2.8　與時代為敵

任何顛覆時代的思想必然會遭到保守勢力的抵制和反擊，這是歷史上屢試不爽的經驗法則，康托爾在數學上遇見了光明，但他的生活很快陷入了黑暗。

由于康托爾的超窮數理論過于玄幻，幾乎是從一開始，他的許多方法和結論就受到了廣泛的質疑。如果要把質疑者們列個名單，恐怕將會囊括當時數學界的半壁江山，為了突出重點，我們挑幾個重要的反對派。

一號人物施瓦茨（Schwarz）：德國數學家，數學競賽和高等數學中出鏡率極高的柯西（Cauchy）－施瓦茨不等式就出自他的手筆。之所以把施瓦茨排在第一位是因為他原本是康托爾在柏林大學的師兄加密友，后來因為強烈地反對集合論而與康托爾斷交，以自身的實際行動捍衛了“科學的理念高于一切，友誼的小船說翻就翻”的至理名言。另外，施瓦茨娶了康托爾導師庫默爾的女兒，這層頗為戲劇性的關系不知道是否影響了庫默爾晚年對康托爾的支持。

二號人物龐加萊（Poincaré）：法國數學領袖，很有能力的人物，被認為是史上最后一個數學全才［倒數第二個是高斯（Gauss）］。龐加萊在數學、物理學、天體力學和哲學等各個方面都具有很深的造詣，他于1904年提出的關于三維球面的猜想⁽¹⁰⁾折磨了人類100年，位列“世界七大數學難題”之一。龐加萊對康托爾的想法同樣很不贊同，他認為包含了超窮數的集合論是數學一場嚴重的疾病（grave disease），后輩們肯定能從這場疾病中恢復過來。

三號人物克羅內克。你沒看錯，就是他，康托爾在柏林大學的老師。把他排在最后一位是因為此人實乃反康陣營中的頭號人物。在科學界，師生反目的事情并不少見，撕得厲害的也大有人在，但像克羅內克這樣全方位、多角度對康托爾進行全天候打擊的恐怕也是沒誰了。克羅內克是個極端保守的老頭，他認為只有從整數出發，經過有限個步驟構造出來的東西才能成為真正的數學對象，所以他堅定地反對康托爾這樣的“神秘主義”，他不僅抨擊集合論，同時也對好友魏爾斯特拉斯搞出來的“處處連續但處處不可求導”的病態函數百般嘲諷（這一點上倒是對事不對人）。在德國，克羅內克擁有極為廣泛的人脈和社會關系，他是柏林學派的領袖，號稱德國數學界的無冕之王，因而他反對的人和事在數學界都很難抬頭。

好了，介紹完畢，康托爾壓力山大啊……

我們在日常工作中往往都有這樣的經驗，一般人在受到同行的嚴重排擠和打壓時很難保持意志的堅定，想在圈內繼續混下去的站個隊、認個慫，地位和榮耀可能隨之而來，但代價卻是要放棄自己的尊嚴和信念；不愿妥協的沖個魚死網破，要么從此銷聲匿跡，要么干脆轉行，另起爐灶。

但也有更為勇敢的回應，那就是持續不斷的創造力和無法消抹的工作成就。

我相信康托爾絕非沒有猶豫，克羅內克是自己的老師，只要輕輕地服個軟，他在數學圈就可以平步青云，扶搖直上。但從后面的表現來看，康托爾并非此道中人，他深刻地明白：對質疑者最好的回擊就是學術上的更多創造，在數學上，他要成為一個捍衛真理的斗士。1879—1884年，康托爾連續發表了六篇論文，簡潔而系統地闡述了他的超窮集合理論，同時探討了由集合論所引起的一系列數學和哲學問題，回答了大部分反對者們的質疑和非難。康托爾認為所有無窮集合的勢可以像整數一樣排列并且具有一定的運算規律，他把它們稱為超窮數并引入，i∈的符號來表示，這里的代表自然數集合，而就是我們之前所見過的可數集的勢。用直白一點的話來說，就是最接近的下一個無窮大，康托爾猜想，也就是說不存在任何一個無窮集合使得它的勢嚴格介于和之間，這就是著名的連續統假設。這個假設在現代數學和康托爾的學術生涯中占有十分重要的地位，康托爾終其一生都在努力證明它。

但很遺憾，康托爾的努力并沒有為他贏得更多的尊重。雖然在1879年，康托爾晉升為哈雷大學的教授，但哈雷是個小地方，大學教授的收入非常微薄，當時的德國并不提倡計劃生育（當然現在也不提倡……），康托爾夫婦一共育有五個孩子，家庭生活十分拮據，所以康托爾就動了到柏林的大學謀求教職的念頭，在柏林，一個大學教授擁有更高的薪水和更加受人尊敬的社會地位。但悲催的是，他的死對頭克羅內克在柏林幾乎擁有至高無上的權力，在克羅內克的極力阻撓下，就算有學校有意向接收康托爾，也不敢把此事擺上臺面，康托爾工作調動之事猶如石沉大海，杳無音信。不僅如此，在克羅內克掌控了《克雷爾》數學雜志之后，康托爾的論文在這本雜志也發表不出去了。

這就沒意思了，學術排擠也就算了，毀人前途實在太不厚道。克羅內克的窮追猛打加上連續統假設的證明幾經反復也沒有進展，康托爾遭受到了外部環境和內心世界的雙重打擊。

康托爾一急……就抑郁了。

現如今，“抑郁”已經成為了一個頗為時髦的名詞，無論是社會名流、演藝明星，還是IT碼農、文藝青年，沒有點小抑郁都不好意思號稱自己工作壓力大。但其實“抑郁癥”是醫學上一種非常嚴肅的生理性疾病。康托爾也一樣，他無法集中精力，無法專心致志地從事研究工作，總是陷入眾多哲學乃至神學問題的爭吵旋渦。

對此，他感到萬分的沮喪。

也不知道在那些不眠的夜里，康托爾有沒有想起自己的父親，如果這個時候父親還在，還能有來自父親的寬慰和鼓勵，他也許就不會如此無助。

怎么辦？不會要熬到克羅內克成仙吧！

很不幸，還真是這樣……1891年，68歲的克羅內克去世，直到此時，康托爾的外部環境才開始得到改善。沒有了無休止的壓制和蔑視，對于康托爾混亂的生活而言無異于一劑良藥，他不僅恢復了創造性的數學工作，還領導創立了德國數學家聯合會并擔任首任主席。

1897年，康托爾積極參與了第一屆國際數學家大會的籌辦，這個國際數學家大會的名頭很大，現在已經成長為全球數學領域的頂級盛會，會議每四年舉辦一次，開幕式上頒發的“菲爾茲獎”被視為數學界的“諾貝爾獎”。

看來康托爾的組織才能比起科研水平來說一點也不遜色啊，但可惜好景不長，1899年的夏天，康托爾再次掉入抑郁癥的深淵。這一次病癥來得更加猛烈，康托爾為修補集合論的邏輯基礎和證明連續統假設耗盡了全部的心血，但問題始終存在。他感到自己再也撐不下去了，于是取消了秋季學期的教學計劃并給當時的文化大臣寫信，申請辭去哈雷大學的教職。康托爾寧愿到圖書館去當一個管理員，也不想再碰數學了。

很快，文化大臣回信——不批！

對于這個結果，我一直沒想明白，要知道德國大學里的教授職位非常稀少，基本上是一個蘿卜一個坑，前任不退，后來人根本沒有晉升的機會。比如著名的哥廷根大學數學教授職位，之前由高斯擔任，高斯死后傳給了狄利克雷（Dirichlet），狄利克雷死后傳給了黎曼（Riemann），黎曼死后官方想傳給克羅內克，被拒絕（真有個性），所以克羅內克在1883年接替庫默爾成為柏林大學數學教授之前一直就是個編外人員。當然，克羅內克有足夠的資本瞧不上一個教授職位（他確實有錢），但眼紅康托爾位置的人應該還是很多的，誰不想在學術上盡快達到受人尊敬的地位呢？也許那位文化大臣覺得沒有比康托爾更為合適的人選，又或者是別的什么原因，總之，康托爾被迫留了下來，在哈雷大學附屬精神病院里住了一年。

所謂屋漏偏逢連夜雨，在康托爾的工作毫無進展期間，他的家庭也不斷遭遇不幸，母親去世，弟弟去世，小兒子夭折……所有的事情集中到一起，康托爾的精神受到強烈的刺激，徹底崩潰了。此后的十多年中，他大多處于一種嚴重的抑郁狀態，病魔纏身，再也沒有恢復過來。1918年1月6日，康托爾在哈雷大學附屬精神病院走完了自己的一生，享年73歲。

是時候做個總結了。

康托爾的一生跌宕起伏，傳奇勵志。他既像一個勇猛的斗士，始終堅定捍衛自己一手創立的數學理論，又像一盞暗夜中的明燈，指引著現代數學的前進方向。康托爾對數學的貢獻足夠世人消化良久，越來越多的數學家開始感受到他的工作的重要，例如，他的超窮數理論給分析學的研究帶來了新的思路，不久又在測度論和拓撲學的研究中產生新的應用，集合論也逐漸成為整個現代數學的基礎。

如此了得的人物最終卻不得不悲劇性地離開，你也許要為康托爾打一次抱不平了：都怪那個克羅內克，硬生生毀掉了一個傳奇，沒有他的固執，數學必定可以飛速發展好多年。

對此，我倒不這么看，要知道每一個時代的人都有認知上的天花板，這是時代造成的，并不以人心善惡為轉移，很多新潮思想的反對者，其實并非都是趨炎附勢之徒，只不過無法打破自身所處的禁錮。真正打破禁錮的人，必然要承受巨大的反制和阻力，非此阻力，他們也無法歷練成為真正的勇士。

上天會給你無上的榮耀，但通常都兌現得太晚。

康托爾在數學上的成就最終得到了應有的肯定，他的工作被盛贊為“數學天才最優秀的作品”“人類純粹智力活動的最高成就之一”，著名哲學家羅素（Russell）也評價：這可能是這個時代所能夸耀的最巨大的工作。

1900年，在巴黎舉行的第二屆國際數學家大會上，希爾伯特作了一次聞名后世的演講。在演講中，希爾伯特公布了23個亟待解決的數學問題，這些問題引領了整個20世紀數學研究的潮流，康托爾的連續統假設排名第一。

值得一提的是，60多年之后連續統假設正式得到解決，答案卻出乎所有人的意料，連續統假設既可以說對也可以說不對，不知道康托爾泉下有知會不會覺得自己死得冤枉……

至于為什么既對又不對，請允許我賣個關子，在我們正式面對它之前，先來搞清楚一個問題：康托爾的集合論到底有什么用？沒有這套理論之前，大部分數學家不也活得好好的？這話說得倒沒什么大錯，他們活得好好的，但他們活得未必清醒，對于數學而言，康托爾的理論不僅是一個有用的工具，還有著關乎生死的意義。要了解清楚這一點，我們需要開啟一幕穿越大戲，從古希臘的畢達哥拉斯（Pythagoras）說起。

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(1)　后續章節會對無窮級數進行詳細介紹。

(2)　古代中國的“割圓術”只使用圓的內接正多邊形。

(3)　后來發現這件事情依賴選擇公理。那什么是選擇公理呢？原諒我，頁邊太小寫不下……

(4)　形象地說，間斷點就是函數圖象斷開的點。

(5)　這句話是高斯說的。

(6)　嚴格證明需要用到選擇公理。

(7)　利用任意無窮集合包含可數子集的事實，有興趣的同學可以開動腦筋自己試一試。

(8)　若干年后，一個叫勒貝格（Lebesgue）的法國數學家發明了測度論（專門講“長度”的理論），回答了這個問題。

(9)　事實上任意一個一元n次方程在復數系中恰有n個根（重根記重數），這是著名的代數基本定理，但很遺憾至今沒有初等證明。

(10)　即通常所說的龐加萊猜想，歷經幾代數學家的努力，最終由俄羅斯數學家佩雷爾曼解決。