01 維度之謎

不同維度，而不是異度空間

“艾克，我對自己寫的這個故事不太有把握，我想加進更多層次，讓它更加多維，你覺得這個主意怎么樣？”

“阿西娜，你大哥我對于編故事可不太在行！可是，你要讓它更加多維，這不會有什么害處。那么，你是要增加新的人設呢，還是要讓現有人設的個性更豐滿？”

“都不是，我不是這個意思。我要引進新的維度，類似于新的空間維度。”

“你不是開玩笑吧，你要寫異度空間？就是人們會有異度靈魂體驗，抑或人們死后或臨死時會去的那些地方？我沒想到你還會對那種東西感興趣。”

“別呀，艾克，你當然知道我不感興趣。我說的是不同的空間維度，不是異度靈魂世界。”

“可是不同的空間維度又能有什么差別？難道換一張不同邊長的紙，比如說，把11厘米×8厘米換成12厘米×9厘米，會帶來什么變化？”

“別鬧了，你還沒弄明白我說的意思。我是真的打算加上一些新的空間維度，就如我們看得見的維度一樣，只是沿著完全不同的方向。”

“還有我們看不見的維度？我還以為三維就是世界的全部了呢。”

“耐住性子，艾克。我們很快就會弄明白的。”

“維度”這個詞，就像許多描繪空間或是在空間中運動的詞匯一樣，可以有多種釋義——我想目前為止我已經聽到了全部。因為我們所看到的事物都有它在空間里的圖像，因此在描述許多概念時，包括時間和思維，我們也常常使用一些空間術語。這就是說，應用于空間的許多詞匯都有多重含義。當我們在專業領域使用這些詞匯時，那些不同的含義會使它們的定義變得非常混亂。

額外維度

當我們將其應用于空間之中時，那個空間本身就超出了我們的感官體驗。看不見的東西往往難以描述，而我們的生理機能天生就看不見超出三維的空間。我們無法直接觀察額外維度，即使它們真的存在。

“額外維度”這個術語尤其令人迷惑，當我們將其應用于空間之中時，那個空間本身就超出了我們的感官體驗。看不見的東西往往難以描述，而我們的生理機能天生就看不見三維之外的空間。光、引力以及所有用于觀察的工具，給我們展現的世界都像是一個只含有三維的空間。

我們無法直接觀察額外維度，即使它們真的存在。所以有些人會擔心，妄圖去領悟額外維度的嘗試著實讓人頭疼，BBC的一位新聞主持人在一次采訪中就是這么對我說的。但是，令人不安的不是想象額外維度，而是描繪它們。描繪高維世界的圖像必然會引出復雜的問題。

而想象額外維度，完全是另外一回事，我們完全可以想象它們的存在。當我和同事們用到“維度”和“額外維度”這些詞時，我們的大腦就會浮現出它們清晰的概念。因此，請不要急于弄清楚這些新概念在宇宙中會以什么樣的圖像呈現出來，在此之前，我首先要解釋一下“維度”和“額外維度”這兩個詞，以及在后面用到它們時，我所表達的意思。

我們很快就會發現，當不止有三個維度時，“一言勝千圖”。當然，一個方程也如此。

從一維到多維

其實我們每天都在與高維空間打交道，只不過大多數人都不會以此來考慮問題。想想看，當你做一個重要決定（如購置房產）時，會考慮多少因素？你可能要考慮房子的大小，附近有沒有學校，離你想去的地方有多遠，建筑風格是什么樣的，周圍是否有噪聲，等等。你得將所有愿望和要求都羅列出來，然后在多維里作出最佳決策。

維數

維數就是完全確定空間一點所需知道的量的數目。高維空間可以是抽象的，也可以是具體的。

維數就是完全確定空間一點所需知道的量的數目。高維空間可以是抽象的，比如剛才用來描述你想買的房子特征的那個空間；也可以是具體的，比如我們即將探究的物理空間。不過，買房子時，你也可以把維數看作你在數據庫里記錄的條目數量，也就是值得你考慮的備選項的數目。

在后面的章節中，我們將用維度來探索空間而非人。這里的“空間”指的是，物質存在以及物理過程發生的區域。一個有著特定維數的空間，指的是需要特定數目的量來確定一個點的空間。在一維空間中，一個點的定位圖只有一條x軸；在二維空間中，這個點的定位圖有x軸和y軸；而在三維空間中，這個點的定位圖就有x、y、z三個軸（見圖1-3）。

在三維空間中，你只需要3個數字就可以知道自己的確切位置。你確定的數字可以是經度、緯度和海拔，也可以是長度、寬度和高度，或者你還有別的方法來選擇你的3個數字。這都無關緊要，問題的關鍵在于，三維意味著你需要不多不少的3個數字；二維是，你需要2個數字；而多維是，你需要更多數字。

更多維度意味著，你可以在更多完全不同的方向上自由移動。一個在四維空間里的點，只需再加上一條軸——但還是難以描繪。不過想象它的存在并不困難，我們可以用語言和數學名詞來嘗試。

弦理論提出還有更多維度：它推想有6個或7個額外維度，也就是說，我們需要有6個或7個額外坐標軸來定位一個點。弦理論的最新成果顯示，可能還遠不止這些維度。在本書中，我會敞開思想，無論有多少額外維度，我都欣然接受。現在，要說出宇宙究竟包含多少維度，未免為時過早。我要描述的有關額外維度的許多概念都適用于任意數量的額外維度，只在很少幾個場合有例外情況，屆時，我會盡量解釋清楚。

可是，要描繪一個物理空間，不僅僅要確定一些點，還需要明確一個度規（metric）。它確立測量的標度，即兩點間的物理距離，也就是軸線上的刻度。這就是說，僅僅知道幾個點之間的距離是17遠遠不夠，我們還要知道17代表的是17厘米、17公里，還是17光年。我們用度規來決定怎樣測量距離，圖上兩點之間的距離對應的是其所代表的世界里的量。度規給出了一個測度標準，說明你選擇以哪種測量單位來確定標度，就如在一張地圖上，0.5厘米可能代表1公里，或者如在米制單位中，它給出了大家認同的1米的標桿。

度規

它確立測量的標度，即兩點間的物理距離，它們是軸線上的刻度。但度規還不僅僅確定這些，它還會告訴我們空間是否彎曲或是卷曲。度規包含了有關空間形狀的所有信息，彎曲空間的度規既指明長度，也指明角度。

但度規還不僅僅是確定這些，它還會告訴我們空間是否彎曲或是卷曲，就如同一個被吹起的氣球表面。度規包含了有關空間形狀的所有信息，卷曲空間的度規既指明長度，也指明角度。正如1厘米可以代表不同的長度，角度也可以對應不同的形狀。之后，當我們探索彎曲空間與引力的關系時，我還會講到這些。現在我們只說一點，即球體的表面與一張紙的平直表面是不同的，球面上的三角與紙面上的三角也不同，這種二維空間的差異可以從它們的度規看出來。

隨著物理學的進步，度規里存儲的信息量也在不斷演變。愛因斯坦創立相對論時，認識到第四維度——時間，是與空間的其他三維密不可分的。時間也需要一個標度，于是愛因斯坦用四維時空（在三個空間維之上加入時間維）的度規構造了引力。

更新的研究成果顯示，其他空間維度也有可能存在。那樣的話，真正的時空度規將包含三個以上的空間維度。人們怎樣描繪一個多維空間？那就是說出它有多少維度，以及那些維度的度規是什么。但是，在我們進一步探索度規和多維空間的度規之前，我們要再多想想“多維空間”這個術語的含義。

《巧克力工廠》旺卡梯的秘密

在挪威大名鼎鼎的作家羅爾德·達爾（Roald Dahl）的著作《查理和巧克力工廠》（Charlie and the Chocolate Factory）中，威利·旺卡（Willy Wonka）給客人介紹了他的“旺卡梯”，用他的話來說“電梯只能向上和向下，而旺卡梯卻能夠向前、向后、向左、向右、向旁邊，無論是橫向、豎向、斜向、側向，只要是你能想到的方向，它都可以到達”。確實，他的裝置可以向任何方向移動，只要不超出我們所認知的三維空間。這可真是個富有創意的好主意！

然而，“旺卡梯”并不真正能夠向任何“你能想到的”方向移動。威利·旺卡也真夠粗心的，他忘記了額外維度通道。額外維度是一個完全不同的方向，它們難以描述，可是通過一個比方，就很好理解了。

1884年，為了闡釋額外維度這一觀念，英國數學家埃德溫·阿博特（EdwinA.Abbott）寫了一本小說：《平面國》（Flatland：A Romance of Many Dimensions）。故事發生在一個虛構的二維宇宙——也就是書名里的平面國中，那里的居民都是二維生物（有著不同的幾何形狀）。阿博特要告訴我們的是，我們這個世界的人對四維概念充滿了迷惑，正如平面國的居民感覺三維概念無比神秘，因為他們一生都生存在一個二維空間中，比如桌面上。

對我們來說，只要展開想象就能理解三維之外的世界，而對于平面國的居民來說，三維簡直無法想象。那里的所有人都認為，宇宙顯然只有他們所感知的兩個維度，就像我們堅持三維觀念一樣，平面國的居民對二維自然也是深信不疑。

小說里的敘事者，正方形A（作者埃德溫A的別名），被領進了三維世界中。在接受教育的第一階段，他仍被限制在平面國，這時，讓他觀察一個三維球體垂直地穿過他所在的二維世界。因為受限于平面國，當球體穿過正方形A所在的平面時，他看到的是大小不等的一摞盤子，先是慢慢變大，然后漸漸變小——其實，這就是球體的一個個切片（見圖1-4）。

一開始，這令《平面國》中的二維敘事者頗感費解，他從未想到會有超出二維的東西，也就不能想象會有像球體一樣的三維物體。直到正方形A被抬離平面國，進入一個三維世界，他才能真正想象一個球體。從這樣一個新視角，他認識到球體就是他所看到的二維切片粘連在一起的結果。即使在二維世界里，正方形A也可以把他看到的盤子描繪成一個時間的函數，從而形成球體（見圖1-4）。只有當他經歷了第三維度的旅行之后，他才打開眼界，明白了球體和它的第三維。

通過這個類比，我們可以想象，當一個超球體（有4個空間維度的球體）穿過我們的宇宙時，它看起來就應該是一個三維球體隨著時間的推移，先是慢慢增大，然后漸漸縮小。令人感到遺憾的是，我們無緣進入額外維度旅行，也就永遠看不到一個完整、靜態的超球體，但我們還是可以推想物體在不同維度里的樣子，即使我們看不見那些維度。我們可以滿懷信心地推斷，一個穿越三維空間的超球體看起來就應是一系列三維球體。

再舉一例，我們設想一下怎樣構造超立方體——即立方體在三維空間里的延伸。一條一維直線連接兩個點構成一條線段；在此線段上方再加一條一維線段，用另外兩條線段將它們連接，就構成了一個二維正方形；以此方式繼續，將另一個正方形置于這個上方，再在原正方形的每個邊上以另外4個正方形連接，我們就能得到一個三維立方體（見圖1-5）。

依此類推，在四維空間中，我們可以得到一個超立方體；在五維空間也能得出某個東西，暫時還沒有名稱。即便我們三維中的凡人從未見識過這兩種物體，我們也可以根據在低維空間中的方法作出推論：要形成一個超立方體（也叫超正方體），就是把一個立方體置于另一立方體之上，然后加進另外6個立方體，并在原來兩個立方體的每個面上進行連接。雖然這種構建很抽象，也很難描繪，但這并不影響超立方體的真實性。

在讀高中的時候，我參加過一個數學夏令營。在那里，我看了電影《平面國》。電影結束的時候，敘事者徒勞地指向平面國居民根本看不到的第三維度，用一種愉快的英式口音說：“向上，不是向北。”遺憾的是，當我們試圖指向第四維度，即一個通道時，我們面對的是同樣的困境。在阿博特的小說中，即使第三維度存在，平面國的居民仍然無法看到，也無法在其中穿行；同樣地，我們看不到額外維度，但并不代表它們不存在。因此，盡管我們還沒有看到，也沒有在這樣的維度中穿行，貫穿本書的潛臺詞仍然是：“不是向北，而是沿著通道向前。”誰知道我們尚未看見的東西會是什么呢？

二生三

本章的后半部分，我們不再考慮三維之外的空間，而是討論如何憑借有限的視覺能力，用二維圖像來思考和繪制出三維圖像。明白怎樣將二維圖像轉化成三維現實，將有助于我們解釋高維世界里的低維“圖像”。在我們的思想隨著額外維度一同卷曲之前，權且在這兒做一下熱身運動。別忘了，我們在日常生活中一直在與維度打交道，所以其實這并不陌生。

通常，我們所看到的都是物體的表面，而表面只是其外緣。即使這個表面在三維空間里卷曲了，它也只有兩個維度，因為在這個表面上，你只需兩個數字就能定位一個點。因為它沒有厚度，我們推定這個表面不屬于三維。

當我們看照片、電影、電腦屏幕或書中的插圖時，我們看到的總是二維而非三維的表象，但我們仍能推斷出圖像所體現的三維實體。

我們能用二維信息構筑三維，這要求我們在制作二維圖像時，要忽略一些信息，同時還要保留足夠的信息來重現原來物體的基本元素。現在，我們來回想一下，通常將一個三維物體降為二維，都使用什么方法——切片、投影或者全息圖，有時干脆忽略一個維度。我們又怎樣將其復原，推斷出它們所表現的三維物體？

再回到前面有關艾克和阿西娜的定位圖，我們可以忽略艾克喜歡超速駕駛這一信息，把它變成一個二維圖。我們也可以不管阿西娜所養的貓頭鷹數量，這樣，就可以繪制出一幅四維而非五維的圖，而忽略阿西娜的貓頭鷹就是一個投影方式。

投影忽略了原來三維物體的信息（見圖1-7），不過，我們用投影制作二維圖時，有時會加入一些信息，以幫助我們重獲部分丟失的東西。這些附加信息可以是油畫或全息圖中的陰影、顏色，也可以是地形圖中表示高度的數字，但有時什么標識都沒有，這樣一來，二維特寫就不可能提供那么多的信息了。

如果不是我們雙眼協同合作，幫助我們重構三維圖像，那么我們看到的所有東西都將是投影。如果閉上一只眼睛，你就很難感知遠近——一只眼睛只能構建一個三維現實的二維投影，所以我們需要兩只眼睛來重建三維圖像。

我一只眼睛近視，另一只眼睛遠視，如果不戴眼鏡，我就不能將兩只眼睛看到的影像完美結合，而偏偏我又很少戴眼鏡。盡管有人告訴過我，說我重建三維圖像時會有困難，我卻并沒覺得有什么問題：在我看來，物體還是三維的，這是因為我可以憑借陰影和視角（以及我對這個世界的熟悉程度）來重建三維圖像。

可是有一天在荒漠里，我和一個朋友正向遠處的峭壁前進，朋友不停地告訴我說，我們可以直達峭壁。我就納悶他怎么堅持要我們徑直穿過一塊大石頭呢？我原以為那塊大石頭是峭壁直接突出形成的，會完全擋住我們的路。而實際上，它離我們很近，就在峭壁前面，根本沒有與峭壁連在一起，因此也就不會擋路。之所以我會有這種誤解，是因為我們是在正午靠近峭壁的，當時它沒有影子，我也就沒有辦法以此構建第三維度，而只有這個維度，才會讓我知道遠處的峭壁與大石頭相隔的距離。直到那次失敗，我才意識到陰影和視角的補償作用。

繪畫就是要求藝術家把他們所看到的物體簡化成投影。中世紀藝術使用了投影的最簡單方式，圖1-9顯示的是一幅鑲嵌玻璃畫，畫上是一個城市的二維投影，這幅畫上沒有顯示第三維度的任何信息，也沒有任何標識或跡象來表明第三維度的存在。

自中世紀起，畫家們發展了投影的方法，來部分補償繪畫中的維度缺失。與這一方法對立的是20世紀立體派所使用的方法，立體主義油畫（見圖1-10，畢加索的《朵拉·瑪爾的肖像》[Portrait of Dora Maar]）能同時呈現多個投影，每個投影展現的是一個不同角度，以此來表現物體的三個維度。

但是，自文藝復興以來，多數西方畫家都用透視和陰影來形成第三維度的幻覺。繪畫的一個基本技巧就是要將三維世界簡化成二維圖像，而且要讓觀賞者逆轉這個步驟，重建本來的三維圖像或物體。即使并非所有三維信息都存在，因為我們適應了這種技法，仍然知道該怎樣去解讀圖像。

藝術家甚至嘗試過在二維平面上表現更多維度的物體，例如，薩爾瓦多·達利（Salvador Dali）的《耶穌受難圖》（Corpus Hypercubus，見圖1-11）將十字架表現為一個打開的超立方體。超立方體在四維空間里由8個相連的立方體構成，在圖1-12中，展示了超立方體的幾個投影。

我曾在引言中舉過一個物理學的例子：不粘鍋里的準晶體，它看起來就像是一個高維晶體在我們三維世界里的投影。除了服務于藝術之外，投影當然也有其現實意義，醫學中就有許多三維物體投影到二維空間的例子：X光片記錄的就是一個二維投影；CAT（電腦輔助X線斷層照相術）掃描將多個X光片結合起來，重建了一個更為詳盡的三維圖像。有了從不同角度拍攝的足夠多的X光片，我們就可以把它們串連成一個完整的三維圖象；另外還有MRI（核磁共振成像）掃描，它是通過切片來重構三維物體的。

全息照片是另外一種在二維表面記錄三維信息的方式。盡管全息圖像被記錄在低維表面，但它實際上涵蓋了原來三維空間的所有信息。也許你在錢包里就能看到這種技術：你信用卡上看起來像是三維的那個圖像，就是一張全息照片。

全息圖像記錄了在不同地點的光的關系，這樣，就能夠重現一個完整的三維圖象。這就好比立體聲所使用的原理，它能讓我們聽出錄音時不同樂器所處的位置。利用全息圖像所存儲的信息，眼睛就可以真實重現它所代表的三維物體。

這些方法顯示的是，我們怎樣從一個低維圖像中獲取更多信息，但你真正需要的也許是更少的信息。比如，有些東西在第三維度上非常非常薄，在這個層面上，根本沒有什么有趣的事會發生，盡管這張紙上的墨跡實際是三維的，但我們把它當作二維的也不會有什么損失。除非把它放在顯微鏡下，我們根本不會去想墨跡的厚度。一根電線看起來是一維的，但如果仔細觀察，你還是能看到它有一個二維橫截面，因此也該是三維的。

有效理論，忽略細枝末節

忽略另外一個看不見的維度沒有什么不對，不僅僅是視覺效果，即使是物理作用，如果微小到難以察覺，也常常可以忽略。科學家們在闡述自己的理論或進行計算時，常常忽略（通常是無意識地）一些微小到不可察覺的物理過程。牛頓的運動定律在他能觀測的距離和速度上是有效的，他不需要廣義相對論的細節仍然作出了成功的預言；生物學家研究細胞時，也不需要了解中子里的夸克。

挑選相關信息，略去細枝末節，這是一種實用主義的做事方法，我們每個人每天都會這樣做。這是一種應對冗余信息的辦法，對于你所看到、聽到、嘗到、聞到或觸摸到的任何東西，你都可以選擇，是細細品味不放過任何一個細節，還是只需了解其“大概”，抓住主要特征？無論是欣賞油畫、品味美酒、閱讀哲學，或是安排旅游，你都會不由自主地將自己的想法按照興趣歸類——可能是大小、口味，也可能是觀念，而當時你并未發現這些歸類有什么相關。適當的時候，你會忽略一些細節，以便將精力集中在你感興趣的問題上，而不至于被一些無關緊要的線索所迷惑。

這種摒棄細枝末節的過程應該并不陌生，因為它實際上是我們人類一直在做的。以紐約為例，身居這個繁華都市的紐約人都能夠看到曼哈頓的細節和變化。對他們來說，鬧市區更為繁華、古老，街道更為崎嶇、狹窄；而城郊為了方便人們居住、建造了更多的房產，還有許多中心公園和博物館。盡管對外人來說，這些差別實際上是很模糊的，但在這個城市之內，它們卻真實存在。

但想想遠離紐約的人是怎么看的：對他們來說，紐約就是地圖上的一個點，也許是一個重要的點、一個有著鮮明特征的點，但僅此而已。即便各不相同，可在別處看來，比如說中西部或是哈薩克斯坦，紐約人并無差別。當我提起這個比方時，住在鬧市區（具體來說，是西村）的表弟大為不滿，不愿將居住在鬧市區和城郊的紐約人歸為一類，這更證實了我的觀點。但任何一個非紐約人都會告訴他，對并不生活在他們中間的外人來講，其間的差別實在太小，真的無關緊要。

在物理學中，正式使用這種直覺并以相關的距離或能量來劃分范疇已成為常規做法。物理學家接受這種做法，并為它取了名字——有效理論（effective theory）。

有效理論集中研究那些在相關距離內產生“效果”的粒子和力，我們不會用不可測量的、描述超高能行為的參數來描述粒子及其相互作用，只用那些與我們能探測的尺度相關的事物來構建我們的發現。在任何一個尺度上，有效理論都不會深入探究作為其基礎的小尺度理論的細節，它只關注有望被測量或者觀察到的事物。如果某個事物超出了你所在尺度的精度，那么你無須考慮其詳細結構。這種做法并非科學詐騙，而是忽略冗余信息的一種方式，這是獲得正確答案的一種“有效”方式。

有效理論

在物理學中，正式使用這種直覺并以相關的距離或能量來劃分范疇已成為常規做法。物理學家接受這種做法，并為它取了名字——有效理論。如果某個事物超出了你所在尺度的精度，那么你無須考慮其詳細結構。這種做法并非科學詐騙，而是忽略冗余信息的一種方式，這是獲得正確答案的一種“有效”方式。

當高維細節超出我們的能力時，所有人，包括物理學家在內，都樂于回到三維世界。正如物理學家常常把一根電線當作一維事物對待一樣，如果額外維度極其微小，那么高維細節則無關緊要，我們也常常以低維方式來描繪高維宇宙。額外維度小到無法看見，這樣所有可能的高維理論，我們都可以通過這種低維描述來總結其可觀察的效果。這個低維描述不受那些額外維度數量、大小和形狀的影響，足以實現很多目的。

低維的數目不提供根本描述，但它們卻是歸納發現和預言的簡便方法。如果你確實了解一個理論的小距離細節（即微觀結構），就可以利用它們導出發生在低能描述里的量，否則那些量就只能是等待實驗來確定的未知數。

在接下來的章節中，我們將詳細講述這些觀點，并探究微小、卷曲的額外維度的作用。我們將首先探討的那些維度非常微小，小到根本不會產生任何影響；然后，當再次回到額外維度時，我們會探索龐大且無限延伸的維度，它們徹底改變了我們現在描繪的這一圖像。