3.4 理想光學系統的放大率

3.4.1 垂軸放大率

在理想光學系統中，垂軸放大率上節已提及，另外，還有兩種放大率，即軸向放大率和角放大率。

3.4.2 軸向放大率

對于確定的理想光學系統，像平面的位置是物平面位置的函數，具體的函數關系式由高斯公式和牛頓公式決定。

當物平面沿光軸移動微小距離dx或dl時，其像平面移動的距離dx′或dl′與dx或dl之比稱為軸向放大率，用α表示，即

將牛頓公式或高斯公式微分來導出軸向放大率，微分牛頓公式（3-3）可得

將牛頓公式形式的垂軸放大率公式β＝－f/x＝－x′/f′代入得

如果理想光學系統的物方空間與像方空間介質相同，則式（3-14）簡化為

3.4.3 角放大率

過光軸上一對共軛點，任取一對共軛光線AM和M′A′，如圖3.16所示，其與光軸的夾角分別為U和U′，這兩個角度正切之比定義為這一對共軛點的角放大率，以γ表示為

由理想光學系統的拉赫公式ny ta n U＝n′y′ta n U′，可得

在確定的理想光學系統中，因為垂軸放大率只隨物體位置而變化，所以角放大率僅隨物像位置而異，在同一對共軛點上，任一對共軛光線與光軸夾角U′和U的正切之比恒為常數。

式（3-14）與式（3-17）的左右兩端分別相乘可得

式（3-18）就是理想光學系統的三種放大率之間的關系式。

3.4.4 光學系統的節點

光學系統中角放大率等于+1的一對共軛點稱為節點。

1．光學系統物、像空間介質相同

光學系統物空間與像空間的介質相同時，則式（3-17）可簡化為

此時，當γ＝1時，β＝1，由于一對主平面的垂軸放大率為1，主點即為節點。根據節點的定義，則過主點的入射光線經過系統后出射方向不變，如圖3.17所示。

2．光學系統物、像空間介質不同

光學系統物方空間折射率與像方空間折射率不相同時，角放大率γ＝1的物像共軛點（即節點）不再與主點重合。

由于

又由于

則

根據節點的角放大率為1，有

在決定節點位置時應以相應的焦點為原點，同時要考慮物方焦距f和像方焦距f′的符號，若f′＞0，則xJ＝f′＞0。所以物方節點J位于物方焦點之右相距f′ 之處；又因x′J＝f＜0，所以像方節點J′位于像方焦點之左相距f 之處，如圖3.18所示。過節點的共軛光線是彼此平行的。

如前所述，光線通過節點方向不變的性質可方便地用于圖解法求像。一對節點加上前面已述的一對主點和一對焦點，統稱光學系統的基點。

3．節點特性的應用

1）測定光學系統的基點位置

如圖3.19所示，將一束平行光束入射于光學系統并使光學系統繞通過像方節點J′的軸線左右擺動。由于入射光線的方向不變，而且彼此平行，根據節點的性質，通過像方節點J′的出射光線一定平行于入射光線。同時，由于轉軸通過J′，所以出射光線J′P′的方向和位置都不會因為光學系統的擺動而發生變化。與入射平行光束相對應的像點一定位于J′P′上，因此，像點也不會因為光學系統的擺動而產生上下移動。如果轉軸不通過J′，則光學系統擺動時，J′和J′P′光線的位置也發生擺動，導致像點位置發生上下移動。

利用這種性質，一邊擺動光學系統，同時連續改變像點位置，并觀察像點，當像點不動時，轉軸的位置即是像方節點的位置。顛倒光學系統，重復上面的操作，便可得到物方節點的位置。

2）周視照相機

圖3.20所示的用于拍攝大型團體照片使用的周視攝像機也是利用節點的性質構成的。拍攝的對象排列在一個圓弧AB上，照相物鏡并不能使全部物體同時成像，而只能使小范圍的物體A1B1成像于A′1B′1上。當照相物鏡繞像方節點J′轉動時，就可把整個拍攝對象AB成像在底片A′B′上。如果物鏡的轉軸和像方節點不重合，當物鏡轉動時，A1點的像A′1將在底片上移動，使照片模糊不清。而當物鏡的轉軸通過像方節點J′，根據節點的性質，當物鏡轉動時，A1點的像點A′1就不會移動，整幅照片A′B′上就可以獲得整個物體AB的清晰像。

3.4.5 用平行光管測定焦距的依據

如圖3.21所示，一束與光軸成ω角入射的平行光束經光學系統以后，會聚于焦平面上的B′點，這就是無限遠軸外物點B的像。B′點的高度，即像高y′是由這束平行光束中過節點的光線決定的。如果被測系統放在空氣中，則主點與節點重合，因此由圖可得

式（3-20）表明，只要給被測系統提供一束與光軸傾斜成給定角度ω的平行光束，測出其在焦平面上會聚點的高度y′，就可算出焦距。

給定傾角的平行光束可由平行光管提供，圖3.22所示。在平行光管物鏡的焦平面上設置一刻有幾對已知間隔線條的分劃板，用以產生平行光束，平行光管物鏡的焦距f1為已知，y可由分劃板讀出，所以角ω滿足ta nω＝－y/f1是已知的。據此，被測物鏡的焦距f′2為

3.4.6 舉例

例3.3 如圖3.23所示，已知透鏡的主點、節點及焦點物體AB在透鏡焦距以外，用作圖法求其像的位置。

解 第一步，過A點作光線AP平行于光軸，出射光線P′A′通過像方焦點F′；第二步，過物方節點N作光線AN，與之共軛的出射光線A′N′必與AN平行并過像方節點；第三步，光線P′A′與A′N′的交點就是A點的像點A′，過A′點作光軸的垂線，垂足為B′，則A′B′就是AB的像。

例3.4 圖3.24所示，S與S′為共軸光學系統的一對共軛點，F與F′為物方焦點和像方焦點，試用作圖法找出該成像系統的主點和節點。

解 第一步，過S、F點作直線SF，過S點作光軸平行線SP′；第二步，過F′、S′點作直線F′S′交SP′于Q′點；第三步，過S′作光軸平行線交SF于Q點；第四步，分別過Q、Q′作光軸垂線，垂足為H、H′，即為相應主點；第五步，在F點右側沿光軸截取FJ＝F′H′，則J點為物方節點；在F′點左側沿光軸截取F′J′＝FH，則J′點為像方節點。