1.3　單利與復利

利息和利率、凈收益和收益率是衡量資金時間價值的尺度，計算利息是計算資金的時間價值的基本方法。計算利息的方法有兩種，即單利法和復利法。

1.3.1　與資金時間價值有關的概念

為了計算資金的時間價值，利用現金流量圖對現金流量進行分析和計算，需掌握資金時間價值的相關概念。

（1）時值（Time value）與時點

資金的數值由于計算利息和隨著時間的延長而增值，在每個計息期期末的數值是不同的。在某個資金時間節點上的數值稱為時值。現金流量圖上，時間軸上的某一點稱為時點。

（2）現值（P：Present value）

現值又稱期初值，是指發生在時間序列起點處的資金值。時間序列的起點通常是評價時刻的點，即現金流量圖的零點處。

（3）折現

將時點處資金的時值折算為現值的過程稱為折現。實際上，折現是求資金等值的一種方法。

（4）年金（A：Annuity）

年金是指一定時期內每期有相等金額的收付款項，如折舊、租金、利息、保險金、養老金等通常都采取年金形式。年金有普通年金、預付年金和延期年金之分。

年金的收款、付款方式有多種。

①每期期末收款、付款的年金稱為后付年金，即普通年金。

②每期期初收款、付款的年金稱為預付年金，或先付年金。

③距今若干期以后發生的每期期末收款、付款的年金稱為延期年金。

（5）終值（F：Future value）

即資金發生在（或折算為）某一特定時間序列終點的價值。

1.3.2　單利法

單利法是以本金為基數計算資金的時間價值（即利息），不將利息計入本金，利息不再生息，所獲得利息與時間成正比。

單利計息的利息公式為：

In=i×Fn-1　　（1-3）

單利計息的本利和公式為：

F=P（1+n×i）　　（1-4）

式中　i——利率；

n——計息期數；

P——本金；

I——利息；

F——本利和，即本金和利息之和。

注：后續章節中，I，n，P，i，F符號的意義同此處。

【例1-3】　有一筆50000元的借款，借期3年，按每年8％的單利率計息，試求到期應歸還的本利和。

解　用單利法計算，根據式（1-4）有：

F=P（1+n×i）=50000×（1+3×8％）=62000（元）

即到期應歸還的本利和為62000元。

【例1-4】　假如某公司以單利方式在第1年初借入1000萬元，年利率8％，第4年末償還，試計算各年利息與本利和。

解　計算過程和計算結果列于表1-1。

由例1-4可見，單利的年利息額僅由本金所產生，其新生利息，不再加入本金產生利息，此即“利不生利”。由于沒有反映資金隨時都在“增值”的規律，即沒有完全反映資金的時間價值，因此，在工程經濟分析中較少使用單利。

1.3.3　復利法

復利法是在單利法的基礎上發展起來的，它克服了單利法存在的缺點，其基本思想是：將前一期的本金與利息之和（本利和）作為下一期的本金來計算下一期的利息，也就是利上加利的方法。其利息計算公式為：

In=i×Fn-1　　（1-5）

式中Fn-1——第n-1期期末的本利和。

其本利和的計算公式為：

Fn=P（1+i）n　　（1-6）

式（1-6）的推導過程如表1-2所示。

【例1-5】　在例1-3中，若年利率仍為8％，按復利計息，則到期應歸還的本利和是多少？

解　用復利法計算，根據式（1-6）有：

F=P（1+i）n=50000×（1+8％）3=62985.60（元）

與采用單利法計算的結果相比增加了985.60元，這個差額所反映的就是利息的資金時間價值。

【例1-6】　數據同例1-4，試按復利計算各年的利息和本利和。

解　按復利計算時，計算結果見表1-3。

比較表1-1和表1-2可以看出，同一筆借款，在利率和計息期均相同的情況下，用復利計算出的利息金額比用單利計算出的利息金額大。本金越大、利率越高、年數越多時，兩者差距就越大。復利反映利息的本質特征，比較符合資金在社會生產過程中運動的實際狀況。因此，在工程經濟分析中，一般采用復利計算。

復利系數在建設工程投資分析與評估中的應用非常普遍，尤其是在建設工程抵押貸款、建設工程開發項目融資活動中，經常涉及利息計算、月還款額計算等問題。下面通過例題，來介紹復利系數在建設工程投資分析中的應用情況。

【例1-7】　某開發企業以15％的年利率取得了一筆開發貸款，借貸雙方約定按季度計息，問該筆貸款的實際年利率是多少？

解　該筆貸款的實際利率

【例1-8】　某家庭預計在今后10年內的月收入為16000元，如果其中的30％可用于支付住房抵押貸款的月還款額，年貸款利率為12％，問該家庭有償還能力的最大抵押貸款額是多少？

解　已知該家庭可用于支付抵押貸款的月還款額A=16000×30％=4800（元）

月利率=12％/12=1％

計息周期數n=10×12=120（月）

則該家庭有償還能力的最大抵押貸款額

【例1-9】　某家庭欲購買一套面積為80m2的經濟適用住宅，單價3500元/m2，首付款為房價的25％，其余申請公積金和商業組合抵押貸款。已知公積金和商業貸款的年利率分別為4.2％和6.6％，期限均為15年，公積金貸款最高限額10萬元。問該家庭申請組合貸款后的最低月還款額是多少？

解　已知貸款總額度P=3500×80×（1-25％）=210000（元）=21（萬元）

公積金月貸款利率i1=4.2％/12=0.35％；商業貸款月利率i2=6.6％/12=0.55％

計息周期數n=15×12=180（個月）

商業貸款額=21-10=11（萬元）

公積金貸款月還款額：

商業貸款月還款額：

組合貸款的最低月還款額A=A1+A2=749.75+964.28=1714.03（元）

復利計算有間斷復利和連續復利之分。按期（年、半年、季、月、周、日）計算復利的方法稱為間斷復利（即普通復利）；按瞬時計算復利的方法稱為連續復利。在實際應用中，一般均采用間斷復利。