1.4 連續時間信號的分解

信號的分解特性是系統分析的理論基礎。輸入信號可以分解為眾多基本信號的線性組合，因此只需要研究系統對基本信號的響應，就能方便地得到系統對任意信號的響應。信號可以從不同的角度分解，信號分解方式的不同導致系統不同的分析方法。下面討論信號的時域分解。

1.4.1 信號的交直流分解

信號f（t）的直流分量是指信號的平均值，記為，它是信號波動的中心。信號隨時間變化的部分稱為信號的交流分量，記為，并且有

若f（t）是功率信號，則有

式（1-36）說明，信號的平均功率等于其直流功率和交流功率之和。

1.4.2 信號的沖激函數分解

任意信號可以用多個矩形脈沖來逼近，如圖1-23所示。

當t=τ時，脈沖高度為f（τ），脈沖寬度為Δτ，存在區間為ε（t–τ）–ε（t–τ–Δτ），于是，此窄脈沖可表示為

當τ從–∞變化到∞時，f（t）可表示為多個窄脈沖的疊加

令Δτ→0，則有

當Δτ→dτ時，，因此有

式（1-38）表明，信號f（t）可以分解為不同時刻的、不同強度的沖激函數之和。在每個分解點τ處沖激的強度為f（τ）。

信號的沖激函數分解在系統分析中有重要意義。當求解信號f（t）通過LTI系統產生響應時，只需求解沖激信號通過該系統產生的響應，然后利用線性時不變系統的特性，進行疊加和延時即可求得信號f（t）產生的響應。

1.4.3 信號的階躍函數分解

除了用多個矩形脈沖之和來表示信號之外，信號還可以用一系列階躍信號的疊加來逼近，如圖1-24所示。

當Δt→dτ時，kΔt→τ，∑→∫，因此有

當t從–∞變化到∞時，式（1-39）為

式（1-40）表明，信號f（t）可以分解為無窮多個階躍信號的疊加。在每個分解點τ處階躍信號的幅度為f′（τ）。

除了上述分解外，還有前面提到的信號的奇、偶分解以及虛、實分解等。信號的分解是系統分析的基礎，不同的分解方法，導致系統不同的分析方法。在后面章節將會介紹信號的其他分解形式。