1.3 連續(xù)時間信號

連續(xù)時間信號是指以時間為自變量，并且在某個時間區(qū)間內除有限個間斷點外都有定義的信號。

1.3.1 信號的基本運算

1．信號的相加和相乘

兩個信號相加，其和信號在任意時刻的信號值等于兩信號在該時刻的信號值之和。和信號可直接用加法表示為

兩個信號相乘，其積信號在任意時刻的信號值等于兩信號在該時刻的信號值之積。積信號可用乘法表示為

【例1-1】用MATLAB實現信號f1（t）=sin（πt）和f2（t）=sin（10πt）的相加和相乘，試分別繪制這兩個信號及它們的和信號和積信號的波形。

解：采用數值計算方法，代碼如下：

     t=0：0.01：2;    %定義從0到2,間隔為0.01的時間向量
     x1=sin(1*pi*t);         %定義信號x1
     x2=sin(6*pi*t);         %定義信號x2
     x3=x1+x2;               %信號相加
     x4=x1.*x2;              %信號相乘
     %畫函數圖
     subplot(2,2,1)          %畫第一個子圖(在一幅圖中畫出4個子圖,其中每一行包括2個子圖)
     plot(t,x1)              %畫x1的連續(xù)圖
     xlabel('t(sec)')        %x軸標記
     ylabel('x(t)')                    %y軸標記
     subplot(2,2,2)                              %畫第二個子圖
     plot(t,x2)                                  %畫x2的連續(xù)圖
     xlabel('t(sec)')                            %x軸標記
     ylabel('x(t)')                              %y軸標記
     subplot(2,2,3)                              %畫第三個子圖
     plot(t,x3,t,x1+1,'r--',t,x1-1,'r--')        %畫x3和的連續(xù)圖,以紅色虛線作圖
     xlabel('t(sec)')                            %x軸標記
     ylabel('y(t)')                              %y軸標記
     subplot(2,2,4)                              %畫第四個子圖
     plot(t,x4,t,x1,'r--',t,-x1,'r--')           %畫x4的連續(xù)圖,以紅色虛線作圖
     xlabel('t(sec)')                            %x軸標記
     ylabel('y(t)')                              %y軸標記

運行結果如圖1-1所示。

2．信號的平移、翻轉和尺度變換

（1）平移：將信號f（t）變換為f（t–τ），相當于信號f（t）的波形在t軸上平移。若τ＞0，則右移τ個單位；若τ＜0，則左移|τ|個單位。

如圖1-2所示，f（t–1）的波形是f（t）的波形向右平移一個單位，f（t+1）的波形是f（t）的波形向左平移1個單位。

（2）翻轉：將信號f（t）變換為f（–t），此時f（–t）的波形相當于f（t）的波形以縱軸為中心作180°翻轉，如圖1-3（b）所示。此運算實質上是取其原信號自變量軸的負方向作為變換后信號自變量軸的正方向，因此又稱為時間軸反轉。

（3）尺度變換：將信號f（t）變換為f（α t），若α＞1，則f（α t）的波形相當于將f（t）的波形壓縮α倍；若0＜α＜1，則f（α t）的波形相當于將f（t）的波形擴展1/α倍，這種運算稱為信號的尺度變換。如圖1-4（b）、（c）所示，f（2t）的波形是f（t）的波形壓縮2倍得到，的波形是f（t）的波形擴展2倍。

在對信號進行尺度變換時，是以原點O為中心對信號進行壓縮或擴展，而不是以圖形的中心為基準進行壓縮和擴展。

【例1-2】已知f（t）的波形如圖1-5所示，試畫出f（–2t–3）的波形。

解：根據壓縮、翻轉和平移的順序，信號依次變換的波形如圖1-6所示。

1.3.2 偶信號和奇信號

偶信號是指關于縱軸對稱的信號，可表示為

奇信號是指關于原點對稱的信號，可表示為

任何信號f（t）都可以用一個偶信號fe（t）與一個奇信號fo（t）之和表示，fe（t）和fo（t）分別稱為f（t）的偶分量和奇分量，即有

其中

【例1-3】已知信號

求信號的偶分量和奇分量，并分析信號的偶分量和奇分量的連續(xù)性。

解：由于f（t）是一個非奇非偶信號，其奇、偶分量一定存在，因此對其進行奇偶分解，得到偶分量為

奇分量為

可以驗證，奇分量與偶分量之和即是原信號。信號的偶部和奇部在原點處都不連續(xù)。

【例1-4】用MATLAB繪制例1-3信號的奇、偶分量的波形，并繪制奇、偶分量的和信號的波形，比較是否和原信號一樣。

解：采用符號計算方法，代碼如下：

     syms t s
     u=sym('heaviside(t)');
     u1=sym('heaviside(-t)');
     f1=2*cos(3*t)*u;
     f2=2*cos(-3*t)*u1;
     fe=0.5*(f1+f2);
     fo=0.5*(f1-f2);
     f=fe+fo;
     subplot(221)
     ezplot(f1,[-1,1]);grid
     subplot(222)
     ezplot(fe,[-1,1]);grid
     subplot(223)
     ezplot(fo,[-1,1]);
     grid
     subplot(224)
     ezplot(f,[-1,1]);
     grid

運行結果如圖1-7所示，奇分量的波形關于原點對稱，偶分量的波形關于縱軸對稱；奇、偶分量的和信號和原信號相同。

【例1-5】已知信號f（t）=e2t，試用MATLAB繪制其翻轉信號f（–t）以及奇分量和偶分量的波形。

解：采用數值計算方法，代碼如下：

     t=-1：0.01：1;
     f1=exp(2.*t);f2=exp(-2.*t);
     fe=0.5*(f1+f2);fo=0.5*(f1-f2);
     subplot(221)
     plot(t,f1)
     xlabel('t(sec)');ylabel('exp(2t)')
     grid
     subplot(222)
     plot(t,f2)
     xlabel('t(sec)');ylabel('exp(-2t)')
     grid
     subplot(223)
     plot(t,fe)
     xlabel('t(sec)');ylabel('fe')
     grid
     subplot(224)
     plot(t,fo)
     xlabel('t(sec)');ylabel('fo')
     grid

運行結果如圖1-8所示，翻轉信號和原信號關于縱軸對稱。偶分量關于縱軸對稱，奇分量關于原點對稱。

1.3.3 周期信號和非周期信號

一個連續(xù)時間信號f（t），如果存在正實數T0，對所有t均有

則稱f（t）為連續(xù)時間周期信號，T0稱為f（t）的基波周期。基波周期是使周期性成立的最小正實數。

周期信號每一周期內信號完全一樣，故只需研究信號在一個周期內的狀況，如圖1-9所示。

不滿足式（1-10）的信號稱為非周期信號。非周期信號的幅值在時間上不具有周而復始變化的特性。

如果兩個周期信號的周期具有公倍數，則它們的和信號仍然是一個周期信號，其周期是這兩個相加信號的周期的最小公倍數。

【例1-6】試判斷下列信號是否為周期信號。若是，確定其周期。

（1）f1（t）=cos（2t–10）+sin5t

（2）f2（t）=sinπt+cost

解：（1）cos（2t–10）和sin5t都是周期信號，且其周期分別為

由于T1和T2的最小公倍數為2π，所以f1（t）是周期信號。

（2）同理，sinπt和cost都是周期信號，且其周期分別為

由于T1是有理數，T2是無理數，即T1和T2沒有最小公倍數，所以f2（t）不是周期信號。

1.3.4 典型連續(xù)時間信號

1．正弦信號

正弦信號和余弦信號僅在相位上相差90°，其數學表達式為

正弦信號的時域特征由其振幅A，角頻率ω0和相位θ描述。正弦信號是周期變化的，其周期、角頻率和頻率的關系為

在實際應用中，經常用到幅度增加或衰減的正弦振蕩信號。

2．指數信號

指數信號的表達式為

式中，K和s是常數。根據K和s的不同取值，指數信號又分為實指數信號和復指數信號兩種情況。

1）實指數信號

若K和s（s=α）均為實常數，則f（t）=Keαt是實指數信號。

當α＞0時，信號隨時間增長；當α＜0時，信號隨時間衰減；當α=0時，f（t）退變成常值信號。信號波形如圖1-10所示。

實際中，經常用到單邊指數信號，其定義如下：

式中，τ反映了指數信號衰減的速度，稱為時間常數。

2）復指數信號

如果指數信號的指數因子為復數，則稱之為復指數信號，其表達式為

式中，s=σ+jω是復常數，K可以是實常數，也可以是復常數。

復指數信號按歐拉公式可表示成代數形式

由此可見，復指數信號的實部和虛部都是按指數規(guī)律變化的正弦信號。當σ＞0時，復指數信號的實部和虛部都是增幅的正弦振蕩；當σ＜0時，復指數信號的實部和虛部都是衰減的正弦振蕩。

用MATLAB繪制復指數信號的實部和虛部的波形如圖1-11所示。代碼如下：

     t=-1：0.01：1;
     f1=exp(1.*t);f2=exp(-1.*t);
     f3=f1.*cos(0.6*pi*t/0.1);
     f4=f1.*sin(0.6*pi*t/0.1);
     f5=f2.*cos(0.6*pi*t/0.1);
     f6=f2.*sin(0.6*pi*t/0.1);
     subplot(2,2,1)
     plot(t,f3,t,f1,'r--',t,-f1,'r--')
     xlabel('t(sec)');
     title('exp(t)cos(6*pi*t)');grid
     subplot(2,2,3)
     plot(t,f4,t,f1,'r--',t,-f1,'r--')
     xlabel('t(sec)');
     title('exp(t)sin(6*pi*t)');grid
     subplot(2,2,2)
     plot(t,f5,t,f2,'r--',t,-f2,'r--')
     xlabel('t(sec)');
     title('exp(-t)cos(6*pi*t)');grid
     subplot(2,2,4)
     plot(t,f6,t,f2,'r--',t,-f2,'r--')
     xlabel('t(sec)');
     title('exp(-t)sin(6*pi*t)');
     grid;

3．抽樣信號

抽樣信號定義為

其波形如圖1-12所示。

抽樣信號具有如下性質：

（1）抽樣信號Sa（t）是偶信號，且在t=0時，Sa（t）=1；在t=kπ時，Sa（t）=0。

（2）抽樣信號Sa（t）是收斂的，當t→±∞時，Sa（t）→0。

（3）抽樣信號Sa（t）的面積為π，即有

4．單位階躍信號

連續(xù)時間單位階躍信號定義為

其波形如圖1-13所示。

單位階躍信號在時間軸上平移τ后的波形如圖1-14所示。

信號ε（t）在t=0處，ε（t–τ）在t=τ處都不連續(xù)。

任何截斷信號都可用單位階躍信號來表示。例如，如圖1-15所示的矩形脈沖信號可用單位階躍信號表示為

單位斜變信號定義為

其波形如圖1-16所示。

從t=t0開始的信號，稱為有始信號，如圖1-17（a）所示；如果t0=0，則稱為因果信號。因果信號一般用f（t）ε（t）表示，如圖1-17（b）所示。

f1（t）=sinω0t·ε（t–t0）

f2（t）=sinω0t·ε（t）

【例1-7】用MATLAB產生信號

f（t）=2R（t）–2R（t–1）–2R（t–2）+2R（t–3）

繪制信號的波形。

解：先用function函數產生斜變信號ramp，然后調用該子函數產生所需要的信號。代碼如下：

    function y = ramp(t,m,ad)
     % t:時間變量
     % m:斜變函數的斜率
     % ad:時移因子,正值表示左移,負值表示右移
     N=length(t);
     y=zeros(1,N);
     for i=1:N,
        if t(i)>=-ad,
         y(i)=m * (t(i)+ad);
        end
     end

保存該子函數為ramp.m文件，用于產生斜變信號。

     clear all;clf
     Ts=0.01;t=-5：Ts：5;
     y1=ramp(t,2,0);
     y2=ramp(t,-2,-1);
     y3=ramp(t,-2,-2);
     y4=ramp(t,2,-3);
     y=y1+y2+y3+y4;
     plot(t,y,'k');axis([-1 4-1 3]);grid

運行結果為梯形信號，如圖1-18所示。

【例1-8】用MATLAB產生信號

f（t）=3R（t+3）–6R（t+1）+3R（t）–ε（t–2）–2ε（t–4）

（1）繪制信號的波形；（2）繪制信號的奇、偶分量的波形。

解：先用function函數產生斜變信號ramp和單位階躍信號ustep，然后調用這兩個子函數產生所需要的信號。用于產生斜變信號ramp.m文件參見例1-7。產生階躍信號的代碼如下：

     function y=ustep(t,ad)
     % t:時間
     % ad:時移因子,正值表示左移,負值表示右移
     N=length(t);
     y=zeros(1,N);
     for i=1:N,
        if t(i)>=-ad,
         y(i)=1;
        end
     end

保存該子函數為ustep.m文件，用于產生單位階躍信號。

下面的代碼產生所需要的信號。

     clear all;clf
     Ts=0.01;t=-5：Ts：5;
     y1=ramp(t,3,3);
     y2=ramp(t,-6,1);
     y3=ramp(t,3,0);
     y4=-1*ustep(t,-2);
     y5=-2*ustep(t,-4);
     y=y1+y2+y3+y4+y5;
     plot(t,y,'k');axis([-5 5-1 7]);grid

奇偶分解的代碼如下：

     [ye,yo]=evenodd(t,y);
     subplot(211)
     plot(t,ye,'r')
     grid
     axis([min(t)max(t)-1 5])
     subplot(212)
     plot(t,yo,'r')
     grid
     axis([min(t)max(t)-3 3])
     function[ye,yo]=evenodd(t,y)
      %t：時間
      %y：模擬信號
      %ye,yo：偶、奇分量
     yr=fliplr(y);
     ye=0.5*(y+yr);
     yo=0.5*(y-yr);

運行結果如圖1-19所示。

5．單位沖激信號

連續(xù)時間單位沖激信號定義為

其波形如圖1-20所示。

式（1-21）表明，單位沖激信號的面積為1，當t=0時，δ（t）→∞；當t≠0時，δ（t）處處為0。

單位沖激信號在時間軸上平移可得到任意時刻的沖激，記為δ（t–τ），且有

其中，δ（t）=0，t≠τ，其波形如圖1-21所示。

單位沖激信號具有如下的性質：

（1）由于單位沖激信號除原點外處處為0，所以δ（t）與信號f（t）相乘有

（2）篩選性質為

式（1-24）說明δ（t）與信號f（t）作用后，能指定f（t）在t=0處的值f（0），因此稱此性質為沖激信號的篩選性質。

同理，對時移的沖激信號，篩選性質為

在沖激信號的篩選性質中，其積分區(qū)間不一定都是（–∞，+∞），但只要積分區(qū)間不包括沖激信號δ（t–t0）的t=t0時刻，則積分結果必為零。

（3）尺度變換性質。

沖激函數作尺度變換后，有如下的恒等式

證明：當a＞0時，由沖激信號的篩選性質有

當a＜0時，有

即

所以

（4）單位沖激信號是偶信號

該性質同樣可用沖激信號的篩選性質證明。

證明：因為

由此可見，δ（–t）和δ（t）對f（t）的作用效果一樣，所以

δ（–t）=δ（t）

（5）單位沖激信號的導數和積分。

單位沖激信號的導數是位于原點處的一對正、負極性的沖激，稱為單位沖激偶，用δ′（t）表示，其波形如圖1-22所示。

單位沖激偶具有如下的性質：

①篩選性質為

式中，f′（0）是f（t）的導數在t=0處的值。

時移的單位沖激偶的篩選性質為

②單位沖激偶信號是奇信號，即

因此，單位沖激偶的面積為0。其正、負兩個沖激的面積相互抵消，用數學式表示為

單位沖激信號的積分是單位階躍信號。

因為

這和單位階躍信號的定義相同，因此有