01 維度之謎

不同維度，而不是異度空間

“艾克，我對(duì)自己寫的這個(gè)故事不太有把握，我想加進(jìn)更多層次，讓它更加多維，你覺得這個(gè)主意怎么樣？”

“阿西娜，你大哥我對(duì)于編故事可不太在行！可是，你要讓它更加多維，這不會(huì)有什么害處。那么，你是要增加新的人設(shè)呢，還是要讓現(xiàn)有人設(shè)的個(gè)性更豐滿？”

“都不是，我不是這個(gè)意思。我要引進(jìn)新的維度，類似于新的空間維度。”

“你不是開玩笑吧，你要寫異度空間？就是人們會(huì)有異度靈魂體驗(yàn)，抑或人們死后或臨死時(shí)會(huì)去的那些地方？我沒想到你還會(huì)對(duì)那種東西感興趣。”

“別呀，艾克，你當(dāng)然知道我不感興趣。我說的是不同的空間維度，不是異度靈魂世界。”

“可是不同的空間維度又能有什么差別？難道換一張不同邊長(zhǎng)的紙，比如說，把11厘米×8厘米換成12厘米×9厘米，會(huì)帶來什么變化？”

“別鬧了，你還沒弄明白我說的意思。我是真的打算加上一些新的空間維度，就如我們看得見的維度一樣，只是沿著完全不同的方向。”

“還有我們看不見的維度？我還以為三維就是世界的全部了呢。”

“耐住性子，艾克。我們很快就會(huì)弄明白的。”

“維度”這個(gè)詞，就像許多描繪空間或是在空間中運(yùn)動(dòng)的詞匯一樣，可以有多種釋義——我想目前為止我已經(jīng)聽到了全部。因?yàn)槲覀兯吹降氖挛锒加兴诳臻g里的圖像，因此在描述許多概念時(shí)，包括時(shí)間和思維，我們也常常使用一些空間術(shù)語(yǔ)。這就是說，應(yīng)用于空間的許多詞匯都有多重含義。當(dāng)我們?cè)趯I(yè)領(lǐng)域使用這些詞匯時(shí)，那些不同的含義會(huì)使它們的定義變得非常混亂。

額外維度

當(dāng)我們將其應(yīng)用于空間之中時(shí)，那個(gè)空間本身就超出了我們的感官體驗(yàn)。看不見的東西往往難以描述，而我們的生理機(jī)能天生就看不見超出三維的空間。我們無(wú)法直接觀察額外維度，即使它們真的存在。

“額外維度”這個(gè)術(shù)語(yǔ)尤其令人迷惑，當(dāng)我們將其應(yīng)用于空間之中時(shí)，那個(gè)空間本身就超出了我們的感官體驗(yàn)。看不見的東西往往難以描述，而我們的生理機(jī)能天生就看不見三維之外的空間。光、引力以及所有用于觀察的工具，給我們展現(xiàn)的世界都像是一個(gè)只含有三維的空間。

我們無(wú)法直接觀察額外維度，即使它們真的存在。所以有些人會(huì)擔(dān)心，妄圖去領(lǐng)悟額外維度的嘗試著實(shí)讓人頭疼，BBC的一位新聞主持人在一次采訪中就是這么對(duì)我說的。但是，令人不安的不是想象額外維度，而是描繪它們。描繪高維世界的圖像必然會(huì)引出復(fù)雜的問題。

而想象額外維度，完全是另外一回事，我們完全可以想象它們的存在。當(dāng)我和同事們用到“維度”和“額外維度”這些詞時(shí)，我們的大腦就會(huì)浮現(xiàn)出它們清晰的概念。因此，請(qǐng)不要急于弄清楚這些新概念在宇宙中會(huì)以什么樣的圖像呈現(xiàn)出來，在此之前，我首先要解釋一下“維度”和“額外維度”這兩個(gè)詞，以及在后面用到它們時(shí)，我所表達(dá)的意思。

我們很快就會(huì)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)不止有三個(gè)維度時(shí)，“一言勝千圖”。當(dāng)然，一個(gè)方程也如此。

從一維到多維

其實(shí)我們每天都在與高維空間打交道，只不過大多數(shù)人都不會(huì)以此來考慮問題。想想看，當(dāng)你做一個(gè)重要決定（如購(gòu)置房產(chǎn)）時(shí)，會(huì)考慮多少因素？你可能要考慮房子的大小，附近有沒有學(xué)校，離你想去的地方有多遠(yuǎn)，建筑風(fēng)格是什么樣的，周圍是否有噪聲，等等。你得將所有愿望和要求都羅列出來，然后在多維里作出最佳決策。

維數(shù)

維數(shù)就是完全確定空間一點(diǎn)所需知道的量的數(shù)目。高維空間可以是抽象的，也可以是具體的。

維數(shù)就是完全確定空間一點(diǎn)所需知道的量的數(shù)目。高維空間可以是抽象的，比如剛才用來描述你想買的房子特征的那個(gè)空間；也可以是具體的，比如我們即將探究的物理空間。不過，買房子時(shí)，你也可以把維數(shù)看作你在數(shù)據(jù)庫(kù)里記錄的條目數(shù)量，也就是值得你考慮的備選項(xiàng)的數(shù)目。

在后面的章節(jié)中，我們將用維度來探索空間而非人。這里的“空間”指的是，物質(zhì)存在以及物理過程發(fā)生的區(qū)域。一個(gè)有著特定維數(shù)的空間，指的是需要特定數(shù)目的量來確定一個(gè)點(diǎn)的空間。在一維空間中，一個(gè)點(diǎn)的定位圖只有一條x軸；在二維空間中，這個(gè)點(diǎn)的定位圖有x軸和y軸；而在三維空間中，這個(gè)點(diǎn)的定位圖就有x、y、z三個(gè)軸（見圖1-3）。

在三維空間中，你只需要3個(gè)數(shù)字就可以知道自己的確切位置。你確定的數(shù)字可以是經(jīng)度、緯度和海拔，也可以是長(zhǎng)度、寬度和高度，或者你還有別的方法來選擇你的3個(gè)數(shù)字。這都無(wú)關(guān)緊要，問題的關(guān)鍵在于，三維意味著你需要不多不少的3個(gè)數(shù)字；二維是，你需要2個(gè)數(shù)字；而多維是，你需要更多數(shù)字。

更多維度意味著，你可以在更多完全不同的方向上自由移動(dòng)。一個(gè)在四維空間里的點(diǎn)，只需再加上一條軸——但還是難以描繪。不過想象它的存在并不困難，我們可以用語(yǔ)言和數(shù)學(xué)名詞來嘗試。

弦理論提出還有更多維度：它推想有6個(gè)或7個(gè)額外維度，也就是說，我們需要有6個(gè)或7個(gè)額外坐標(biāo)軸來定位一個(gè)點(diǎn)。弦理論的最新成果顯示，可能還遠(yuǎn)不止這些維度。在本書中，我會(huì)敞開思想，無(wú)論有多少額外維度，我都欣然接受。現(xiàn)在，要說出宇宙究竟包含多少維度，未免為時(shí)過早。我要描述的有關(guān)額外維度的許多概念都適用于任意數(shù)量的額外維度，只在很少幾個(gè)場(chǎng)合有例外情況，屆時(shí)，我會(huì)盡量解釋清楚。

可是，要描繪一個(gè)物理空間，不僅僅要確定一些點(diǎn)，還需要明確一個(gè)度規(guī)（metric）。它確立測(cè)量的標(biāo)度，即兩點(diǎn)間的物理距離，也就是軸線上的刻度。這就是說，僅僅知道幾個(gè)點(diǎn)之間的距離是17遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，我們還要知道17代表的是17厘米、17公里，還是17光年。我們用度規(guī)來決定怎樣測(cè)量距離，圖上兩點(diǎn)之間的距離對(duì)應(yīng)的是其所代表的世界里的量。度規(guī)給出了一個(gè)測(cè)度標(biāo)準(zhǔn)，說明你選擇以哪種測(cè)量單位來確定標(biāo)度，就如在一張地圖上，0.5厘米可能代表1公里，或者如在米制單位中，它給出了大家認(rèn)同的1米的標(biāo)桿。

度規(guī)

它確立測(cè)量的標(biāo)度，即兩點(diǎn)間的物理距離，它們是軸線上的刻度。但度規(guī)還不僅僅確定這些，它還會(huì)告訴我們空間是否彎曲或是卷曲。度規(guī)包含了有關(guān)空間形狀的所有信息，彎曲空間的度規(guī)既指明長(zhǎng)度，也指明角度。

但度規(guī)還不僅僅是確定這些，它還會(huì)告訴我們空間是否彎曲或是卷曲，就如同一個(gè)被吹起的氣球表面。度規(guī)包含了有關(guān)空間形狀的所有信息，卷曲空間的度規(guī)既指明長(zhǎng)度，也指明角度。正如1厘米可以代表不同的長(zhǎng)度，角度也可以對(duì)應(yīng)不同的形狀。之后，當(dāng)我們探索彎曲空間與引力的關(guān)系時(shí)，我還會(huì)講到這些。現(xiàn)在我們只說一點(diǎn)，即球體的表面與一張紙的平直表面是不同的，球面上的三角與紙面上的三角也不同，這種二維空間的差異可以從它們的度規(guī)看出來。

隨著物理學(xué)的進(jìn)步，度規(guī)里存儲(chǔ)的信息量也在不斷演變。愛因斯坦創(chuàng)立相對(duì)論時(shí)，認(rèn)識(shí)到第四維度——時(shí)間，是與空間的其他三維密不可分的。時(shí)間也需要一個(gè)標(biāo)度，于是愛因斯坦用四維時(shí)空（在三個(gè)空間維之上加入時(shí)間維）的度規(guī)構(gòu)造了引力。

更新的研究成果顯示，其他空間維度也有可能存在。那樣的話，真正的時(shí)空度規(guī)將包含三個(gè)以上的空間維度。人們?cè)鯓用枥L一個(gè)多維空間？那就是說出它有多少維度，以及那些維度的度規(guī)是什么。但是，在我們進(jìn)一步探索度規(guī)和多維空間的度規(guī)之前，我們要再多想想“多維空間”這個(gè)術(shù)語(yǔ)的含義。

《巧克力工廠》旺卡梯的秘密

在挪威大名鼎鼎的作家羅爾德·達(dá)爾（Roald Dahl）的著作《查理和巧克力工廠》（Charlie and the Chocolate Factory）中，威利·旺卡（Willy Wonka）給客人介紹了他的“旺卡梯”，用他的話來說“電梯只能向上和向下，而旺卡梯卻能夠向前、向后、向左、向右、向旁邊，無(wú)論是橫向、豎向、斜向、側(cè)向，只要是你能想到的方向，它都可以到達(dá)”。確實(shí)，他的裝置可以向任何方向移動(dòng)，只要不超出我們所認(rèn)知的三維空間。這可真是個(gè)富有創(chuàng)意的好主意！

然而，“旺卡梯”并不真正能夠向任何“你能想到的”方向移動(dòng)。威利·旺卡也真夠粗心的，他忘記了額外維度通道。額外維度是一個(gè)完全不同的方向，它們難以描述，可是通過一個(gè)比方，就很好理解了。

1884年，為了闡釋額外維度這一觀念，英國(guó)數(shù)學(xué)家埃德溫·阿博特（EdwinA.Abbott）寫了一本小說：《平面國(guó)》（Flatland：A Romance of Many Dimensions）。故事發(fā)生在一個(gè)虛構(gòu)的二維宇宙——也就是書名里的平面國(guó)中，那里的居民都是二維生物（有著不同的幾何形狀）。阿博特要告訴我們的是，我們這個(gè)世界的人對(duì)四維概念充滿了迷惑，正如平面國(guó)的居民感覺三維概念無(wú)比神秘，因?yàn)樗麄円簧忌嬖谝粋€(gè)二維空間中，比如桌面上。

對(duì)我們來說，只要展開想象就能理解三維之外的世界，而對(duì)于平面國(guó)的居民來說，三維簡(jiǎn)直無(wú)法想象。那里的所有人都認(rèn)為，宇宙顯然只有他們所感知的兩個(gè)維度，就像我們堅(jiān)持三維觀念一樣，平面國(guó)的居民對(duì)二維自然也是深信不疑。

小說里的敘事者，正方形A（作者埃德溫A的別名），被領(lǐng)進(jìn)了三維世界中。在接受教育的第一階段，他仍被限制在平面國(guó)，這時(shí)，讓他觀察一個(gè)三維球體垂直地穿過他所在的二維世界。因?yàn)槭芟抻谄矫鎳?guó)，當(dāng)球體穿過正方形A所在的平面時(shí)，他看到的是大小不等的一摞盤子，先是慢慢變大，然后漸漸變小——其實(shí)，這就是球體的一個(gè)個(gè)切片（見圖1-4）。

一開始，這令《平面國(guó)》中的二維敘事者頗感費(fèi)解，他從未想到會(huì)有超出二維的東西，也就不能想象會(huì)有像球體一樣的三維物體。直到正方形A被抬離平面國(guó)，進(jìn)入一個(gè)三維世界，他才能真正想象一個(gè)球體。從這樣一個(gè)新視角，他認(rèn)識(shí)到球體就是他所看到的二維切片粘連在一起的結(jié)果。即使在二維世界里，正方形A也可以把他看到的盤子描繪成一個(gè)時(shí)間的函數(shù)，從而形成球體（見圖1-4）。只有當(dāng)他經(jīng)歷了第三維度的旅行之后，他才打開眼界，明白了球體和它的第三維。

通過這個(gè)類比，我們可以想象，當(dāng)一個(gè)超球體（有4個(gè)空間維度的球體）穿過我們的宇宙時(shí)，它看起來就應(yīng)該是一個(gè)三維球體隨著時(shí)間的推移，先是慢慢增大，然后漸漸縮小。令人感到遺憾的是，我們無(wú)緣進(jìn)入額外維度旅行，也就永遠(yuǎn)看不到一個(gè)完整、靜態(tài)的超球體，但我們還是可以推想物體在不同維度里的樣子，即使我們看不見那些維度。我們可以滿懷信心地推斷，一個(gè)穿越三維空間的超球體看起來就應(yīng)是一系列三維球體。

再舉一例，我們?cè)O(shè)想一下怎樣構(gòu)造超立方體——即立方體在三維空間里的延伸。一條一維直線連接兩個(gè)點(diǎn)構(gòu)成一條線段；在此線段上方再加一條一維線段，用另外兩條線段將它們連接，就構(gòu)成了一個(gè)二維正方形；以此方式繼續(xù)，將另一個(gè)正方形置于這個(gè)上方，再在原正方形的每個(gè)邊上以另外4個(gè)正方形連接，我們就能得到一個(gè)三維立方體（見圖1-5）。

依此類推，在四維空間中，我們可以得到一個(gè)超立方體；在五維空間也能得出某個(gè)東西，暫時(shí)還沒有名稱。即便我們?nèi)S中的凡人從未見識(shí)過這兩種物體，我們也可以根據(jù)在低維空間中的方法作出推論：要形成一個(gè)超立方體（也叫超正方體），就是把一個(gè)立方體置于另一立方體之上，然后加進(jìn)另外6個(gè)立方體，并在原來兩個(gè)立方體的每個(gè)面上進(jìn)行連接。雖然這種構(gòu)建很抽象，也很難描繪，但這并不影響超立方體的真實(shí)性。

在讀高中的時(shí)候，我參加過一個(gè)數(shù)學(xué)夏令營(yíng)。在那里，我看了電影《平面國(guó)》。電影結(jié)束的時(shí)候，敘事者徒勞地指向平面國(guó)居民根本看不到的第三維度，用一種愉快的英式口音說：“向上，不是向北。”遺憾的是，當(dāng)我們?cè)噲D指向第四維度，即一個(gè)通道時(shí)，我們面對(duì)的是同樣的困境。在阿博特的小說中，即使第三維度存在，平面國(guó)的居民仍然無(wú)法看到，也無(wú)法在其中穿行；同樣地，我們看不到額外維度，但并不代表它們不存在。因此，盡管我們還沒有看到，也沒有在這樣的維度中穿行，貫穿本書的潛臺(tái)詞仍然是：“不是向北，而是沿著通道向前。”誰(shuí)知道我們尚未看見的東西會(huì)是什么呢？

二生三

本章的后半部分，我們不再考慮三維之外的空間，而是討論如何憑借有限的視覺能力，用二維圖像來思考和繪制出三維圖像。明白怎樣將二維圖像轉(zhuǎn)化成三維現(xiàn)實(shí)，將有助于我們解釋高維世界里的低維“圖像”。在我們的思想隨著額外維度一同卷曲之前，權(quán)且在這兒做一下熱身運(yùn)動(dòng)。別忘了，我們?cè)谌粘Ｉ钪幸恢痹谂c維度打交道，所以其實(shí)這并不陌生。

通常，我們所看到的都是物體的表面，而表面只是其外緣。即使這個(gè)表面在三維空間里卷曲了，它也只有兩個(gè)維度，因?yàn)樵谶@個(gè)表面上，你只需兩個(gè)數(shù)字就能定位一個(gè)點(diǎn)。因?yàn)樗鼪]有厚度，我們推定這個(gè)表面不屬于三維。

當(dāng)我們看照片、電影、電腦屏幕或書中的插圖時(shí)，我們看到的總是二維而非三維的表象，但我們?nèi)阅芡茢喑鰣D像所體現(xiàn)的三維實(shí)體。

我們能用二維信息構(gòu)筑三維，這要求我們?cè)谥谱鞫S圖像時(shí)，要忽略一些信息，同時(shí)還要保留足夠的信息來重現(xiàn)原來物體的基本元素。現(xiàn)在，我們來回想一下，通常將一個(gè)三維物體降為二維，都使用什么方法——切片、投影或者全息圖，有時(shí)干脆忽略一個(gè)維度。我們又怎樣將其復(fù)原，推斷出它們所表現(xiàn)的三維物體？

再回到前面有關(guān)艾克和阿西娜的定位圖，我們可以忽略艾克喜歡超速駕駛這一信息，把它變成一個(gè)二維圖。我們也可以不管阿西娜所養(yǎng)的貓頭鷹數(shù)量，這樣，就可以繪制出一幅四維而非五維的圖，而忽略阿西娜的貓頭鷹就是一個(gè)投影方式。

投影忽略了原來三維物體的信息（見圖1-7），不過，我們用投影制作二維圖時(shí)，有時(shí)會(huì)加入一些信息，以幫助我們重獲部分丟失的東西。這些附加信息可以是油畫或全息圖中的陰影、顏色，也可以是地形圖中表示高度的數(shù)字，但有時(shí)什么標(biāo)識(shí)都沒有，這樣一來，二維特寫就不可能提供那么多的信息了。

如果不是我們雙眼協(xié)同合作，幫助我們重構(gòu)三維圖像，那么我們看到的所有東西都將是投影。如果閉上一只眼睛，你就很難感知遠(yuǎn)近——一只眼睛只能構(gòu)建一個(gè)三維現(xiàn)實(shí)的二維投影，所以我們需要兩只眼睛來重建三維圖像。

我一只眼睛近視，另一只眼睛遠(yuǎn)視，如果不戴眼鏡，我就不能將兩只眼睛看到的影像完美結(jié)合，而偏偏我又很少戴眼鏡。盡管有人告訴過我，說我重建三維圖像時(shí)會(huì)有困難，我卻并沒覺得有什么問題：在我看來，物體還是三維的，這是因?yàn)槲铱梢詰{借陰影和視角（以及我對(duì)這個(gè)世界的熟悉程度）來重建三維圖像。

可是有一天在荒漠里，我和一個(gè)朋友正向遠(yuǎn)處的峭壁前進(jìn)，朋友不停地告訴我說，我們可以直達(dá)峭壁。我就納悶他怎么堅(jiān)持要我們徑直穿過一塊大石頭呢？我原以為那塊大石頭是峭壁直接突出形成的，會(huì)完全擋住我們的路。而實(shí)際上，它離我們很近，就在峭壁前面，根本沒有與峭壁連在一起，因此也就不會(huì)擋路。之所以我會(huì)有這種誤解，是因?yàn)槲覀兪窃谡缈拷捅诘模?dāng)時(shí)它沒有影子，我也就沒有辦法以此構(gòu)建第三維度，而只有這個(gè)維度，才會(huì)讓我知道遠(yuǎn)處的峭壁與大石頭相隔的距離。直到那次失敗，我才意識(shí)到陰影和視角的補(bǔ)償作用。

繪畫就是要求藝術(shù)家把他們所看到的物體簡(jiǎn)化成投影。中世紀(jì)藝術(shù)使用了投影的最簡(jiǎn)單方式，圖1-9顯示的是一幅鑲嵌玻璃畫，畫上是一個(gè)城市的二維投影，這幅畫上沒有顯示第三維度的任何信息，也沒有任何標(biāo)識(shí)或跡象來表明第三維度的存在。

自中世紀(jì)起，畫家們發(fā)展了投影的方法，來部分補(bǔ)償繪畫中的維度缺失。與這一方法對(duì)立的是20世紀(jì)立體派所使用的方法，立體主義油畫（見圖1-10，畢加索的《朵拉·瑪爾的肖像》[Portrait of Dora Maar]）能同時(shí)呈現(xiàn)多個(gè)投影，每個(gè)投影展現(xiàn)的是一個(gè)不同角度，以此來表現(xiàn)物體的三個(gè)維度。

但是，自文藝復(fù)興以來，多數(shù)西方畫家都用透視和陰影來形成第三維度的幻覺。繪畫的一個(gè)基本技巧就是要將三維世界簡(jiǎn)化成二維圖像，而且要讓觀賞者逆轉(zhuǎn)這個(gè)步驟，重建本來的三維圖像或物體。即使并非所有三維信息都存在，因?yàn)槲覀冞m應(yīng)了這種技法，仍然知道該怎樣去解讀圖像。

藝術(shù)家甚至嘗試過在二維平面上表現(xiàn)更多維度的物體，例如，薩爾瓦多·達(dá)利（Salvador Dali）的《耶穌受難圖》（Corpus Hypercubus，見圖1-11）將十字架表現(xiàn)為一個(gè)打開的超立方體。超立方體在四維空間里由8個(gè)相連的立方體構(gòu)成，在圖1-12中，展示了超立方體的幾個(gè)投影。

我曾在引言中舉過一個(gè)物理學(xué)的例子：不粘鍋里的準(zhǔn)晶體，它看起來就像是一個(gè)高維晶體在我們?nèi)S世界里的投影。除了服務(wù)于藝術(shù)之外，投影當(dāng)然也有其現(xiàn)實(shí)意義，醫(yī)學(xué)中就有許多三維物體投影到二維空間的例子：X光片記錄的就是一個(gè)二維投影；CAT（電腦輔助X線斷層照相術(shù)）掃描將多個(gè)X光片結(jié)合起來，重建了一個(gè)更為詳盡的三維圖像。有了從不同角度拍攝的足夠多的X光片，我們就可以把它們串連成一個(gè)完整的三維圖象；另外還有MRI（核磁共振成像）掃描，它是通過切片來重構(gòu)三維物體的。

全息照片是另外一種在二維表面記錄三維信息的方式。盡管全息圖像被記錄在低維表面，但它實(shí)際上涵蓋了原來三維空間的所有信息。也許你在錢包里就能看到這種技術(shù)：你信用卡上看起來像是三維的那個(gè)圖像，就是一張全息照片。

全息圖像記錄了在不同地點(diǎn)的光的關(guān)系，這樣，就能夠重現(xiàn)一個(gè)完整的三維圖象。這就好比立體聲所使用的原理，它能讓我們聽出錄音時(shí)不同樂器所處的位置。利用全息圖像所存儲(chǔ)的信息，眼睛就可以真實(shí)重現(xiàn)它所代表的三維物體。

這些方法顯示的是，我們?cè)鯓訌囊粋€(gè)低維圖像中獲取更多信息，但你真正需要的也許是更少的信息。比如，有些東西在第三維度上非常非常薄，在這個(gè)層面上，根本沒有什么有趣的事會(huì)發(fā)生，盡管這張紙上的墨跡實(shí)際是三維的，但我們把它當(dāng)作二維的也不會(huì)有什么損失。除非把它放在顯微鏡下，我們根本不會(huì)去想墨跡的厚度。一根電線看起來是一維的，但如果仔細(xì)觀察，你還是能看到它有一個(gè)二維橫截面，因此也該是三維的。

有效理論，忽略細(xì)枝末節(jié)

忽略另外一個(gè)看不見的維度沒有什么不對(duì)，不僅僅是視覺效果，即使是物理作用，如果微小到難以察覺，也常常可以忽略。科學(xué)家們?cè)陉U述自己的理論或進(jìn)行計(jì)算時(shí)，常常忽略（通常是無(wú)意識(shí)地）一些微小到不可察覺的物理過程。牛頓的運(yùn)動(dòng)定律在他能觀測(cè)的距離和速度上是有效的，他不需要廣義相對(duì)論的細(xì)節(jié)仍然作出了成功的預(yù)言；生物學(xué)家研究細(xì)胞時(shí)，也不需要了解中子里的夸克。

挑選相關(guān)信息，略去細(xì)枝末節(jié)，這是一種實(shí)用主義的做事方法，我們每個(gè)人每天都會(huì)這樣做。這是一種應(yīng)對(duì)冗余信息的辦法，對(duì)于你所看到、聽到、嘗到、聞到或觸摸到的任何東西，你都可以選擇，是細(xì)細(xì)品味不放過任何一個(gè)細(xì)節(jié)，還是只需了解其“大概”，抓住主要特征？無(wú)論是欣賞油畫、品味美酒、閱讀哲學(xué)，或是安排旅游，你都會(huì)不由自主地將自己的想法按照興趣歸類——可能是大小、口味，也可能是觀念，而當(dāng)時(shí)你并未發(fā)現(xiàn)這些歸類有什么相關(guān)。適當(dāng)?shù)臅r(shí)候，你會(huì)忽略一些細(xì)節(jié)，以便將精力集中在你感興趣的問題上，而不至于被一些無(wú)關(guān)緊要的線索所迷惑。

這種摒棄細(xì)枝末節(jié)的過程應(yīng)該并不陌生，因?yàn)樗鼘?shí)際上是我們?nèi)祟愐恢痹谧龅摹Ｒ约~約為例，身居這個(gè)繁華都市的紐約人都能夠看到曼哈頓的細(xì)節(jié)和變化。對(duì)他們來說，鬧市區(qū)更為繁華、古老，街道更為崎嶇、狹窄；而城郊為了方便人們居住、建造了更多的房產(chǎn)，還有許多中心公園和博物館。盡管對(duì)外人來說，這些差別實(shí)際上是很模糊的，但在這個(gè)城市之內(nèi)，它們卻真實(shí)存在。

但想想遠(yuǎn)離紐約的人是怎么看的：對(duì)他們來說，紐約就是地圖上的一個(gè)點(diǎn)，也許是一個(gè)重要的點(diǎn)、一個(gè)有著鮮明特征的點(diǎn)，但僅此而已。即便各不相同，可在別處看來，比如說中西部或是哈薩克斯坦，紐約人并無(wú)差別。當(dāng)我提起這個(gè)比方時(shí)，住在鬧市區(qū)（具體來說，是西村）的表弟大為不滿，不愿將居住在鬧市區(qū)和城郊的紐約人歸為一類，這更證實(shí)了我的觀點(diǎn)。但任何一個(gè)非紐約人都會(huì)告訴他，對(duì)并不生活在他們中間的外人來講，其間的差別實(shí)在太小，真的無(wú)關(guān)緊要。

在物理學(xué)中，正式使用這種直覺并以相關(guān)的距離或能量來劃分范疇已成為常規(guī)做法。物理學(xué)家接受這種做法，并為它取了名字——有效理論（effective theory）。

有效理論集中研究那些在相關(guān)距離內(nèi)產(chǎn)生“效果”的粒子和力，我們不會(huì)用不可測(cè)量的、描述超高能行為的參數(shù)來描述粒子及其相互作用，只用那些與我們能探測(cè)的尺度相關(guān)的事物來構(gòu)建我們的發(fā)現(xiàn)。在任何一個(gè)尺度上，有效理論都不會(huì)深入探究作為其基礎(chǔ)的小尺度理論的細(xì)節(jié)，它只關(guān)注有望被測(cè)量或者觀察到的事物。如果某個(gè)事物超出了你所在尺度的精度，那么你無(wú)須考慮其詳細(xì)結(jié)構(gòu)。這種做法并非科學(xué)詐騙，而是忽略冗余信息的一種方式，這是獲得正確答案的一種“有效”方式。

有效理論

在物理學(xué)中，正式使用這種直覺并以相關(guān)的距離或能量來劃分范疇已成為常規(guī)做法。物理學(xué)家接受這種做法，并為它取了名字——有效理論。如果某個(gè)事物超出了你所在尺度的精度，那么你無(wú)須考慮其詳細(xì)結(jié)構(gòu)。這種做法并非科學(xué)詐騙，而是忽略冗余信息的一種方式，這是獲得正確答案的一種“有效”方式。

當(dāng)高維細(xì)節(jié)超出我們的能力時(shí)，所有人，包括物理學(xué)家在內(nèi)，都樂于回到三維世界。正如物理學(xué)家常常把一根電線當(dāng)作一維事物對(duì)待一樣，如果額外維度極其微小，那么高維細(xì)節(jié)則無(wú)關(guān)緊要，我們也常常以低維方式來描繪高維宇宙。額外維度小到無(wú)法看見，這樣所有可能的高維理論，我們都可以通過這種低維描述來總結(jié)其可觀察的效果。這個(gè)低維描述不受那些額外維度數(shù)量、大小和形狀的影響，足以實(shí)現(xiàn)很多目的。

低維的數(shù)目不提供根本描述，但它們卻是歸納發(fā)現(xiàn)和預(yù)言的簡(jiǎn)便方法。如果你確實(shí)了解一個(gè)理論的小距離細(xì)節(jié)（即微觀結(jié)構(gòu)），就可以利用它們導(dǎo)出發(fā)生在低能描述里的量，否則那些量就只能是等待實(shí)驗(yàn)來確定的未知數(shù)。

在接下來的章節(jié)中，我們將詳細(xì)講述這些觀點(diǎn)，并探究微小、卷曲的額外維度的作用。我們將首先探討的那些維度非常微小，小到根本不會(huì)產(chǎn)生任何影響；然后，當(dāng)再次回到額外維度時(shí)，我們會(huì)探索龐大且無(wú)限延伸的維度，它們徹底改變了我們現(xiàn)在描繪的這一圖像。