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照（不）亮你的家

“這套房在頂層，小區環境優美，舒適安靜。不遠處就是火車站，地下有停車場。廚房配套齊全，房子有地熱供暖。從陽臺望出去整個城市一覽無余，還能裝光纖寬帶。每周六早上，樓下還有有機農產品市場。”

“看著挺好，但這滿屋子鏡子是怎么回事啊？從廚房都能看見浴室。”

“哦，這個啊，不奇怪，上個房客是搞數學的。”

* * *

你要租房，于是中介領著你來到最時髦的小區。中介沒騙人，這套房看起來就像一件當代藝術作品。但如果你想要方正的戶型、筆直的走廊，那還是換一個吧，這房子曲曲折折和迷宮似的。更引人注目的是，所有的墻上都掛滿了鏡子。中介非要說這樣有好處，因為從房間里任何一處都能看見客廳或者衛生間，而且開一盞燈就能照亮整個屋子。

但你還是有點顧慮。就算房間里掛滿鏡子，真的隨便在哪里開一盞燈就能照亮整套房嗎？如果房子是L形的，這方法應該可行，站在角落也能從鏡子里看到其他地方。但任何房型都能做到嗎？

要回答這個問題可不容易。20世紀50年代末，當時愛因斯坦的助手——數學家恩斯特·施特勞斯就曾提出過“鏡屋問題”。但直到1969年，維克多·克利才發表了“鏡屋猜想”。兩個等待解答的問題是：

● 所有多邊形鏡屋都能從房里任意一點整個照亮嗎？

● 所有多邊形鏡屋都能從房里至少一點整個照亮嗎？

令人吃驚的是，這些問題還沒有令人滿意的解答。第一個問題依然處于猜想階段，而對第二個問題的回答則飽受批評。我們來看看為什么。

彭羅斯臺球桌

最早為鏡屋問題給出間接解答的是1958年12月25日發表在《新科學家》雜志上的一篇文章。彭羅斯父子——萊昂內爾·彭羅斯和羅杰·彭羅斯怕大家在圣誕節閑得沒事做，便提出了好幾個謎題。其中一個問題值得我們注意：是否有可能造出一張臺球桌，有A和B兩個區域，從A區域擊出的球永遠不可能到達B區域（反之亦然）？這個臺球桌沒有洞，而且沒有摩擦力，不會影響球的運動軌跡。如果有個房間和這種臺球桌同樣形狀，那正好是施特勞斯第一個鏡屋問題的非多邊形反例，因為球的軌跡可視為光線在每面鏡子之間的反射光路。彭羅斯父子利用一種幾何形狀——橢圓的光學性質回答了這個問題。橢圓就好像壓扁的圓，其定義為到兩個定點的距離之和為常數的所有點的集合，這兩個定點稱為橢圓的焦點。橢圓形臺球桌有非常特別的性質：如果我們把球放在一個焦點上，而洞在另一個焦點，那從數學上說，球必進洞無疑（圖2.1）；而如果我們把球放在兩焦點連線的線段上，則球的反彈軌跡必定與此線段相交。正因為橢圓有這樣的性質，我們可以構建出“彭羅斯臺球桌”（圖2.2）。

橢圓形臺球桌的實際情況要比這個理想的數學模型復雜得多，因為除了初始運動方向，很多因素都會影響球的運動軌跡。擊球速度和球桿與球的碰觸位置也會影響球的反彈角度。

1978年，杰夫里·勞赫發表了文章《有界域的照明》（Illumination of Bounded Domains），優化了彭羅斯父子的模型，提出了一種“迷你高爾夫球場”模型，要一定桿數才能讓球進洞（圖2.3）。有此形狀的房子就是施特勞斯的第一鏡屋問題的非多邊形反例，因為無論把燈放在哪里，都會有照不到的區域。

不管怎么說，這些模型都沒能真正解答施特勞斯的鏡屋問題，因為它們都含有橢圓或圓的弧，而問題里說的是多邊形。

托卡爾斯基黑屋

直到1995年，鏡屋猜想的真正反例才浮出水面。讓多邊形的鏡屋中有照不到的點是完全可能的，只要找到特別的光源點。

加拿大人喬治·托卡爾斯基給出了第一個反例。這是一個26邊形，每個角都是45°或90°，如果將點光源放在一個特定點上，那么整個屋子有一個點肯定照不到（圖2.4）。這個模型太過特殊，因為只要移動點光源分毫，整個屋子都會被照亮。兩年后，D．卡斯特羅優化了這一模型，將26邊縮減為24邊，其他性質不變。直到今天還沒有出現邊數更少的模型。

這是怎么得出的呢？為了理解這個問題，我們先考察一下正方形鏡屋ABCD中會有怎樣的光路。假設一束激光從頂點A射出，如果照到其他任何一個頂點，必會原路反射回來，或者被視為吸收了也可以，反正不影響光路。如果光線射到正方形的一邊，那就會發生反射，而且遵循反射定律，即反射角等于入射角。這一現象也可以解釋為：光線射到正方形的一邊后，在下一相同正方形鏡子中沿直線傳播。如果把正方形鏡屋復制為無窮多的方格，那么在正方形內折來折去的光路也可以被視為無窮多方格中穿過的一條直線。從點A發出的光若要回到點A，或者說，這條光若想經過點A到達無窮多復制方格中的另一個點A，則必須至少一次經過B、C和D三頂點之一（圖2.5）。

利用這種性質，我們可以制造一個無法全部照亮的黑屋，方法是將正方形ABCD以對稱的方式重復多次，讓所有頂點B、C、D都處于房間的角落（圖2.6）。而有兩個頂點A不在角落。這樣一來，如果光線從這兩個點A中的一點出發，要到達另一點，必須經過其他頂點至少一次。但所有其他頂點都在角落里，光線照到這些頂點就會沿原路反射回去，永遠不可能到達另一個A點。于是，我們構造出了一個多邊形黑屋，其中至少有兩點，從這兩點出發的光線無法把屋子全部照亮。

以同樣的方式，我們可以構建出其他黑屋，讓其中無法照亮的點多于兩個。

不僅正方形可以用來構建黑屋，一些特殊的三角形也可以。26邊形或24邊形黑屋正是由此而來。托卡爾斯基在文章中還提出了無直角多邊形黑屋，用內角為9°、72°和99°的三角形構造而成。

總之，施特勞斯提出的問題看似復雜，卻引出了出人意料的幾何圖形。但根本問題還是沒有得到解答：是否能畫出一個房間，從其中任意一點出發的光線都無法把整個房間照亮？是否能找到一個區域，而不是一個點，從該區域無法把整個房間都照亮？多邊形“迷你高爾夫球場”中是否存在一個洞，至少需要三桿才能把球打進去？這些問題看似不可能解決，但人們一直等待著某位數學家進行深入研究。數學愛好者們加油！

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“看著都挺好的，這套房我們租了。我數了一下，連陽臺上的一起，一共有740面鏡子。假如我們搬家的時候打破5%的鏡子，按照法國人的說法，打破一面鏡子要倒霉7年的話，那我們一共要倒霉259年，平均每人129年零6個月。考慮到房租，性價比還真是很高呢！”