3.3 理想光學系統的物像關系

本節討論的內容就是已知物體位置、大小、方向，求其像的位置及分析像的大小、正倒、虛實等成像性質，有圖解法求像和解析法求像兩種方法。

3.3.1 圖解法求像

已知一個理想光學系統（簡稱系統）的主點（主面）和焦點的位置，利用光線通過它們后的性質，對物空間給定的點、線和面，通過追蹤典型光線求出像的方法稱為圖解法求像。可供利用的典型光線及性質主要有：①平行于光軸入射的光線，它經過系統后過像方焦點；②過物方焦點的光線，它經過系統后平行于光軸；③傾斜于光軸入射的平行光束經過系統后會交于像方焦平面上的一點；④自物方焦平面上一點發出的光束經系統后成傾斜于光軸的平行光束；⑤共軛光線在主面上的投射高度相等。

由理想光學系統理論，從一點發出的一束光線經光學系統作用后仍然交于一點。因此要確定像點位置，只需求出由物點發出的兩條特定光線在像方空間的共軛光線，它們的交點就是該物點的像點。

1．軸外點的圖解法求像

如圖3.10所示，有一垂軸物體AB被光學系統成像。可選取由軸外點B發出的兩條典型光線：一條是由B發出通過物方焦點F，它經系統后的共軛光線平行于光軸；另一條是由B點發出平行于光軸的光線，它經系統后共軛光線過像方焦點F′。在像空間這兩條光線的交點B′即是B的像點。由共軸理想光學系統的性質，有過B′點作光軸的垂線A′B′即為物AB的像。

2．軸上點的圖解法求像

圖3.11所示為由軸上點A發出任一條光線AM通過理想光學系統后的共軛光線為M′A′，其和光軸的交點A′即為A的像，有兩種作法：

（1）一種方法如圖3.11所示，認為光線AM是由物方焦平面上B點發出的。為此，可以由該光線與物方焦平面的交點B上引出一條與光軸平行的輔助光線BN，其由理想光學系統射出后通過像方焦點F′，即光線N′F′，由于自物方焦平面上一點發出的光束經系統后成傾斜于光軸的平行光束，所以，光線AM的共軛光線M′A′應與光線N′F′平行。其與光軸的交點A′即軸上點A的像。

（2）另一種方法如圖3.12所示，認為由點A發出的任一光線是由無限遠軸外點發出的傾斜平行光束中的一條。通過物方焦點作一條輔助光線FN與該光線平行，這兩條光線構成傾斜平行光束，它們應該會聚于像方焦平面上一點。這一點的位置可由輔助光線來決定，因輔助光線通過物方焦點，其共軛光線由系統射出后平行于光軸，它與像方焦平面之交點即是該傾斜平行光束通過理想光學系統后的會聚點B′。入射光線AM與物方主平面的交點為M，其共軛點是像方主平面上的M′，且M和M′處于等高的位置。由M′和B′的連線M′B′即得入射光線AM的共軛光線。M′B′和光軸的交點A′是軸上點A的像點。

3.3.2 解析法求像

圖解法求像直觀但不精確，只能幫助理解理想光學系統的成像特性，而解析法可精確地求解像的位置及大小。解析法的依據就是一對主面、物方焦點F、像方焦點F′及物方焦距f、像方焦距f′。

按照物（像）位置表示中坐標原點選取的不同，解析法求像的公式有兩種：第一種是牛頓公式，它是以相應焦點為坐標原點的；第二種是高斯公式，它是以相應主點為坐標原點的。如圖3.13所示，有一垂軸物體AB，其高度為－y，它被一已知的理想光學系統成一正像A′B′，其高度為y′。

1．牛頓公式

物和像的位置相對于理想光學系統的焦點來確定，即以物點A到物方焦點的距離AF為物距，以符號x表示；以像點A′到像方焦距F′的距離A′F′作為像距，用x′表示。物距x和像距x′的正負號是以相應焦點為原點來確定，如果由F到A或由F′到A′的方向與光線傳播方向一致，則為正，反之為負。此處x＜0, x′＞0。

由△BAF∽△FHM可得, △H′N′F′∽△F′A′B′可得

由兩式可得

這個以焦點為原點的物像位置公式，稱為牛頓公式。在前二式中為像高與物高之比，即垂軸放大率β。因此，牛頓公式的垂軸放大率公式為

2．高斯公式

物與像的位置相對于理想光學系統的主點來確定。以l表示物點A到物方主點H的距離，以l′表示像點A′到像方主點H′的距離。l和l′的正負以相應的主點為坐標原點來確定，如果由H到A或由H′到A′的方向與光線傳播方向一致，則為正值，反之為負值。此處l＜0, l′＞0。由圖3.13可得l、l′與x、x′間的關系為

x＝l－f x′＝l′－f′

代入牛頓公式得

這就是以主點為原點的物像公式的一般形式，稱為高斯公式。其相應的垂軸放大率公式可以從牛頓公式轉化得

當光學系統的物空間和像空間的介質相同時，物方焦距和像方焦距有簡單的關系f′＝－f，則式（3-5）和式（3-6）可寫為

3.3.3 理想光學系統兩焦距之間的關系

圖3.14所示是軸上點A經理想光學系統成像于A′的光路，因為一對共軛光線在相應主面上的投射高度相等，所以有ltanU＝h＝l′tanU′，將l＝x+f, l′＝x′+f′代入并結合式（3-4）得

上式在近軸區也是成立的，正切值可用角度的弧度值來代替有

由近軸區拉赫公式nyu＝n′y′u′得物方焦距和像方焦距之間的關系式

此式表明，光學系統兩焦距之比等于相應空間介質折射率之比。除了少數理想光學系統物、像方空間介質不同外，絕大多數理想光學系統都在同一介質（一般是空氣）中使用，即n′＝n，故兩焦距是絕對值相同，符號相反，即f′＝－f。

根據式（3-9），式（3-11）可以得出

這就是理想光學系統的拉赫不變量公式。

3.3.4 舉例

例3.1 離水面1m深處有一條魚，現用f′＝75mm的照相物鏡拍攝該魚，照相物鏡的物方焦點離水面1m。試求：（1）照相物鏡垂軸放大率為多少？（2）照相底片應離照相物鏡像方焦點F′多遠？

解 根據題意，魚先經水面成像，水的折射率為1.33，由單個折射面的物像位置關系式有

解得

l′1＝－751.88mm

魚經水面成像后距離物鏡物方焦點的距離為x＝－751.88+（－1000）＝－1751.88mm

故照相物鏡的垂軸放大率為

所以，x′＝－βf′＝－0.0428 × 75 m m＝3.21mm

即照相底片在照相物鏡像方焦面外3.21mm處。

例3.2 圖3.15所示，凸薄透鏡L1和凹薄透鏡L2的焦距分別為20cm和40cm, L2在L1右方40cm處，近軸小物體置于L1左方30cm處，求光學系統最后成像的位置和成像性質。

解 第一次凸透鏡成像，計算起點為O1, l1＝－30cm, f′1＝20cm，由高斯公式：

所以

解得

l′1＝60c m

垂軸放大率

第二次凹透鏡成像，計算起點為O2, l2＝（60－40）cm＝20cm, f′2＝－40cm，由高斯公式：

所以

解得

l′2＝40c m

垂軸放大率

總的垂軸放大率

β＝β1β2＝－2 × 2＝－4×

所以，最終成像于凹透鏡右方40cm處，成倒立、放大4倍的實像。