第2章 “民主的”決策方法——博爾達計數法

在多數決的優化方案中，最簡單的是增加一輪投票，而更正規的則是給排名計分（第1位計3分，第2位計2分，第3位計1分）的博爾達計數法。它們都能抑制選票分流帶來的影響。那么，這兩種方法中，哪一種更為民主呢？說到底，民主的決策方法是什么樣的呢？本章將從所有人(for-all)的民主主義而非多數人(not for majority)的民主主義的視角來思考這個問題。

多數決的選票上沒有填寫“第2位以下選項”的空格

有一種選票叫“空白票”，指沒有填寫任何內容、原封不動投入投票箱的選票。不少人通過投空白票的方式表示沒有自己支持的候選人。不過，空白票對選舉結果沒有任何影響。如果空白票在選票中所占比率過大，也許會引發社會關注，但這種情況基本不會發生。從結果來看，空白票對選舉的影響等同于棄權。

專程到投票站投空白票的行為固然積極，但誰也無法否認其效果的消極性。在旁人看來，這一舉動甚至有些可惜。

在計票過程中，空白選票所包含的信息量為零。那么，寫有候選人姓名的非空白票是否就包含足夠大的信息量呢？

在多數決的選舉中，選民只能在選票上填寫一個人的姓名，即只能寫下候選人心中的“第1位”。換句話說，“第2位以下的選項”均不能寫到選票上。這一點和空白票無異。從這個角度來講，多數決相當于強制選民給第2位以下的所有候選人投空白票。

然而，人們心中的“第1位”不代表全部想法。假設“一個民進黨支持者最近對共產黨的好感越來越強”。他支持的排序本來是“民進黨第一，公明黨第二，共產黨第三”，但現在第二、三位發生對調，變成了“民進黨第一，共產黨第二，公明黨第三”。他心中的排序產生了變化。

那么，這種變化是否會體現在多數決中？答案是體現不出，或者說無法體現。因為根本沒有對應那種變化的窗口。

包括多數決在內的所有決策方法都是“計算盒”。輸入選票信息就會自動輸出選舉結果。而多數決只容許輸入最少限度的信息。都說“選舉體現民意”，但多數決選舉做不到這一點。畢竟選民只能輸入少量信息，好比嘴被堵住的人無法回答他人提出的問題。

選民只能在選票上填寫最支持的候選人，這對于參加競選的候選人來說又意味著什么呢？候選人之間存在競爭——一場讓更多人在選票上寫下自己名字的競爭，也就是爭取讓更多選民把自己作為第1位的競賽。

就算某位候選人在所有選民心中都能排到第2位，他在這場競賽中還是一票也得不到。對候選人來說，選民把自己排到第2位還是最后一位沒有區別，都沒有價值。這樣一來，就只能關照特定群體，讓他們選自己做第1位，或者通過非難特定群體引發關注，讓人們選自己做第1位。這些動機將驅使候選人的行為。這與其稱為政治家的倫理問題，倒不如說是多數決這一游戲的規則所導致的結果。

“二輪決選”與“博爾達計數法”，哪個更好？

意識到了這一問題，讓我們來思考在多數決的替代方案中，增加一輪投票和使用博爾達計數法哪個更好。

準確地講，二輪決選是指，如果第一輪多數決中無人獲得過半數選票，則針對前兩位進行第二輪多數決，從中決出勝者。第一輪多數決中分流的選票能夠在第二輪投票中回流。

法國總統選舉采用的便是二輪決選，通常第一輪多數決中多名候選人林立，第二輪投票才能選出總統。來看一個事例。

2002年的法國大選共有16名候選人參加。在第一輪多數決中，主要候選人之一的保衛共和聯盟代表希拉克以19.9%的得票率名列第一，極右政黨國民陣線代表勒龐以16.9%的得票率名列第二。被認為與希拉克實力相當的社會黨代表若斯潘則以16.2%的得票率惜敗，排名第三。極右政黨進入第二輪選舉的事實震撼了歐洲社會，被媒體稱為“勒龐危機”。

這是選票分流造成的結果。國民陣線沒有與其相似的政黨，因此集中獲得了右派的選票。而在選票回流的第二輪投票中，希拉克以82.2%的得票率取得了壓倒性勝利。

第二輪投票也會出現不相上下的驚人結果。2016年的奧地利總統選舉便是一例。在第一輪多數決中，極右政黨自由黨的候選人霍費爾以35%的得票率占據首位，而處在第二位的是得票率21%的中左政黨綠黨的候選人范德貝倫。在第二輪投票中，范德貝倫的得票率為50.3%，霍費爾的得票率為49.7%，范德貝倫勝出。

范德貝倫原本是維也納大學經濟學院的教授，主要研究決策方法，尤其是決策方法中的路徑制作方法。所謂“路徑”，就是決策方法的流程。比如二輪決選首先進行第一輪多數決，然后前兩名進入第二輪投票。年輕時的經濟學者范德貝倫或許根本沒有想到，自己將來會通過自己的研究對象當選總統。

極右政黨（在多數情況下）沒有與其相似的政黨，其他政黨之間發生的選票分流使它容易在第一輪多數決中名列前位。進入第二輪投票后，即使沒能勝出，政黨也能得到一次很好的宣傳，為今后的人氣造勢。“極右”一詞或許讓人望而生畏，但其實歐洲極右政黨的主要主張是排斥移民和否定同性婚姻。日本本來就不接受移民，也不承認同性婚姻。可以說，歐洲極右政黨的理想國家和日本有相似之處。

日本的政黨代表選舉也經常采用二輪決選。來看兩個事例。

2012年9月民主黨執政時，在野黨自民黨的總裁選舉共站出了5名候選人。由國會議員和地方選舉人進行多數決，占據前兩位的分別是獲得199票的石破茂和獲得141票的安倍晉三。沒有人得到過半數的選票。于是，國會議員針對排在前兩位的石破和安倍進行了第二輪投票。最終安倍獲得108票，石破獲得89票，安倍勝出。

而在2015年1月舉行的民主黨代表選舉中，第一輪投票的前三位依次是細野豪志、岡田克也和長妻昭。沒有人得到超過半數的選票。于是，排在前兩名的細野和岡田進入第二輪投票，最終岡田勝出。

另一方面，“第1位計3分，第2位計2分，第3位計1分”的博爾達計數法由法國海軍科學家讓-查理斯·博爾達(Jean-Charles, chevalier de Borda)于18世紀后期提出并首次進行了數理分析。

博爾達計數法的原理很簡單，在博爾達之前也曾有人提出類似的方法。15世紀在神圣羅馬帝國擔任布里克森紅衣主教的庫薩的尼古拉(Nicholas Cusanus)就曾建言在選出神圣羅馬皇帝時采用今天的博爾達計數法，以“尋覓神的意志”（最終未被采用）。庫薩的尼古拉沒有像博爾達那樣分析這種方法，但認為“該方法可規避無限產生的謬誤”。“無限產生的謬誤”的真意已無從得知，但庫薩的尼古拉身為著名的賢人，指的或許就是選票分流。

在博爾達計數法的規則下，選民可以在選票上同時填寫“第2位”和“第3位”，因此不會出現選票分流的問題。中歐斯洛文尼亞的少數民族代表選舉，是博爾達計數法在國家政務中的一個應用實例。

博爾達計數法和多數決看似差異很大，其實在分類上都屬于“計數法”(scoring rule)。計數法是按排名賦予分數的決策方法，而多數決相當于“第1位計1分，第2位以下均計0分”的極端傾斜的計數法。

“博爾達計數法”選出“受到廣泛支持的人”

二輪決選與博爾達計數法對選票分流都有一定的抑制作用。那么，二者的本質差異是什么？是選民對待第2位以下支持者的方式。

假設存在多名候選人，一名候選人在所有選民心中均排第二。雖然選民們支持的第1位各不相同，但所有選民均把該候選人作為第二支持的對象。在圖表2-1的事例中，該候選人即為B。該事例中共有9名選民和4名候選人，所有選民均把B作為第二支持的對象。

這個事例如果采用多數決，則最終排名從上到下依次為A、C、D、B（分別得到4、3、2、0票），勝出的是A。此結論是從圖表2-1觀察得出，與多數決無關。

如果采用二輪決選，A和C就會進入第二輪投票，最終C勝出。無論有沒有第二輪投票，B都排在最后。導致這一結果的原因顯而易見，因為選民只能在選票上填寫最支持的候選人。

與此相對，如果采用博爾達計數法，B將以最高得分27分勝出（A和C分別得24分，D得15分）。B雖然沒有得到任何選民的首位支持，但所有人對他的評價都較高，而博爾達計數法將其體現了出來。之所以能體現這一點，是因為博爾達計數法允許選民在選票上依次表明第2位以下的支持者。至于這一特征為什么是理想的，下面我們從民主主義和決策方法的關系出發思考這個問題。

博爾達計數法是更接近全票通過的決策方法

民主主義也包括各種理論，但其本質都是“統治者與被統治者的同一性”。簡單來說就是人民的事人民定。其難點在于是“人民”而不是“個人”。

如果是個人，自己動動腦筋就能做出決定。但如果是由無數個體組成的人民，事情就沒有那么簡單了。無論討論進行得多么細致入微，都未必能得出全票通過的決定。為此，集體需要借助決策方法引導出決定。

那么，二輪決選和博爾達計數法，哪種決策方法更為民主？全票通過原本是最理想的狀態。如果所有人都把選項A作為自己首位支持的對象，不管多數決是否附帶第二輪投票，或是采用博爾達計數法，正常思維能夠想到的幾乎任何決策方法都會選擇A。這是不折不扣的“人民的”決定。

然而，無法實現全票通過時，多數決根本做不出讓所有人都滿意的決定。此時用決策方法將眾多意見統一成一個意見是對全票通過的讓步。這樣看來，采用讓步程度小、做出的決定相對接近全票通過的方法更適于做出“人民的”決定。那么，哪種決策方法更貼近民主主義“不為多數人而為所有人”的思想呢？

在上述事例中，博爾達計數法選出了所有人第二支持的B。那么，相比選擇A、C、D等其他選項，選擇B是否是更接近全票通過的決定？

遠近是有關距離的概念。下面我們就來計算各選項到達全票通過狀態所需要的步數（圖表2-2）。

首先來看選項A。有4個人最初便將A排在第一位。于是，把3個人對A的排名分別提升2步，把2個人對A的排名分別提升3步，A便會成為全票通過的第一位。達到這一狀態共用去12步（=3×2+2×3）。圖表2-2中，a表現了用該方法將A提升至全票通過的第一位的過程。

再對B進行相同的操作。9名選民分別將B的排名提升1位，B便會成為全票通過的第一位。也就是說，B用9步便能成為全票通過的第一位。圖表2-2中，b表現了用該方法把B提升至全票通過的過程。

B達到全票通過需要9步，比A少3步。這說明A到全票通過的距離比B遠。

用相同方法對其他選項進行計算，會發現C和D分別需要12步和21步才能達到全票通過。

也就是說，到達全票通過的第一位所需步數最少，即距離最短的選項是博爾達計數法選出的B。

不止這個例子，凡是博爾達計數法選出的結果必然都具備該特征。換言之，如果選項不具備這一特征，就絕對不會在博爾達計數法的制度下勝出。要想在這種決策方法下獲勝，必須獲得廣泛的支持。從這個層面上講，博爾達計數法非常適合“所有人”的民主主義。

而二輪決選選出的C達到全票通過所需步數比B多出3步。可見它和所有人的民主主義的適合度沒有博爾達計數法高。

補充一點，除二輪決選之外，“進行多次多數決”的多輪淘汰決選也不適合民主主義。這種決策方法通過一次次多數決淘汰最末位選項，國際奧委會在選定比賽項目和主辦城市時經常使用。

例如，2020年夏季奧林匹克運動會由東京舉辦。在申辦城市的最終評選中，東京、伊斯坦布爾和馬德里進入多輪淘汰決選。先是馬德里被淘汰，接著是伊斯坦布爾被淘汰，東京勝出。這種決策方法進行多次多數決，看似很縝密謹慎，但和一次性多數決具有相同的缺陷——“第2位以下的選項”無法體現在選票上。因此，上文中的例子即使采用這種方法，在多數決中一票也得不到的“所有人的”B也會最先被淘汰。

這番論述的目的不在于證明博爾達計數法完美無缺。只要無法實現全票通過，就做不到讓所有人都滿意。與其說博爾達計數法不是最好的方法，不如正視本來就沒有最佳選項這一無奈的現實。在這一前提下，博爾達計數法選出的選項極具說服力，可以視為第二好的選擇。