2.7　顛覆想象的證明

所謂超越數，就是那些不能作為任何一個整系數多項式方程的根的（復）數。單從定義來看，你也許還意識不到超越數有多重要，但如果你知道大名鼎鼎的圓周率π和自然底數e都是超越數，你就該對超越數肅然起敬了。

在數學上，人們把整系數多項式方程的根稱為代數數，所以超越數組成的集合其實就是代數數組成的集合在復數系中的補集。

有理數當然都是代數數，因為任何一個有理數α都可以寫成兩個整數的商，從而α是一次方程

nx－m＝0

的根。無理數也有可能是代數數，例如就是無理數，但它同時是二次方程

x²－2＝0

的根。至于超越數存不存在，這從一開始就是個難題。

在19世紀的數學圈內，人們更加信賴構造性的證明方法：你要證明一個東西存在，那么就明明白白地把它構造出來。基于這個想法，法國數學家劉維爾（Liouville）仔細研究了一個無理數要想成為代數數所必須具備的條件，然后他巧妙地造出了一批不滿足這些必要條件的無理數，數學上稱為Liouville數。按照構造方法，Liouville數擁有規范的無窮級數的表達形式，我們舉一個例子：

就是一個Liouville數。可以看到，小數點后兩個非零數字之間的間隔越來越長，這是Liouville數的特征。雖然Liouville數看起來很特別，但它們真實存在，并且不滿足無理數成為代數數的必要條件，因此它們必須是超越數。換句話說，劉維爾用構造性的方法證明了超越數的存在性，這在人類歷史上是第一次。

對待同樣的問題，康托爾卻并不按常理出牌，他不去具體地構造超越數，而是去證明一個關于代數數的結論：全體代數數組成的集合是一個可數集。如何證明呢？首先對每一個整系數的多項式方程

康托爾匹配了一個正整數

稱為多項式f的高。顯然對任意的正整數m，N（f）＝m的整系數多項式方程f＝0只有有限多個。另外，任意一個一元n次多項式方程最多只有n個根⁽⁹⁾，所以當N（f）依次走遍所有正整數時，我們可以把全體整系數多項式方程，進而把全體代數數一個一個地排列出來，換句話說，所有代數數組成的集合是一個可數集。然而我們已經知道實數集是不可數的，因此作為代數實數在實數集中的補集，超越實數不僅存在并且有不可數多個！

這，就很尷尬了……劉維爾費了九牛二虎之力硬生生地造出了一批超越數，康托爾連超越數的邊都沒摸到就證明了它們的存在，簡直就是耍流氓嘛！

當時持有這種觀點的人并不在少數，但康托爾卻沒有停下腳步，他在“耍流氓”的道路上一發不可收。1877年，康托爾證明了［0，1］區間內的點不僅與實數軸上的點一一對應，還與任意n維歐式空間中的點一一對應，所以一條直線上的點與一個平面上的點一樣多，一個平面上的點與整個三維空間中的點一樣多，這就好比你在紙上畫只貓，康托爾告訴你從構成元素數目的角度來說，這只貓與現實生活中的貓沒什么區別。

這個結論再次刷爆了人們的底線，之前我們遇到過一個類似的例子：有限長度線段上的點與無限長度直線上的點一一對應。在那個例子中，直線雖然無限長但好歹跟線段一樣都是一維的，現在不同維度的事物居然也包含了相同多的基本單位，這下子連康托爾本人也忍不住驚呼：“我看到了它，但我簡直不敢相信啊！”

基于以上種種發現，康托爾引入了“勢”的概念來描述集合的大小，兩個集合之間如果可以構建一一映射，則稱這兩個集合等勢。康托爾把所有可數集的勢記為（發音：阿列夫零），把實數集的勢記為c，他在1874年的論文相當于證明了。

你大概想問：既然所有的勢都是c，那還有比c勢更大的集合嗎？康托爾非常巧妙地回答了這個問題，對任意一個集合S（有限或無窮），康托爾考慮由S中所有子集組成的集合P（S），他證明了S與P（S）之間無法構建一一映射，換句話說，P（S）的勢嚴格大于S的勢。若這里的S是實數集，我們就得到了一個新的集合P（），它的勢嚴格大于c。

康托爾把P（）的勢記為2^c，這個記法來源于有限集的性質：任何一個含有n個元素的有限集，其所有子集組成的集合元素個數恰為2ⁿ，因此P（S）通常稱為S的冪集。

這時候，你是否已經從康托爾的證明中發現了一個重要的結論：不可數集合并不是只有實數集一種，通過反復取冪集的過程，我們事實上構造了一個不可數集合的無窮序列

更進一步，康托爾證明了，也即P（）與實數集之間可以構建一一映射，這為上面提到的序列補充了重要的第一環

于是我們就得到了一個關于無窮集合的“無窮譜系”。

無窮集合不僅存在，而且還有無窮多種，康托爾的這些工作可以說是數學上極富想象力的天才創造，它們充分說明了“無窮”在數學上不僅可以成為一個被研究的對象，而且具有非常豐富的含義和層次，人類數千年來關于無窮集合的固有印象被完全顛覆了。