3.5 理想光學系統的組合

一個光學系統可由一個或幾個部件組成，每個部件可以由一個或幾個透鏡組成，這些部件被稱為光組。光組可以單獨看做一個理想光學系統，在光學系統的應用中，有時將兩個或兩個以上的光組組合在一起使用。本節討論兩個光組或多個光組組成的理想光學系統的求像。

3.5.1 圖解法求像

對于多個光組的圖解法求像，其求解過程與單個光組相似，需要注意的是，前一光組的像就是后一光組的物。按照這一思路，利用追蹤典型光線的方法逐個光組圖解法求像，最后得到的像就是多個光組所成的像。

3.5.2 解析法求像

第一種方法是逐個光組計算法，最后求出像的位置及成像性質；第二種方法是等效光學系統法；第三種方法就是正切計算法。

1．逐個光組計算法

該方法就是從第一個光組開始對每個光組利用牛頓公式或高斯公式，前一光組所成的像就是后一光組的物，所以，該方法需要確定出相鄰兩光組之間的過渡公式。每個光組的焦距和焦點、主點位置以及光組間的相互位置均為已知。

圖3.25所示為兩個光組的情況，物點A1被第一光組成像于A′1，它就是第二個光組的物A2。兩光組的相互位置以距離H′1H2用d1來表示。由圖可見有如下的過渡關系：

l2＝l′1－d1

x2＝x′1－Δ1

上式中，Δ1為第一光組的像方焦點F′1到第二光組物方焦點F2的距離，即Δ1＝F′1F2，稱為光學間隔。它以前一個光組的像方焦點為原點來決定其正負，若它到下一個光組物方焦點的方向與光線的方向一致，則為正；反之，則為負。由圖可知光學間隔與主面間隔之間的關系為

Δ1＝d1－f′1+f2

若光學系統由若干個光組組成，則推廣到一般的過渡公式和兩個間隔間的關系為

這里k是光組序號。

由于前一個光組的像是下一個光組的物，若光學系統由k個光組組成，則有y2＝y′1, y3＝y′2, …, yk＝y′k－1，所以整個系統的放大率β等于各光組放大率的乘積：

2．等效光學系統法

該方法是將兩個光組等效成一個光組，求出等效光學系統的焦距，確定出等效光學系統的焦點位置和主點位置，然后再利用高斯公式或牛頓公式求像。主要適用于兩個光組的組合，如果是多個光組，需要多次等效，直至最后等效成一個光組。所以，多個光組的計算用該方法比較麻煩，需要用到第三種正切計算法。

假定兩個已知光學系統的焦距分別為f1、f′1和f2、f′2，如圖3.26所示。兩個光學系統間的相對位置用第一個系統的像方焦點F′1距第二個系統的物方焦點F2的距離Δ表示，稱為光學間隔，Δ的符號規則是以F′1為起算原點，計算到F2，順光路方向為正。分別用f、f′表示組合系統的物方焦距和像方焦距，用F、F′表示組合系統的物方焦點和像方焦點。

首先求像方焦點F′的位置，根據焦點的性質，平行于光軸入射的光線，通過第一個系統后，一定通過F′1，然后再通過第二個光學系統，其出射光線與光軸的交點就是組合系統像方焦點F′。對第二個系統，F′1和F′是一對共軛點。應用牛頓公式有

這里x′F的起算原點是F′2。由該式可求得系統像方焦點F′的位置。

至于物方焦點F的位置，據定義經過F點的光線通過整個系統后一定平行于光軸，所以它通過第一個系統后一定經過F2點，對第一個系統，F2和F是一對共軛點，利用牛頓公式有

這里xF的起算原點是F1。利用此式可求得系統的物方焦點F的位置。

焦點位置確定后，只要求出焦距，主平面位置隨之也就確定了。由前述的定義知，平行于光軸的入射光線和出射光線的延長線的交點M′，一定位于像方主平面上。由圖3.26所示可知△M′F′H′∽△I′2H′2F′, △I2H2F′1∽△I′1H′1F′1，得

對應圖中的標注得，將代入上式，簡化后，得

再根據物方焦距和像方焦距間的關系可得

光學間隔Δ可由兩主平面之間的距離d表示。d的符號規則是以第一系統的像方主點H′1為起算原點，計算到第二個系統的物方主點H2，順光路為正。由圖3.26所示得

下面推導由高斯物距和像距表示的焦點和主點的位置。

由圖3.26所示可得

l′F＝f′2+x′F

lF＝f1+xF

將式（3-26）中的x′F代入上述前一個公式，可得

又由Δ＝d－f′1－f′2得

同理可得

由圖3.26所示，并利用上述二式可得主平面位置

知道了焦點及主點位置后就可確定物距和像距，然后利用高斯公式或牛頓公式求像。

3．正切計算法

當多于兩個的光組組合成一個系統時，再沿用前述兩個光組的合成方法，則過程繁雜，且容易出錯，所得公式將很復雜。這里介紹一個基于計算來求組合系統的方法。

為求出組合系統的焦距，可以追跡一條投射高度為h1的平行于光軸的光線。只要計算出最后的出射光線與光軸的夾角（稱為孔徑角）U′k，則

這里下角標k表示該系統中的光組數目；投射高度h1是入射光線在第一個光組主面上的投射高度，如圖3.27所示。

對任意一個單獨的光組來說，將高斯公式（3-7）兩邊同乘以共軛點的光線在其上的投射高度h有

因有，所以，對任一光組有

利用lk＝l′k－1－d k－1和ta n U′k－1＝ta n U k，容易得到同一條計算光線在相鄰兩個光組上的投射高度之間的關系為

已知h1，且U1＝0，然后利用式（3-36）和式（3-37）逐個光組計算，最后求得tanU′k，進而求得多光組系統的焦距f′。

假設有三個光組的組合系統，任取h1，并令tanU1＝0，則有

像方焦距，像方焦點的位置，像方主點的位置l′H＝l′F－f′。若求物方焦點及物方主點的位置，只要做逆光路計算，將求得的結果反號就是像方參數。

3.5.3 理想光學系統的光焦度

像方焦距的倒數稱為光學系統的光焦度，用Φ表示。

因為

所以

當兩個系統位于同一種介質（如空氣）中時，f′2＝－f2，故有

即

當兩個光學系統主平面間的距離d為零，即在密接薄鏡組的情況下，有

密接薄透鏡組總光焦度是兩個薄透鏡光焦度之和。

3.5.4 舉例

例3.5 圖3.28所示，L1為凸透鏡，L2為凹透鏡，焦距都為10cm, L2在L1右方35cm處，L1左方20cm處放一物，求主面位置及像。（L1, L2均為薄透鏡）

解 對L1，有f1＝－10cm, f′1＝10cm；

對L2，有f2＝10cm, f′2＝－10cm。

因為

d＝35c m

所以

由高斯公式

代入數值得

解得

l′＝4c m

所以，像位于L2左側6cm處。

總的垂軸放大率為

所以，成倒立縮小像。

例3.6 一光組由兩個薄光組組合而成，如圖3.29所示。第一個薄光組的焦距f′1＝500mm，第二個薄光組的焦距f′2＝－400mm。兩光組的間隔d＝300mm。求組合光組的焦距f′，組合光組的像方主面位置H′及像方焦點的位置l′F。

解 利用正切計算法，設h1＝100mm，有

所以

f′＝h1/tanU′2＝1000mm

l′F＝h2/tanU′2＝400mm

l′H＝l′F－f′＝－600mm

像方主面位置H′在第一個光組左方300mm的地方。