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早餐代表我的心

“親愛的，天亮了，今天是2月14號，我特意為你準備了早餐。不用起床了，就在床上吃。好豐盛的，有剛出爐還冒著熱氣的羊角面包，有一大杯我剛剛親手榨的橙汁，有新鮮水果，還有最重要的，一大碗牛奶！”

“你對我太好了，但為什么有牛奶呢？你知道我喝牛奶不消化啊……”

“很簡單啊，因為這碗牛奶代表我對你的愛，你看看碗里面有什么……”

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早餐是一天中最重要的一餐。每天早上，我都目光呆滯地盯著麥片盒上的配料表，心里默念這句話，等著沒睡夠的倦意退去。如果你泡了碗麥片，沖了杯咖啡或者倒了杯果汁，那么，在陽光的照耀下，杯子里面會出現(xiàn)一個類似心形的形狀（圖1.1）。

這個心形是怎么來的呢？

答案其實很簡單，但先要了解下數(shù)學家是如何定義心形的。

畫一顆心給你！

有了合適的方程和繪圖儀，什么東西都可以畫出來。Wolfram公司市場部的編輯理查德·克拉克特別擅于用傅里葉變換寫圖形方程。有了他的貢獻，我們才能把皮卡丘也用方程表示出來（圖1.2a）——我在這里就不把方程寫全了，如果要寫全，一頁紙都不夠。美國一所高中的數(shù)學老師J．馬修·雷吉斯特也是圖形方程的好手。2011年，他的學生把他的蝙蝠俠圖標方程（圖1.2b）發(fā)到了網(wǎng)上，引起了轟動。言歸正傳，數(shù)學愛好者給出了許多心形方程，各有千秋，但數(shù)學界“心有獨鐘”：他們認定用簡單方程描繪的“心形線”（圖1.2c和圖1.2d）。

心形線在英語里叫作cardioid，這個詞來自希臘語：kardia意為“心”，eidos意為“形”。心形線有許多不同的定義方法，但是異曲同工（圖1.2）。我們可以想象一個圓沿著另一個圓外側(cè)滾動而不滑動，不動的圓叫作“準圓”，動圓上某一點的軌跡稱為“外擺線”（epicycloid），這個詞也來自希臘語：epi意為“上”，kuklos意為“圓”。準圓和動圓的半徑相等時，就得到了心形線。如果動圓在準圓內(nèi)部，而準圓的半徑是動圓的2倍，也會得到心形線。

18世紀初，布萊茲·帕斯卡的父親艾蒂安·帕斯卡在對擺線的研究中提到了這種曲線，雖然言辭含糊，但這是歷史上首次出現(xiàn)。其他數(shù)學家對這種曲線也是興致勃勃。1708年，法國數(shù)學家菲利普·德拉意爾證明心形線的長是準圓半徑的16倍。直到1741年，喬瓦尼·達卡斯蒂利奧內(nèi)才根據(jù)形狀將其命名為“心形線”。

第二種構(gòu)建心形線的方法是：取圓上一點P，以圓上其他點為圓心，作經(jīng)過點P的圓，所有這些圓內(nèi)包于一條心形線。

更讓人意想不到的是，心形線還可以通過數(shù)論的方法來構(gòu)建。在圓周上均勻地取100個點，編為0到99號，然后把各個點與編號為其2倍的點相連，如果編號的2倍大于等于100，則以減去100計，即編號乘2得100則對應點0，編號乘2得102則對應點2。按這種方法，點21與點42相連，點53與點6相連。所有這些線段形成心形線。取的點越多，心形線就越準確（圖1.3）。

說了這么多，還沒有解釋碗里怎么會有一顆“心”。真正原因是，心形線是圓的“散焦線”。

光之幾何

光線照射到圓形容器的邊緣，會發(fā)生反射。假設陽光是平行光，讓我們來觀察一下反射光路：根據(jù)光的反射定律，反射角等于入射角，即反射光線與法線的夾角等于入射光線與法線的夾角，法線是圓在入射點上切線的垂線（圖1.4）。

陽光視為平行光，照射到杯沿并經(jīng)過反射后，匯集成的曲線就是所謂的“散焦線”，與所有反射光路相切。這里的散焦線和心形線很相似（圖1.5a）。

但是，這樣得到的曲線并不是真正的心形線，心形線與圓周不會相交。其實，這是半腎形線，可以視為心形線的“親戚”，因為它們都是外擺線的一種。如果準圓的直徑是動圓的2倍，就會得到腎形線（圖1.6）。腎形線有兩個對稱軸和兩個回復點，即曲線好像要往回走的那一點。“腎形線”這個詞英語為nephroid，也來自希臘語，nephrós意為“腎”。這聽起來就沒“心形線”那么浪漫了。

但不要擔心，想要杯子里出現(xiàn)心形線很簡單，只要把光源移近一點就行。光源在杯子的圓周上時，出現(xiàn)的就是標準的心行線（圖1.5b）。下一個情人節(jié)，你就可以省著點過啦！不用去高級餐廳吃大餐，只要一盞燈和一碗牛奶就夠了，然后再給他或她念一首詩，完美！

* * *

如果你是外擺線，你會是一條心形線。

如果你是全純函數(shù)，你就是正弦的平方，

而我就是余弦的平方，我們剛好合二為一。

如果你是偶數(shù)，你會是28，因為28是完全數(shù)。

如果你是奇數(shù)，你依然會是完全數(shù)。

但只有我知道，你這個奇完全數(shù)的存在。

如果你是對數(shù)，你將會……那個……你懂的。