第二節(jié) 債券定價(jià)

為了對(duì)債券進(jìn)行合理的定價(jià)，我們需要建立一個(gè)清晰的量化方法。此處的重點(diǎn)不在于具體計(jì)算，而是在于需要讀者掌握運(yùn)算方法的原理和計(jì)算背后的假設(shè)。首先，在所有金融工具的定價(jià)中，我們都會(huì)運(yùn)用到貼現(xiàn)的概念。貼現(xiàn)的本質(zhì)是未來(lái)的貨幣價(jià)值低于現(xiàn)在的貨幣價(jià)值。其原因很簡(jiǎn)單，今天的1元錢(qián)通過(guò)投資可以在未來(lái)獲得一定的回報(bào)，因此它在未來(lái)的價(jià)值大于1元。為了更好地理解債券的定價(jià)原則，我們將以定量的方式來(lái)考慮貼現(xiàn)。

為了準(zhǔn)確衡量投資1元的回報(bào)率，顯然我們需要一個(gè)已知的利率。假定在一家銀行儲(chǔ)蓄1元的年利率為3%，利息收益使得一年后這1元增加為1×（1+3%）元。到第二年年初，儲(chǔ)蓄賬戶(hù)余額應(yīng)為1.03元，年末可以再獲得3%的利息，因此資金余額變?yōu)?×（1+3%）2元。在第三年，儲(chǔ)蓄賬戶(hù)中的資金余額繼續(xù)獲得3%的利息，因此第三年年底，資金余額變成1×（1+3%）3元。我們假設(shè)利率為r，把這個(gè)公式推廣到一般情況。則不同年份賬戶(hù)的資金總額為

第1年：1×（1+r）

第2年：1×（1+r）2

第3年：1×（1+r）3

……

第n年：1×（1+r）n

因此，今天在利率為r時(shí)投資1元，在n年后就會(huì)變?yōu)椋?+r）n元。這里的利息是按前一年的資金余額為本金進(jìn)行計(jì)算的，每一年的資金量都會(huì)在上一年度的基礎(chǔ)上有所增長(zhǎng)。在以半年為計(jì)息周期的復(fù)利計(jì)算中，除了利息每半年支付一次以外，其他情況與年復(fù)利相似。因此，年利率為r時(shí)，1元在 n年后會(huì)變?yōu)?img alt="" class="h-pic" src="https://epubservercos.yuewen.com/410038/12738934803086106/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0075_0001.png?sign=1751302675-jngKqR4JuHSaC7E5o3CqexlrcPfUpxjS-0-1df8886fa457e86f77b0ab5f646009f8">元。雖然固定收益市場(chǎng)大多按半年復(fù)利計(jì)息，但我們?yōu)榱朔奖闫鹨?jiàn)，先按年復(fù)利方式進(jìn)行推算。前面我們已經(jīng)得出了今天的1元會(huì)在n年后變?yōu)椋?+r）n元?，F(xiàn)在我們反過(guò)來(lái)考慮，假設(shè)在第n年時(shí)你可以得到1元錢(qián)，那這1元現(xiàn)在的價(jià)值是多少？假設(shè)這1元現(xiàn)在的價(jià)值為x元，將x替換原來(lái)的1元代入n年的計(jì)算公式中，則n年后x元會(huì)變成x×（1+r）n元。所以：

x×（1+r）n=1或

這樣就得到了貼現(xiàn)公式，其中x元是貼現(xiàn)現(xiàn)金流，r是貼現(xiàn)率。為了使這個(gè)例子更加直觀(guān)，我們以貼現(xiàn)利率為3%為例，這樣10年后的1元在今天是 0.744元，即0.744元是利率為3%時(shí)、10年后的1元的現(xiàn)值。由此我們可以得出，在第n年獲得的c元的現(xiàn)值為元。貼現(xiàn)的計(jì)算和利率大小直接相關(guān)，我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)利率為零時(shí)，貨幣的現(xiàn)值和終值相等。

之前我們介紹過(guò)固定利率債券的價(jià)格和利率變動(dòng)時(shí)債券的變化。雖然債券的吸引力取決于它的利率這種說(shuō)法很容易理解，但我們需要一個(gè)量化的公式來(lái)進(jìn)一步描述債券價(jià)格和利率之間的關(guān)系。為了理解債券的定價(jià)原則，我們需要先分析一種更為基礎(chǔ)的債券——零息債券。零息債券是指在持有債券期間不支付利息、債券到期時(shí)本金和利息一次性付清的債券。結(jié)合其零利率特征和之前貼現(xiàn)的概念，可以得出零息債券的價(jià)格等于債券最終支付額的現(xiàn)值。因此，在利息率為r，到期時(shí)間為n年，到期支付額為100元的條件下，零息債券的價(jià)格是元。

零息債券為標(biāo)準(zhǔn)附息債券的定價(jià)提供了基礎(chǔ)。因?yàn)閷?duì)于所有債券來(lái)說(shuō)，債券的價(jià)格都可以看作債券各期現(xiàn)金流的現(xiàn)值。通過(guò)現(xiàn)金流貼現(xiàn)來(lái)定價(jià)的方法在金融中極為重要，該方法不只適用于債券，還能用于所有能提供確定現(xiàn)金流的證券或金融產(chǎn)品。

在給付息債券定價(jià)時(shí)，參照零息債券的定價(jià)原則，以每年支付3元利息、在10年后支付100元本金的債券為例，各年現(xiàn)金流狀況如表4-1所示。

在第10年，債券收到的103元實(shí)際上分為兩部分：最后一年的3元利息和100元本金。我們可以把債券存續(xù)期間每3元的利息當(dāng)作一張零息債券，本金100元當(dāng)作另一張零息債券。這樣，一張分期支付固定利息的債券就可以看作是多張零息債券的組合。因此，這張債券的價(jià)格就是這些零息債券價(jià)格之和。

由此出發(fā)，我們可以得出債券定價(jià)的公式。第一年支付的3元零息債券目前的價(jià)格為元，類(lèi)似地，第二年為元……以此類(lèi)推，到第10年支付103元時(shí)，零息債券的價(jià)值為元。因此這張債券的價(jià)格是所有零息債券價(jià)格之和，也即

其中p為債券價(jià)格，r為目前的市場(chǎng)利率。類(lèi)似地，我們把公式進(jìn)行一般化，設(shè)息票利率為c，還本期限為n年，則

當(dāng)債券每半年付一次利息時(shí)，公式相應(yīng)變?yōu)?/p>

原公式的項(xiàng)數(shù)增加到2n+1，在這里每6個(gè)月看作一段分期，為每6個(gè)月的息票支付，為半年的利率。這里的r是市場(chǎng)利率，也即標(biāo)準(zhǔn)債券收益率。而每個(gè)債券的收益率指的是債券的內(nèi)部收益率（IRR），即可以使投資購(gòu)買(mǎi)債券獲得的未來(lái)現(xiàn)金流的現(xiàn)值等于債券當(dāng)前市價(jià)的貼現(xiàn)率，也相當(dāng)于投資者購(gòu)買(mǎi)債券并且一直持有到滿(mǎn)期時(shí)可以獲得的年平均收益率。

讓我們來(lái)看一個(gè)具體的例子，假設(shè)今天新發(fā)行一個(gè)國(guó)債，3年到期，每年付息一次，票面利率為4%，預(yù)計(jì)到期收益率為5%，則這個(gè)債券的價(jià)格為

除了計(jì)算債券價(jià)格以外，有時(shí)候我們也會(huì)利用公式推算其他信息。例如，在市場(chǎng)中面值為100元的10年期債券按97元的價(jià)格交易，其收益率是多少？這里我們無(wú)法按簡(jiǎn)單的代數(shù)等式來(lái)計(jì)算，當(dāng)知道除收益率外的其余條件時(shí)，我們可以用金融計(jì)算器或基本的財(cái)務(wù)軟件計(jì)算出到期收益率。再舉一個(gè)例子，當(dāng)收益率和票面利率都是3%時(shí)，債券價(jià)格就是100元。相應(yīng)地當(dāng)價(jià)格為100元，票面利率是3%時(shí)，我們可以推算出收益率是3%。因?yàn)楫?dāng)票面利率和收益率相等時(shí)，債券價(jià)格就等于票面價(jià)值。但債券價(jià)格上升之后，比如價(jià)格為104元時(shí)，收益率會(huì)降到2.54%，而當(dāng)價(jià)格下降到96元時(shí)，收益率會(huì)提高到3.48%。因?yàn)楣街惺找媛试诜帜傅奈恢蒙?，通過(guò)等式也可以看出債券價(jià)格隨著收益率的升高而下降（圖4-1顯示了票面利率3%的10年期債券的價(jià)格—收益率關(guān)系）。在市場(chǎng)上，債券一般以自身價(jià)格為基礎(chǔ)進(jìn)行報(bào)價(jià)，但也可以以收益率為基礎(chǔ)進(jìn)行報(bào)價(jià)。

在國(guó)債等高信用評(píng)級(jí)的債券市場(chǎng)中，收益率是不同債券之間進(jìn)行比較的主要標(biāo)準(zhǔn)。雖然債券市場(chǎng)中的最終應(yīng)付款項(xiàng)和其他明細(xì)項(xiàng)目都需要通過(guò)債券價(jià)格來(lái)計(jì)算，但收益率仍然是我們?cè)谶M(jìn)行債券分析時(shí)最重要的參數(shù)。根據(jù)之前的分析，不同期限債券的價(jià)格隨利率變化會(huì)發(fā)生不同的變動(dòng)，所以我們很難以?xún)r(jià)格來(lái)衡量5年期債券和10年期債券的優(yōu)劣。

而收益率提供了將債券價(jià)格轉(zhuǎn)換為可以公平評(píng)價(jià)不同期限債券的方法。雖然收益率不一定是最優(yōu)的標(biāo)準(zhǔn)，但它確實(shí)排除了一些影響價(jià)格橫向比較的因素。在債券市場(chǎng)中，收益率下降意味著債券價(jià)格上漲，反之，收益率上升則意味著債券價(jià)格疲軟。因此，大多數(shù)市場(chǎng)參與者在利率下降時(shí)買(mǎi)入債券，在利率上升時(shí)拋售債券。