5000m2的住宅樓以改善職工居住條件，按測算每平方米造價為800元。若銀行利率為8％，問現在起每年末應存入多少金額，才能滿足需要？

解　已知F=5000×800=400（萬元），i=8％，n=5，求A=？

A=F·（A/F，i，n）=400×（A/F，8％，5）=400×0.17046=68.184（萬元）

所以，該企業(yè)每年末應等額存入68.184萬元。

①年金現值公式（已知A，求P）其含義是在n年內每年等額收支一筆資金A，在利率為i的情況下，求此等額年金收支的現值總額，即已知A，i，n，求P，類似于實際商務活動中的整存零取。其現金流量圖如圖1-13所示。

類似于年金終值公式的計算推導，年金現值的計算可以利用數列求和得出，也可以利用年金終值公式與折現的概念，直接由年金終值公式推導得出。

由式（1-7）以及式（1-8）可得：

　　 （1-10） 　　

式（1-10）為年金現值公式，也可表示為P=A·（P/A，i，n），其中，系數（P/A，i，n）或稱作年金現值系數。

【例1-20】　在未來的15年中的每年末取回8萬元，現需以8％的利率向銀行存入現金多少呢？

解　已知A=8萬元，i=8％，n=15，求P=？

　　 則 　　

【例1-21】　某建筑公司打算貸款購買一部10萬元的建筑機械，利率為10％。據預測此機械使用年限10年，每年平均可獲凈利潤2萬元。問所得凈利潤是否足以償還銀行貸款？

解　已知A=2萬元，i=10％，n=10，求P是否大于或等于10萬元？

P=A·（P/A，i，n）=2·（P/A，10％，10）=2×6.1445=12.289（萬元）>10萬元

②資金回收公式（已知P，求A）其含義是指在期初一次投入資金數額為P，欲在n年內全部回收，則在年利率為i的情況下，求每年年末應該等額回收的資金，即已知P，i，n，求A。其現金流量圖如圖1-14所示。

資金回收公式可由償債基金公式與一次支付終值公式推導得出：

　　 （1-11） 　　

式（1-11）稱作資金回收公式，可表示為A=P（A/P，i，n），式中，系數或（A/P，i，n）稱作資金回收系數。

資金回收系數是年金現值系數的倒數。資金回收系數是一個重要的系數。其含義是對應于工程方案的初始投資，在方案壽命期內每年至少要回收的金額。在工程方案經濟分析中，如果對應于單位投資的每年實際回收金額小于相應的預計資金回收金額，就表示在給定利率i的情況下，在方案的壽命期內不可能將全部投資回收。

【例1-22】　某華僑為支持家鄉(xiāng)辦廠，一次投資100萬美元，商定分5年等額回收，利率定為年利10％，求每年回收多少美元。

解　已知P=100萬美元，i=10％，n=5，求A=？

【例1-23】　某人要購買一處新居，一家銀行提供20年期年利率為6％的貸款30萬元，該人每年要支付多少？

解　已知P=30萬元，i=6％，n=20，求A=？

A=P（A/P，i，n）=30（A/P，6％，20）=30×0.0872=2.62（萬元）

【例1-24】　某建設項目的投資打算用國外貸款，貸款方式為商業(yè)信貸，年利率20％，據測算投資額為1000萬元，項目服務年限20年，期末無殘值。問該項目年平均收益為多少時不至于虧本？

解　已知P萬元，i，n，求A？

A=P（A/P，i，n）=1000（A/P，20％，20）=1000×0.2054=205.4（萬元）

所以，該項目年平均收益至少應為205.4萬元。

（3）均勻梯度支付類型

均勻梯度支付系列的問題是屬于這樣一種情況，即每年以一固定的數值（等差）遞增（或遞減）的現金支付情況。如機械設備由于老化而每年的維修費以固定的增量支付等。這種情況的現金流量圖如圖1-15所示。

第一年末的支付是A1，第二年末的支付是A1+G，第三年末的支付是A1+2G，…，第n年末的支付是A1+（n-1）G。我們把圖1-15的均勻梯度支付系列現金流量圖分解成由兩個系列組成的現金流量圖：一個是等額支付系列，年金為A1（如圖1-16所示）；另一個是0，G，2G，…，（n-1）G組成的梯度系列（如圖1-17所示）。

上述第一種情況是我們熟悉的，于是，剩下的就是尋求圖1-17梯度系列的解決途徑了。

設等額支付系列的終值為F1，梯度系列的終值為F2，根據圖1-17，梯度系列的終值F2為

　　 （1-12） 　　

用符號表示，上式可以寫成：

式中，或（F/G，i，n）為定差終值系數。

均勻梯度支付系列的現值和等值年金的計算，可以在式（1-12）的基礎上，再按一次支付和等額支付系列的公式進一步求解。

比如，均勻梯度支付現值的計算公式為：

　　 （1-13） 　　

式中，或（P/G，i，n）為定差現值系數。

均勻梯度支付等值的年金公式為

　　 （1-14） 　　

式中，或（A/G，i，n）為定差年金系數。

對于遞減支付系列（即第一年末支付為A1，第二年末支付為A1-G，等等）的情況，只需改變相應項的計算符號，即將其每年增加一個負的數額，仍可應用式（1-12）～式（1-14）進行計算。

【例1-25】　某類建筑機械的維修費用，第一年為200元，以后每年遞增50元，服務年限為十年。問服務期內全部維修費用的現值為多少？（i=10％）

解　已知A1=200元，G=50元，i=10％，n=10年，求均勻梯度支付現值P=？

由式（1-13），有：

【例1-26】　設某技術方案服務年限8年，第一年凈利潤為10萬元，以后每年遞減0.5萬元。若年利率為10％，問相當于每年等額盈利多少元？

解　已知A1=10萬元，遞減梯度量0.5萬元，i=10％，n=8年，求均勻梯度支付（遞減支付系列）的等值年金A？

1.4.3　基本公式小結及注意事項

上面介紹了復利計算的一次支付、等額支付和均勻梯度支付系列基本公式，現匯總如表1-4所示。

運用上述公式要注意的問題如下：

①方案的初始投資，假設發(fā)生在壽命期初；

②壽命期內各項收入或支出，均假設發(fā)生在各期的期末；

③本期的期末即是下一期的期初；

④P是在計算期的期初發(fā)生；

⑤壽命期末發(fā)生的本利和F，記在第n期期末；

⑥等額支付系列A，發(fā)生在每一期的期末；

⑦當問題包括P，A時，P在第一期的期初，A在第一期期末；

⑧當問題包括F，A時，F和A同時在最后一期期末發(fā)生；

⑨均勻梯度系列中，第一個G發(fā)生在第二期期末。