02 額外維度究竟有多大

阿西娜“夢游”仙境

阿西娜突然醒了過來。前一天，為了得到有關維度的啟發，她看了《愛麗絲夢游仙境》和《平面國》，可是，當天晚上她做了一個非常奇怪的夢，醒來后她才意識到，那是因為她在同一天里看了這兩本書。

阿西娜夢到自己變成了愛麗絲，滑進一個洞里，遇見了兔子。兔子把她推進一個陌生的世界，盡管阿西娜覺得它這樣對待客人太粗魯了，但她仍熱切期盼著自己能在奇幻世界里游歷一番。

然而，阿西娜勢必是要失望的，因為那只兔子把她送進的是一維世界，一個奇怪卻并不奇妙的一維世界。她環顧四周，或者應該說是環顧左右，卻發現只能看到兩個點，一個在左，一個在右（但是顏色很漂亮哦，她想）。

在一維世界里，所有人連同所有物品都是一維的，他們一同排列在這個維度上，就像是一根細線串成的長長珠鏈。但即使視覺范圍有限，阿西娜仍知道，一維世界肯定不止她看到的這些，因為她能聽到耳邊人聲鼎沸?！斑@是我見過的最荒謬的棋局！我一個子兒都不能動，連城堡都去不了！”從那尖厲的喊叫聲中，阿西娜聽出躲在那個點后面的一定是紅桃皇后。好在自己也是一維的，紅桃皇后看不到她，不然又得承受紅桃皇后的怒火。

但是阿西娜在這一維世界的舒適日子并沒有維持多長時間，滑過一條溝后，她又回到了夢中的兔子洞。那里有一個電梯將她帶入了一個假想的其他維度宇宙中，兔子當即宣布：“下一站，二維世界。”阿西娜并不喜歡“二維世界”這個名字，但她還是小心翼翼地走了進去。

其實，阿西娜大可不必那么猶豫，二維世界的所有東西與一維世界幾乎沒什么兩樣，但她還是發現了一樣不同的東西——一個貼著標簽的瓶子，上面寫著“喝我”。因為實在厭倦了一維世界，阿西娜立即順從地喝下。她“倏地”就變小了，隨即，她看到了第二維度。這一維并不大，它是一個很小的、卷起來的圓圈?，F在，她就像站在一根細長管子的表面上。一只渡渡鳥正沿著這個圓圈和自己賽跑，但它想停下來了?？吹桨⑽髂群莛I的樣子，它善意地給了她一塊蛋糕。

剛吃了一點渡渡鳥給的夢幻蛋糕，阿西娜就開始長大。只吃了幾口（這一點她很確信，因為她仍感覺很餓），蛋糕就快沒了，只剩下一點碎屑。她想，還好，至少還有點碎屑，可要使勁瞇起眼睛才能看到。不止蛋糕從她的視線中消失了：當阿西娜回到她平常的大小時，整個第二維度都不見了。

她想：“二維世界實在是太離奇了，我最好還是回家吧?！彼臍w途同樣充滿了歷險，這個我們留到以后再講。

即便不知道3個空間維度為什么特別，我們仍可以問“它們哪里特別”。如果說宇宙最根本的內在時空包含更多維度，它怎么可能看起來只有3個維度？如果阿西娜在一個二維世界里，為什么有時她只看到1個維度？如果弦理論正確描述了自然，空間中確實存在9個維度（另加上時間維度），那么另外6個失蹤的維度化作了什么？為什么我們看不到它們？它們會對我們的可見世界產生明顯的影響嗎？

最后的3個問題是本書的核心。然而，當務之急是，我們要確定是否有一種方法可以讓額外維度隱藏起來，以至于讓阿西娜的二維世界看起來只有一維，或者有著額外維度的宇宙會呈現出我們看到的三維空間結構。如果我們愿意接受世界還有額外維度的觀點，那么無論它出自何種理論，對于為什么找不到它們存在的任何跡象，一定存在一個合理的解釋。

本章我要講到極端卷曲的維度，它們不像我們熟悉的三個維度那樣無限延伸；相反，它們會很快將自己繞起來，像一個緊緊纏繞的線圈一樣。沿著一個卷曲維度，任何兩個物體都不會相隔太遠，任何想遠距離旅行的嘗試最終都會成為一圈接一圈的環游，就像渡渡鳥跑圈兒一樣。這些卷曲維度可能非常微小，我們根本注意不到它們的存在。事實上，我們明白，如果微小的卷曲維度真的存在，要探測它們還真是個難題。

為什么世界看起來只有三維

弦理論，最有希望將量子力學與引力統一起來的理論，給出了思考額外維度的具體理由。我們所了解的唯一和諧形式的弦理論負載著這些令人詫異的附屬物。然而，雖然弦理論在物理學中的出現使額外維度備受矚目，但額外維度觀點的提出卻由來已久。

早在20世紀早期，愛因斯坦的相對論就讓人們想到可能存在額外維度。相對論描述了引力，卻沒有解釋為什么我們感受到的引力會是如此。愛因斯坦的理論對空間維度的數量沒有任何傾向，無論是三維、四維或十維都同樣有效。那么，我們的世界為什么看起來只有三維呢？

1919年，緊隨愛因斯坦廣義相對論（完成于1915年）之后，波蘭數學家西奧多·卡魯扎在愛因斯坦的理論里看到了這種可能，并大膽地提出了第四維度——一個全新的看不見的空間維度。他提出額外維度可能與我們熟悉的三個維度不同，但他并沒能明確指出具體的區別?？斣岢鲱~外維度的目的是要將引力和電磁力統一起來，盡管這個失敗的細節與我們不相干，但他大膽提出的額外維度卻至關重要。

卡魯扎的論文寫于1919年，當時，一家學術期刊邀請愛因斯坦審稿，請他決定是否發表這篇文章。對于這一觀點的價值，愛因斯坦猶豫不決，難下定論。直到兩年之后，他才同意將論文發表，并最終承認了它的原創性。但愛因斯坦仍想知道這一維度是什么：它在哪里？它為什么不同？它會延伸多遠？

這些問題是顯然要問的，可能困擾你的也正是這些問題。但沒有人回答愛因斯坦，直到1926年，瑞典數學家奧斯卡·克萊因才解答了這一問題。克萊因提出，額外維度會卷曲成一個圓圈，且極其微小，只有10-33厘米，即十億億億億分之一厘米。這個極其微小的卷曲維度無處不在：空間的每一個點上都會有它自己的小圈圈，只有10-33厘米。

這個微小的量代表普朗克長度，我們后面詳細講述引力時，這是一個非常重要的量。克萊因選擇普朗克長度，是因為它是唯一自然出現在量子引力理論里的長度，而引力與空間形狀又是密切相關的?，F在你只需知道普朗克長度非常之小，小到不可測量——比我們可能探測到的任何東西都要小得多。它是如此之小，原子比它大1024倍，質子比它大1019倍，如此小的東西是很容易被忽略的。

日常生活中有很多物體在我們熟悉的三維中都是有一維小到不可察覺，墻上的涂料，或是從遠處看的晾衣繩，都像是少于三維的東西：我們忽略了涂料的厚度及晾衣繩的粗細。在粗心的觀察者看來，涂料好像只有二維，晾衣繩好像只有一維，盡管我們知道實際上這兩者都有三維。要看清這類東西的三個維度只有靠近了仔細觀察，或是借助足夠精確的工具。如果我們扯著一根橡膠管穿過足球場，從直升機上往下看（見圖2-1），橡膠管好像只有一維，但如果近距離觀察，你就會發現橡膠管的二維表面及其包裹的三維容積。

為完成我們的比喻，我們再來假想一個比蟲子大一點兒的生物，居住在這樣一個花園橡膠管宇宙里。它的感知能力比較弱，因此不能探知小的物體和結構。它觀察這個世界的眼睛會忽視細小如橡膠管直徑那樣的細節，即便在對其有利的視角，這個大生物對另外一維仍是視而不見，它只能看到一維。如果某個生物的視力足夠敏銳，能夠探知如橡膠管粗細般微小的東西，那么它就能看到花園橡膠管宇宙有不止一個維度；如果它的視力不足以感知橡膠管的粗細，那么它所能看到的就只有一條線。

再者，物理作用也不會泄露額外維度的存在?；▓@橡膠管宇宙里的大生物會占滿整個微小的第二維，因此小的生物永遠也感覺不到還有這樣一個維度。如果沒有能力探查在額外維度上的結構和變化，如物質或能量的搖擺或波動，那么它們就永遠無法感知額外維度的存在。第二維度上的一切變化都會被沖掉，這就像發生在原子結構尺度上的紙的厚度變化，那是你無論如何都注意不到的。

阿西娜夢到的二維世界，與這個花園橡膠管宇宙非常相似。因為她既有機會變得與二維世界的寬度一樣大，也有機會變得比它小，她既能夠從大于第二維度又能夠從小于第二維度的視角觀察同一宇宙。對于大的阿西娜來說，二維世界與一維世界好像都是一樣的；只有變小了，阿西娜才能分辨其中的差別。同樣的道理，如果花園橡膠管宇宙的另一空間維度小到看不見，其中的生物就不會知道它的存在。

現在，我們再回到卡魯扎-克萊因宇宙，這里有我們所了解的三維，還有看不見的另一維，我們可以再次用圖2-2來想象這種情形。理想的話，我應該畫出這4個空間維度，但遺憾的是，這真的超出了我的能力（即使將書翹起都做不到）。但是，因為構成我們空間的這3個無限維度本質都是一樣的，我只需再畫出一維來代表就行，這讓我可以自由地使用其他維度來代表不可見的額外維度。這里顯示的另一維度是卷曲的，與另外三維截然不同。

正如我們的二維花園橡膠管宇宙一樣，四維的卡魯扎-克萊因宇宙也有一個微小卷曲的維度，使其看上去比實際要少一維。我們無法了解額外的空間維度，除非我們能夠找到其微觀結構的證據，否則卡魯扎-克萊因宇宙看上去就只有三維，如果這一維足夠小，那么卷曲的額外維度將永遠無從探知。后面，我們將探索它究竟有多小，但現在我們確信普朗克長度遠遠超出了我們的探測能力。

在生活和物理學中，我們只關注那些對實際產生作用的細節。如果你不能觀察其細微結構，就可以假裝看不到它。物理學中，這種忽略無關細節的做法，在前一章的有效理論里得到了最好的體現。在這一理論中，只有你能實際觀察到的事情才是重要的。上面的例子，我們用的是三維有效理論，這樣，額外維度的信息就被忽略掉了。

盡管卡魯扎-克萊因宇宙的卷曲維度就在我們身邊，但因為它實在太小了，以至于其中的任何變化都是不可感知的。正如紐約人之間自認為的差別對外人來說無關緊要一樣，如果其細節變化只體現在微觀尺度上，那么宇宙中額外維度的結構也是無關緊要的。就算從根本上講確實存在許多額外維度，遠比我們日常生活中認可的要多，但我們看到的東西仍然可以用我們觀察到的維度來描述。極其微小的額外維度不會改變我們對世界的看法，甚至不會影響大多數物理計算。即使存在額外維度，如果我們不能看到或感受到它們，就可以將其忽略，這并不影響我們正確描述所看到的景象?？墒虑椴⒉豢偸沁@樣，以后我們會對這一簡單景象進行修正，但這會與更多的假設相關。

圖2-3顯示的是一根橡膠管或其中一維卷成圓圈的宇宙，我們可以從中了解卷曲維度的另一個重要特點。我們集中來看無限維度上的任何一點可以發現，任一點上都有一個完整的卷曲的空間，即圓圈，橡膠管就是由這無數圓圈粘連在一起形成的，就如我們在第1章中講到的切片一樣。

圖2-4給出了不同的例子：有兩個（而不是一個）無限延伸的維度，再加上卷成圓圈的另外一個維度。這種情況下，二維空間里的任一點上都有一個圓圈。如果有三個無限維度，那么三維空間里每一點上都會有卷曲維度。你可以把額外維度空間的每一點看作你身體里的細胞，因為每個細胞都攜帶了完整的DNA序列，同樣，三維空間里的每一點上都寄居著一個完整的卷曲的圓圈。

到目前為止，我們只探討了一個額外維度，也就是卷成圓圈的維度。但即使卷曲維度表現為其他任何形狀，我們所說的一切仍可以成立。我們來選擇一個環形，如炸面圈的形狀，它的額外兩維同時卷曲成圓圈（見圖2-5），如果兩個圓圈——繞著一個洞的圓和形成面圈身體的那個圓都足夠小，那么卷曲的這兩個維度都將永遠不能被發現。

但這只是一個例子。如果維度更多，會有大量可能的卷曲空間——有著卷曲維度的空間，因維度的具體卷曲方式不同而各不相同。有一類卷曲空間對弦理論至關重要，這就是卡拉比-丘流形。它得名于意大利數學家尤金尼奧·卡拉比（Eugenio Calabi），他首次提出這種特殊形狀，而華裔哈佛數學家丘成桐證實了其在數學上的可能性。這些幾何形狀以一種非常特殊的方式將額外維度卷曲纏繞在一起，與所有的卷曲空間一樣，這些維度卷曲得很小，卻以一種更為復雜、更難繪制的形式纏繞。

無論卷曲維度采取何種形狀，也無論它們有多少，在其無限維度的每個點上，都有一個包含所有卷曲維度的極小的卷曲空間。因此，如果弦理論學家是正確的，那么空間里的每個地方——你的鼻尖上、金星的北極點上、網球場上空你上次擊球球桿劃過的每個點上，都會有一個小到不可見的六維卡拉比-丘空間，多維幾何在空間的每個點上都無處不在。

與克萊因一樣，弦理論學家也常常指出卷曲維度只有普朗克長度的大小，即10-33厘米。這種尺度的卷曲空間會隱藏得很好，我們幾乎肯定沒有方法能探測到如此微小的東西。那么，普朗克長度的額外維度也就很可能不會留下任何痕跡。因此，即便我們生活在一個有著普朗克長度額外維度的宇宙里，我們依然只能認知熟悉的三個維度。宇宙中可能有很多這種微小的維度，但我們也許永遠沒有足夠的能力去發現它們。

卡拉比-丘流形

它得名于意大利數學家尤金尼奧·卡拉比，他首次提出這種特殊形狀，而華裔哈佛數學家丘成桐證實了其在數學上的可能性。這些幾何形狀以一種非常特殊的方式將額外維度卷曲纏繞在一起，與所有的卷曲空間一樣，這些維度卷曲得很小，卻以一種更為復雜、更難畫出的形式纏繞。

有額外維度的牛頓引力定律

圖文并茂地解釋為什么當額外維度卷曲至很小時會隱藏起來固然很好，但是檢驗物理定律符合這一直覺仍然至關重要。

牛頓于17世紀提出的萬有引力定律告訴我們：引力的大小取決于兩個有質量物體之間的距離。這就是我們熟知的平方反比定律，也就是說，引力強度會隨著距離的增大而逐漸減弱，與距離的平方成反比。例如，如果你將兩個物體之間的距離增加兩倍，引力強度就會削弱到原來的1/4；如果相隔距離是原來的3倍，則引力會削弱到原來的1/9。萬有引力平方反比定律是最為古老、最為重要的物理定律之一，正因如此，行星才會有其自己特定的橢圓軌道。任何可行的物理理論都必須遵循平方反比定律，否則必敗無疑。

萬有引力定律對距離的依賴，體現在牛頓的平方反比定律中，它與空間維數有著密切的關聯。這是因為，維數決定了引力在空間里的發散速度。

現在，我們將這一推理應用到引力，并得出在三維空間中引力與距離的精確關系。牛頓萬有引力定律的成功需基于兩個事實：引力在各個方向上的作用都是相同的；空間有三個維度。現在我們設想一顆行星，它能吸引其影響范圍內的所有物質，因為引力在各個方向上的作用都相同，行星作用于另一物體（如一顆衛星）的引力強度就取決于兩者之間的距離，而非方向。

為形象地表示引力的強度，圖2-8中左圖顯示了從一個行星核心延伸出的引力射線，就像是從灑水裝置噴灑出的水。這些射線的密度決定了行星作用于鄰近任何物質的引力強度：穿過一個物體的引力線越多，引力越大；而引力線越少，則引力越小。

注意，穿過球面的引力線數量是相同的，而不論距離遠近（見圖2-8中間圖和右圖所示），但因為引力線分布于球面的每個點，距離越遠，引力必然就越弱。精確的分散因子取決于定量度量一定距離上的引力線分布有多廣。

穿過一個球面的引力線數量是一定的，無論它離其核心物質有多遠。球體的表面積與其半徑的平方成正比：表面積等于一個數乘以其半徑的平方。分散于球面的引力線數量一定，因此引力必然隨著半徑的平方減弱，這種引力場的分散就是萬有引力平方反比的來源。

牛頓定律與卷曲維度

現在我們知道了引力在三維空間里遵守平方反比定律，但要注意的是，這個論點似乎非常依賴一個既定事實：我們的空間有三個維度。假設只有兩個維度，引力就只會以一個圓圈向外發散，那樣，引力隨距離減弱的速度就會慢得多。假設有不止三個維度，比如一個超球體，那么隨著行星與其衛星之間距離的增大，其表面積增大的速度會更快，而引力也會因此迅速減弱。似乎只有三個維度才會產生這種與距離平方成反比的依賴關系，但如果真是這樣，那么研究額外維度的物理學家們為什么也認可牛頓的引力平方反比定律呢？

了解卷曲維度如何解決這一潛在矛盾，是很有趣的。其基本邏輯是：引力線不能任意深入卷曲維度，因為卷曲維度的大小是有限的。盡管引力線最初是向所有維度發散的，但當其發散范圍超出額外維度的大小時，它們就別無選擇，只能沿著那些無限維度的方向延伸。

這仍可以用橡膠管的例子來說明。假設橡膠管的一端有一個蓋子，水將通過蓋子上的一個小孔進入水管（見圖2-9）。正常情況是，流過小孔的水并非當即沿水管直流而下，而是先要充滿水管的整個橫截面。但是很顯然，如果你正拿著管子的另一端在花園里澆水，那么水是如何進入水管的就根本無所謂了。雖然水剛進入水管時會向不止一個方向噴射，但很快就會撞到水管內壁，然后再流出。這時，水流看上去就只有一個方向。從根本上講，在微小的卷曲維度上的引力線就是如此。

如前所述，我們仍可以想象一定數量的引力線由一個龐大的球體向外發散，在小于額外維度大小的距離內，引力線會均等地向所有方向發散，如果你能測量那個小尺度上的引力，那么就能測得高維里的引力。引力線的發散方式正如水穿過小孔進入橡膠管一樣，會首先充滿整個橡膠管的內部。

但是，在大于額外維度大小的距離上，引力線只能向著無限維度的方向延伸（見圖2-10）；在微小的卷曲維度里，引力線在觸碰到空間邊緣之后，便不能再繼續延伸，只能彎曲，而它們剩下的唯一出路就只有沿著僅有的一個方向延伸。因此，在大于額外維度大小的距離上，額外維度就仿佛根本不存在一般，而引力定律便會轉而向牛頓的平方反比定律靠攏——就是我們現在看到的樣子。這意味著，如果你只測量距離大于額外維度大小的兩個物體之間的引力，那么即使是從數量的觀點來看，你仍無法得知額外維度的存在；只有在卷曲空間的狹小區域內，引力與距離的依賴關系才能反映額外維度的存在。

額外維度必須小到不可見嗎

現在我們可以肯定的是，如果額外維度足夠小，它們就是不可見的，而且不會在我們能觀察的距離尺度上產生可探測的影響。長期以來，弦理論學家們一直假設，額外維度的大小就是普朗克長度，但現在有人對此提出了質疑。

沒有誰足夠了解弦理論，能確定地說出額外維度究竟有多大。類似普朗克長度的大小是有可能的，任何小至不可探測的維度都有其道理，但普朗克長度實在太小了，即使遠比它大的卷曲維度，我們也仍舊不可能察覺。由于至今我們還沒能親眼見到它們，因此，額外維度研究的一個重要問題就是：這些維度究竟有多大？

在本書中，我們將探討以下問題：額外維度究竟有多大，這些維度對基本粒子是否會產生可辨別的影響，以及實驗是怎樣進行的。我們會發現，額外維度的存在會大大改變我們研究粒子物理所遵循的規則，而且其中一些改變會產生可觀察的實驗結果。

我們還將探討一個更為激進的問題：額外維度是否必定是極小的？我們確實看不到微小的維度，但難道維度必須小到不可見嗎？會不會有一個維度是無限延伸的，而我們卻沒有發現？如果真是這樣，那么額外維度該與我們所見的維度截然不同。到目前為止，我才只舉出了一些最為簡單的可能性。以后我們會看到，即使與我們所熟知的三個無限維度截然不同，為什么我們仍不能排除無窮大額外維度這種近乎極端的可能性？

在第3章中我們將探討另外一個問題，也許你也曾想過：為什么微小的額外維度不是局限在兩堵“墻”之間的線段，而是卷曲的球呢？現在還沒有人想到這種可能——但為什么不呢？原因在于，如果假設空間有終點，那就要知道，在那個終點發生了什么？會像過去圖畫里扁平地球所暗示的那樣，事物到了宇宙末端會掉下去嗎？或者它們會被反射回來，又或者它們根本到不了那里？要明確在終點究竟發生了什么，我們首先要了解科學家所說的邊界條件。如果空間有終點，那么終點在哪里？它又是怎樣終結的？

膜——高維空間里的薄膜狀物質給我們有“終點”的世界提供了必要的邊界條件。正如我們將在第3章中看到的，膜能生成一個（或多個）不同的世界。