3.2 卷積編碼

3.2.1 卷積碼的基本概念

選擇信道編碼方法時，首先是在給定的剩余比特差錯率（在應用了信道編碼和相應的解碼后剩余的差錯）和平均編碼率以及傳輸帶寬下，選擇允許最低的載噪比C/N的一種方法。好的信道編碼方法，使剩余比特差錯率曲線向小的C/N方向移動。

除了剩余比特差錯率曲線的相對位置隨C/N而變化外，卷積碼的能力還可以通過剩余比特差錯率曲線的斜率來表明其特征。在應用相同的冗余的情況下，如果在信噪比方面有進一步獲益，陡的曲線總是值得追求的。然而，這就要求信道解碼器有明顯高的復雜性。

卷積碼又稱連環碼，是由Elias于1955年首次提出的。卷積編碼用移位寄存器即可實現。在同等碼率和相似的糾錯能力下，實現起來通常要比分組碼簡單。但是，卷積碼的數學結構不像分組碼那樣嚴密，因此，譯碼方法較為復雜。

為了進行卷積編碼，將比特序列組成的信息送入移位寄存器組成的卷積編碼器中，通過移位寄存器不同抽頭的組合，得到編碼輸出數據。

現借助如圖3-2-1所示的卷積編碼器說明其結構，并解釋一些基本概念。

在如圖3-2-1所示的卷積編碼器中，每次輸入1個比特而產生出2個比特的輸出。輸入幀寬度m=1比特，輸出幀寬度n=2比特，編碼率R=m/n=1/2。編碼器的記憶，即存儲器深度，是以現實輸入以前的對編碼做出貢獻的比特數量來定義的。如果移位寄存器的數量（長度）為S，則存儲器深度為S·m，本例中，S=4，m=1，故S·m=4。另一個概念“約束長度”K，它是所有參與編碼過程的比特總數。在該例中，K=（S+1）·m=5。圖示編碼器共有2s.m=24=16種可能的狀態（即4個移位寄存器存儲內容的24=16種可能的組合）。

卷積編碼器是通過移位寄存器的數量和抽頭位置的配置來表明其特征。通常用生成多項式G來表示，多項式中各項的系數是0或1，取決于相應的移位寄存器是否有抽頭。多項式系數的歸并通常用八進制表示。不論用多項式還是用八進制表示，都應為每個輸出支路分別給出。

對于如圖3-2-1所示的編碼器來說，G1=1+X2+X4（八進制25）和G2=1+X3+X4（八進制31）。需要說明的是，這里生成多項式的最低次項代表移位寄存器的現實輸入，而最高次項代表有延時的最后的移位寄存器的抽頭輸出（在本例中，G1和G2的最高次項都對應最后一個移位寄存器的抽頭）。

3.2.2 卷積編碼器舉例

現以如圖3-2-2所示的簡單卷積編碼器為例，說明卷積編碼的基本原理。

如圖3-2-2所示的卷積編碼的特征數據是：

由圖可以看出，編碼器的輸出為

C1，i=mi-2⊕mi-1⊕mi，C2，i=mi-2⊕mi

式中，mi是現時時刻的輸入碼元；mi-1與mi-2是前一時刻與更前一時刻輸入并移位存儲在寄存器1（左邊）和2（右邊）的碼元，即代表編碼器的狀態；⊕代表模2加法運算，即不進位的二進制加法，其規則是：1⊕1=0，1⊕0=1，0⊕1=1，0⊕0=0。

設移位寄存器的初始狀態為00，當輸入第一位信息為1 時，即mi=1，mi-1=0，mi-2=0，則C1.i=1，C2.i=1，輸出Ci=11；接著當輸入第二位信息仍為1時，則此時mi=1，mi-1=1（由前一時刻輸入移位形成），mi-2=0，則C1.i=0，C2.i=1，編碼輸出Ci=01；依此類推，可得出相應于輸入序列的編碼輸出序列。不難證明，當輸入序列為10110000…時，對應的編碼輸出碼元序列是1110000101110000…。如表3-2-1所示是圖3-2-2編碼器狀態，輸出、輸入之間的關系。

3.2.3 卷積編碼器的狀態圖和網格圖

從信息學的角度來觀察，可以把卷積編碼器看作是一個自動裝置，它可以通過可能的內部狀態表明其特征?？赡艿膬炔繝顟B，可以從存儲器數目決定的0和1 相組合的數目推斷出。根據現實的輸入符號和現實的內部狀態，自動裝置給出一個（或多個）輸出符號（這里是比特），并且變化為一個新的狀態。通常用一個狀態圖來表示。如圖3-2-3所示就是圖3-2-2所示的卷積編碼器的狀態圖。

在圖3-2-3中圓圈中的1、0組合代表編碼器的狀態，或移位寄存器的現實內容，其中左邊一位代表mi-2，右邊一位代表mi-1。從每個狀態發出兩條過渡路徑以及兩條另外的匯入路徑（狀態00和11時，有一條路徑既是發出又是匯入）。每條路徑旁標記的數字，例如，從狀態“00”過渡到狀態“01”的路徑標有1/11，表示在狀態“00”時，當輸入“1”時，編碼器輸出“11”；其他依此類推。可以看出，如圖3-2-3所示的狀態圖與表3-2-1所示的輸入、輸出關系和狀態過渡關系是一致的。

將狀態圖在時間上展開，便可以得到卷積編碼的網格圖（或稱籬笆圖）。如圖3-2-4所示便是相應于圖3-2-2編碼器的網格圖。

在網格圖中，從每一狀態都引出兩條路徑分別到一個新的狀態；如果輸入符號為“1”，路徑用虛線表示，輸入符號為“0”時，路徑用實線表示；路徑旁標出的數字表示輸出C1.iC2.i。例如，從狀態“00”出發，當輸入“1”時，輸出為“11”，沿著虛線路徑過渡到狀態“01”，這與圖3-2-3所示的狀態圖是一致的。

3.2.4 卷積解碼—維特比解碼

1.解碼原理

卷積碼的解碼方法通常有門限解碼、維特比（Viterbi）解碼和序列解碼。

通常情況是按照維特比原理進行解碼的，維特的解碼是一種建立在最大似然軟判決的基礎上的概率解碼，它雖有最好的性能，但解碼的運算量是隨著約束長度呈指數增加。隨著超大規模集成電路技術的發展，現已有單片的維特比解碼器。

在解碼時，解碼器根據接收的序列、信道統計特性和編碼規則，力圖尋找原來編碼時通過網格圖的那條路徑，只要找到了那條路徑，也就完成了卷積解碼，并同時糾正了傳輸中的差錯。

下面通過實例來說明維特比解碼過程。設數據序列1011000送入如圖3-2-2所示的卷積編碼器，則得到編碼序列：1110 00 01 0111 00。

如果在傳輸過程中，編碼序列的第2和第5個位置出現了差錯，那么接收的序列就為：10 10 10 01 0111 00。現在，我們借助網格圖來解釋整個維特比解碼過程。在解碼時應注意，狀態圖中的輸出和輸入相對于編碼來說必須互換。

第一步：解碼器處于狀態“00”并接收到比特序列“10”，正如狀態圖所示那樣，編碼器根本不可能產生這種比特序列，因為從狀態“00”出發，只能給出以下兩種選擇的可能性：

① 發射“00”并保持狀態“00”[在圖3-2-5網格圖（a）中左上水平方向過渡路徑]。這樣，解碼器“知道”：在這種情況下，只接收一個正確的比特。作為正確比特的總和在過渡路徑末端記上（1）。

② 發射“11”并過渡到狀態“01”[圖3-2-5（a）中的左上斜虛線]。在這種情況下解碼器也“知道”：只接收了一個正確的比特，作為正確比特的總和也在路徑末端記上（1）。

第二步：解碼器現在又接收到比特序列“10”

① 在對這第二個比特序列解碼時，從狀態“00”出發，接收“00”序列時仍保持狀態“00”，或者接收“11”序列時過渡到狀態“01”是可能的。在這一步驟中，實際接收的是“10”，所以也分別只有一個比特是正確的。考慮到第一步中的一個正確比特，在現在可能的兩條過渡路徑的末端分別記上正確比特總數（累加值）（2）。

② 從狀態“01”出發，當接收到“01”序列時，過渡到狀態“11”，由于收到的是序列“10”，所以兩個比特都是錯誤的。故這條過渡路徑的末端累計正確比特數仍為（1）；當收到“10”序列時，過渡到狀態“10”，這兩個比特序列“10”都是正確的，因此累計總共有3個正確的比特，在過渡路的末端記上（3）。

第三步：現在接收到第三個比特序列“10”[如圖3-2-5中（a）所示]。分析狀態之間可能的過渡并將輸入序列同可能的接收值進行比較，會出現這樣的情況：在每個狀態點兩個過渡相匯聚。維特比解碼是從兩個過渡中準確選擇具有最多的正確接收比特總數（累加值）的過渡路徑，稱為幸存路徑，將另外的丟去，結果可從圖3-2-5（b）中看出。如果匯聚在一起的兩個過渡具有相同的正確接收比特總數，可選擇保留任一個過渡，因為從這一點向后，不再可能做出確定的判決。

依此類推，繼續進行以后的處理。最后，選擇出穿過網格圖具有最多正確接收比特總數（該例中為12）的路徑[如圖3-2-5（f）所示]，由此得出最大可能的狀態序列，并借助狀態圖得到原始的信息序列：

最大可能的狀態序列為00 0110 011110 00 00；

解碼并修正后的接收序列（即發端信道編碼輸出序列）為1110 00 01 0111 00；

信息序列（即發端信道編碼輸入序列）為1011000。

在此順便指出，人們通常把兩個碼組中對應碼位上具有不同二進制碼元的位數，定義為兩碼組的距離，稱為漢明（Hamming）距。因此，穿過網格圖具有最多正確接收比特總數的路徑也就是漢明距最小的路徑。

最后，需要指出的是上述的討論都是先將接收的數值（復數載波幅度的實部和虛部）判決為0或1（硬判決），然后送給維特比解碼器。為了實現能力強的解碼，接收的信號在解碼前不是判決0或1，而是判決為中間值（軟判決），如0.25，0.5和0.75 等。通過在解碼器中應用軟判決，可以明顯準確地估價通過網格圖所選擇的路徑的正確概率，典型編碼增益可以達到2dB的數量級。

如圖3-2-6所示是維特比解碼器原理方框圖。

2.硬判決與軟判決

因為在通過實際的信道傳輸時，信號常常受到干擾，在接收機中數字信號的幅度不再是離散的（有限的幅度等級），而是彌散在整個范圍。數字只能用統計來描述。為了從變形的信號中得到原始的離散值，在接收機中維特比解碼器應用了硬判決和軟判決。它們根據原始數據的最大概率從接收的數據中進行計算。如果應用硬判決，判決閾處于與狀態0和1 相對應的幅度值的中間。如圖3-2-7所示是接收信號的概率密度分布與硬判決時的判決閾。

在軟判決時人們應用了很多個閾值，這樣可以進行準確的估計，當然，這也意味著更多的復雜性。使用軟判決的維特比解碼器（7個閾值，8個范圍，用3比特編碼）相對于硬判決有2dB典型的編碼增益。如圖3-2-8所示是在軟判決時通過很多判決閾對輸入信號量化。

3.2.5 卷積碼的BER

卷積碼的約束長度越長，糾錯能力越強，BER指數下降，但解碼運算量呈指數上升，因此，通常將約束長度限制在10以內，如圖3-2-9所示是編碼率為1/2、采用QPSK調制時的卷積碼的BER特性。

由圖3-2-9可以看出，要想得到10-5誤碼率，不進行信道編碼時，要求 Eb/N0要大于9.5dB；進行卷積編碼，當約束長度K=2 時，要求Eb/N0大于5.9dB，（編碼增益9.5-5.9=3.6dB），而當K=8時，要求Eb/N0大于3.5dB就可以了（編碼增益為9.5-3.5=6dB）。