2.6　一炮而紅

到目前為止，你并不需要了解函數的三角級數展開究竟是怎么一回事，只需要知道這個問題的難度在于放寬被展開函數的限制，康托爾的思路是盡可能地放開對這些函數上的“壞點”（學名間斷點⁽⁴⁾）個數的要求，于是很自然地，他轉向了點集元素個數的研究。1872年，康托爾已經能夠證明具有無窮多個間斷點的函數也滿足三角級數展開的唯一性，正是為了刻畫由這無窮多個間斷點所組成的點集的性狀，康托爾不得不開始認真地考察“實無窮”了。

不幸的是，前人的經驗對康托爾并沒有太大的幫助，無窮集合特別是“實無窮”就像一個神秘的禁忌般無人敢碰。直到康托爾所處的那個年代，數學家們對于無窮的見解依然停留在“無窮只是描述一個極限過程的說話方式”⁽⁵⁾這樣的陳詞濫調上，要是有人敢把無窮當作數學上一個明確的研究對象，他估計會被當成瘋子或者被當成一個未經訓練的民間科學家。

但康托爾不管這些，他扛起炸藥包就往里沖了，扎實的數學基礎和敏銳的數學直覺告訴他是時候向“無窮”概念發起沖鋒了，“無窮”不僅可以而且也必須被當成一個整體對象加以研究。年紀輕輕就拿下博士學位的康托爾自然不是亂放空炮，在伽利略的悖論中他就已經意識到所有的“無窮”并非都是一樣的，他給自己的親密戰友數學家戴德金（Dedekind）寫信：“潛無窮”和“實無窮”可以用明確的數學語言加以區別！

這里的數學語言指的就是一一映射，人們很快就將見識到這種思路的神奇之處。1874年，康托爾轟下第一個堡壘，他的論文“關于一切代數實數的一個性質”在久負盛名的《克雷爾》數學雜志發表，立刻引起了轟動。在這篇論文中，康托爾首先定義了可數集（最小的無窮集），然后證明了有理數集可數而實數集合不可數，最后證明了所有代數數組成的集合是可數的從而超越數不僅存在并且有不可數多個。

聽起來是不是有點兒暈？這些結論中的某些概念你可能連聽都沒聽過。但客觀地講，要理解它們并不十分困難，讓我嘗試用比較通俗的語言慢慢給你解釋。

首先，你能想到的最簡單的無窮集合恐怕就是正整數集了，我們給這個集合一個符號。里的所有元素可以一字排開1、2、3…，有起點卻看不到盡頭，一旦你取定了一個足夠大的n，n＋1又是一個更大的正整數，所謂“子子孫孫無窮匱也”，這使得不可能是一個有限集。同時正整數集似乎也是最小的無窮集合，因為從一一映射的角度看，但凡一個集合S包含了無窮多個元素，S中就一定可以找到一個子集與建立一一對應⁽⁶⁾。既然在所有的無窮集合中有著基本的重要性，那么好，康托爾說：我把所有可以與正整數集建立一一對應的集合稱為可數集，它們是最小的無窮集合。

不難理解，所謂的可數集，就是指這個集合里的所有元素可以按照某種順序一個一個地拉出來，像幼兒園里的小朋友一樣排排坐，吃果果，無一遺漏。

除了以外，所有整數組成的集合＝{0，－1，1，－2，2，…}也是一個可數集，進而中所有的無窮子集都是可數集，例如，所有奇數組成的集合、所有偶數組成的集合、所有平方數組成的集合等。在康托爾的眼中，伽利略提出的悖論是再正常不過的現象，無窮集合本來就跟有限集有著天壤之別，憑什么要求無窮集合要拘泥于有限集的性質呢？康托爾和戴德金甚至得出結論：一個集合有無窮多個元素當且僅當這個集合可以與自己的某個真子集建立一一對應⁽⁷⁾，這一下子抓住了無窮集合的本質。

整數集可數是一個非常明顯的命題，因為中的元素有一種近乎天然的排序方式：按大小。按照絕對值從小到大，我們真的可以把所有整數都排列出來，一個也跑不掉。那有沒有看起來沒那么平凡的可數集呢？

康托爾說：有啊，所有有理數組成的集合就是。這是康托爾的工作中得出的第一個令人感到意外的結論。

所謂有理數，就是那些可以寫成兩個整數的商的數（俗稱“分數”），比如，其中m和n都是整數。有理數集這個集合很有意思，因為它在數軸上是稠密的，什么意思呢？任意給出兩個有理數a＜b，不論a和b有多接近，你都能在它們中間再找到一個有理數c，使得a＜c＜b。形象一點說，有理數集在數軸上的分布“密密麻麻”，沒有間隙，這與整數在數軸上的分布明顯不同，而這條性質也將導致一個非常嚴重的后果，如果你想按照大小給有理數進行排序那純粹是自虐，排好了兩個中間又會冒出第三個，永遠也排不完。

這樣詭異的集合也是可數集？

這事兒一開始恐怕連康托爾自己都不信，但他確實看到了一個絕妙的辦法證明全體有理數也是可以排序的。怎樣做到呢？

首先，全體有理數除了“0”以外都是一正一負成對出現，所以只要證明了全體大于0的有理數組成的集合是一個可數集我們就結束戰斗了。如此，康托爾把所有的正有理數平鋪在一張沒有邊界的表格之中，表格中的第一行是分母為1的那些有理數，按照分子為{1，2，3，…}也就是正整數的順序排列，第二行是分母為2的那些有理數，排序方式與第一行一樣，第三行是分母為3的有理數，第四行是分母為4的有理數。

依此類推，康托爾得到了一個填滿所有正有理數的方形表格，只不過這個表格的行數和列數都是無窮大（準確地說是可數無窮大）。如果我們用a_m，n來表示這個表格中位于第m行、第n列的那個元素，那么顯然有。現在，對每個正整數k≥2，我們構造一個集合S（k）＝{a_m，n|m＋n＝k}，這是一個有限集，事實上描述了表格中第k－1條反對角線上的元素，當k走遍所有大于1的正整數時，把所有的S（k）并在一起自然也就覆蓋了表格中的所有有理數。

現在，正有理數集是一個可數集的結論已經呼之欲出了，你只需要對每個S（k）中的元素規定一個排序，然后按照k＝2，3，4，…的順序將S（2）、S（3）、S（4），…中的元素串在一起（重復出現的元素保留第一個，其余刪掉），你就得到了全體正有理數的一個排序方式，比如圖2-7。這樣康托爾就證明了整個有理數集是可數的。

這個結果確實令人大感意外，它告訴我們一個數集是否能夠依序排列并不依賴幾何上是否存在直觀的間隔，也再次說明了人類的直覺有時是多么的不靠譜，在數學的王國里，邏輯才是王道。

順便說一句，我們提到的這個排序方式并不是唯一的，你一定還能找到別的方式對有理數進行排序，不妨開動腦筋想一想，也算是學以致用，觸類旁通。

既然有理數集這樣稠密的集合都是可數集，你估計會想：不會所有的無窮集合都是可數集吧？

這是一個非常自然的想法，也確實在一開始給康托爾的思路帶來了很大的誤導，他試圖證明實數集也是可數的。

整個故事中最為精彩的地方出現了，如果上述結論是正確的，那么康托爾的理論即使看上去非常有趣也必然不會引起軒然大波，因為所有的無窮集合都一樣，就失去了多樣性所帶來的各種不同和可能。所幸康托爾證明實數集可數的每一次嘗試都以失敗告終，他開始反過來想：會不會實數集根本就不可數呢？這一轉念，思路豁然開朗。

經過仔細的思考之后，康托爾給出了明確的答案：不可數集是存在的，實數集即是，所以單論元素個數的話無理數要比有理數多得多！

為了證明這個結論，康托爾首先給出了一個足以驚掉你下巴的引理：一條有限長度線段（比如［0，1］區間）內的點與一條無限長直線（比如實數軸）上的點一一對應！

這個引理真是比伽利略的悖論還要令人崩潰，不同長度線段的點可以一一對應也就算了，無限長的直線來湊什么熱鬧，難道長度與點的個數之間完全沒有關系⁽⁸⁾？不管你相不相信，這個引理確實是邏輯上不可推翻的事實，康托爾的證明如此簡單而巧妙，我畫兩個圖你就立刻明白（見圖2-8、圖2-9）。

以半圓AB為媒介，康托爾證明了實數軸上的點與（0，1）開區間內的點可以建立一一對應。現在，要證明實數集合不可數，康托爾只需要證明（0，1）區間內的全體實數不可數。康托爾用了反證法，假設（0，1）區間內的全體實數是可數的，那么［0，1］閉區間內的全體正實數就是可數的（此集合與（0，1）開區間相比多了一個“1”）。康托爾把這些正實數都寫成無限小數的形式，例如0.5用0.49999…來代替，1用0.99999…來代替（之所以可以這樣做與康托爾構造實數系的方式有關，我們在下一章會看到）。接下來這些無限小數可以一個一個的排列出來：

r₁＝0.b₁，₁b₁，₂b₁，₃b₁，4…

r₂＝0.b₂，₁b₂，₂b₂，₃b₂，4…

r₃＝0.b₃，₁b₃，₂b₃，₃b₃，4…

?

康托爾發覺這個列表不可能把［0，1］閉區間內的所有正實數完全覆蓋，原因在于他能夠輕易地構造出一個大于零的無限小數r＝0.b₁b₂b₃b₄…，這個小數滿足對任意的正整數i有b_i＞0但b_i≠b_i，i，顯然r∈［0，1］但r并不等于上面列表中的任何一個，如果r等于某個r_k，那必有b_k＝b_k，k，與構造方式矛盾。因此，實數集可數的假設并不正確，實數集是不可數的！

這實在是妙不可言啊，同樣包含了無窮多個元素，實數集與整數集還真有著本質上的不同。若干年后，大數學家希爾伯特（Hilbert）舉了一個“無窮旅館”的例子，很好地描述了實數集這種不可數的特性。

這個例子是這樣說的：有個老板在城里開了一家旅館，這家旅館有個非常奇特的地方，它有無窮多個房間，每個房間都匹配唯一一個正整數作為它的編號。某天夜里，風雨大作，一位顧客走進旅館想要住宿，不巧的是所有房間都已經滿了，沒有空房。

那就走唄？可是這位顧客并不想離開，他拜托老板想下解決辦法。老板想了想，好辦！他請1號房的住客搬到2號房，2號房的住客搬到3號房，3號房的住客搬到4號房。依此類推，所有住客的房間都往后挪了一間，而1號房被騰了出來。完美！顧客順利入住，老板得意地笑。

不多久，一位導游走了進來，導游說我有一個旅行團，有全體整數那么多個團員，老板你想想解決辦法。老板看了導游一眼，小樣兒，你難不倒我！他請1號房的住客搬到2號房，2號房的住客搬到4號房，3號房的住客搬到6號房。依此類推，n號房的住客搬到2n號房，這樣，所有奇數編號的房被騰了出來，旅行團的團員得以依次入住，老板又得意地笑。

最后，康托爾走了進來：老板我有一個旅行團，有全體實數那么多個團員，你想想解決辦法。老板一聽直接怒了：你自己想辦法！

哈哈。

雖然希爾伯特的例子被我演繹成了一個笑話，但至此，困擾人類千百年的“潛無窮”和“實無窮”概念終于得到了明確區分，“無窮”也正式成為現代數學研究中一個不可忽視的主角。所有致力于完善數學理論體系的數學家都興奮得摩拳擦掌，因為數學的基礎即將被改寫，進而展現出全新的面貌。

順便提一句，康托爾對于實數集不可數的證明后世稱為“對角線方法”，此方法還被廣泛地應用于其他定理的證明，百世流芳。

康托爾用“可數”與“不可數”從本質上區分了整數集與實數集，這是人類理性的一次巨大飛躍。然而事情發展到這一步卻并沒有結束，更令人驚訝的還在后面，康托爾利用實數集不可數的事實給出了一個超越數存在的全新證明！

這在當時的數學界可是一件了不得的大事，因為超越數這個東西，實在是太難得啦。