第2篇 材料力學(xué)

1.材料力學(xué)研究的問題及其任務(wù)

在日常生活和工程實踐中，人們常常會遇到材料力學(xué)問題，由此積累了豐富的感性知識。譬如，大家都知道，繩索承受拉力的能力與其粗細及材料性能有關(guān)。各種機器設(shè)備和工程結(jié)構(gòu)，都是由若干構(gòu)件，即組成結(jié)構(gòu)或機械的不能再拆卸的元件組成。由于構(gòu)件工作時往往承受載荷作用，在載荷作用下，構(gòu)件必然產(chǎn)生變形——形狀和大小發(fā)生變化，并可能發(fā)生破壞。為了保證構(gòu)件正常安全工作，需要考慮下列三大問題：

（1）強度問題。構(gòu)件抵抗破壞的能力，稱為強度。如果構(gòu)件的尺寸、材料的性能與載荷不相適應(yīng)，譬如機器中傳動軸的直徑太小，起吊貨物的繩索過細，當(dāng)傳遞的功率較大，貨物過重時，就可能因強度不夠而發(fā)生斷裂，使機器無法正常工作，甚至造成災(zāi)難性的事故。因而首先要解決強度問題——即如何使構(gòu)件具有足夠的強度，以保證在載荷作用下不致破壞。

（2）剛度問題。構(gòu)件抵抗變形的能力，稱為剛度。有些構(gòu)件，如車床主軸AB（見圖Ⅱ-1（a）），若變形過大（見圖Ⅱ-1（b）），則影響加工精度，破壞齒輪的正常嚙合，引起軸承的不均勻磨損，從而造成機器不能正常工作。因此，對這類構(gòu)件，還需要解決剛度問題——即如何使其具有足夠的剛度，以保證在載荷作用下，其變形量不超過正常工作所允許的限度。

（3）穩(wěn)定問題。受壓的細長桿和薄壁構(gòu)件，載荷增加時，還可能出現(xiàn)突然失去初始平衡形態(tài)的現(xiàn)象，稱為喪失穩(wěn)定。例如頂起汽車的千斤頂螺桿AB（見圖Ⅱ-2（a）），長活塞桿CD（見圖Ⅱ-2（b）），有時會突然變彎（見圖Ⅱ-2（c）），甚至彎曲折斷，由此釀成嚴(yán)重事故。這種場合需考慮穩(wěn)定問題——即如何使構(gòu)件具有足夠的保持初始平衡形態(tài)的能力，即足夠的穩(wěn)定性。

材料力學(xué)就是研究構(gòu)件強度、剛度和穩(wěn)定性計算的科學(xué)。

2.構(gòu)件的四大基本變形

構(gòu)件受力后，其變形的基本形式有四種：軸向拉伸和壓縮；剪切和擠壓；扭轉(zhuǎn)；彎曲（如表Ⅱ-1所示）。其他復(fù)雜的變形形式，都是上述兩種或兩種以上基本變形的組合，稱為組合變形。

第4章 拉伸和壓縮

【內(nèi)容提要】

本章主要介紹材料力學(xué)的任務(wù)和研究對象。拉伸和壓縮的概念，求內(nèi)力的截面法，橫截面上的正應(yīng)力。軸向橫向變形、應(yīng)變、胡克定律。材料拉伸和壓縮時的力學(xué)性能，應(yīng)力集中，軸向拉伸和壓縮時的強度計算。

4.1 拉伸和壓縮的概念

在工程實際中，有很多構(gòu)件在工作時是承受拉伸或壓縮的。例如，圖4-1（a）所示的起重裝置中，如果不考慮各桿自重，則桿AB是承受拉伸的構(gòu)件，桿BC是承受壓縮的構(gòu)件。其受力如圖4-1（b）所示。可以看出，這類構(gòu)件的受力特點是：作用于桿端的兩力大小相等，方向相反，且作用線與桿的軸線重合；其變形特點是桿沿軸線方向伸長或縮短。構(gòu)件的這種變形稱為軸向拉伸或軸向壓縮。

4.2 拉伸和壓縮時的內(nèi)力與截面法

4.2.1 內(nèi)力

桿件受到外力作用而變形時，其內(nèi)部各質(zhì)點之間的相互作用力將發(fā)生改變。這種由于外力作用而引起的桿件內(nèi)各質(zhì)點之間的相互作用力的改變量，稱為內(nèi)力。可見內(nèi)力是由于外力的作用而引起的，它隨外力的變化而變化。內(nèi)力具有抵抗外力、阻止外力使物體繼續(xù)變形，以及在外力除去后使物體消失變形的性質(zhì)。由于內(nèi)力的增大有一定的限度，如果超過了這個限度，物體就會破壞。因此為了保證桿件在外力作用下能安全、正常地工作，就必須研究桿件的內(nèi)力。

4.2.2 截面法

設(shè)有一受拉桿如圖4-2（a）所示。為了確定其橫截面m-n上的內(nèi)力，可假想沿橫截面m-n將桿截成兩段，棄去右段，研究左段，如圖4-2（b）所示。由于桿在拉力P作用下原處于平衡狀態(tài)，所以截開后的左段仍應(yīng)保持平衡。由此可推斷，橫截面上必然有一個力N作用，它是桿右段對左段的作用力，以便與P力平衡。實際上內(nèi)力是分布在整個橫截面上的，所以這個力N應(yīng)為橫截面上內(nèi)力的合力，通常就稱N為截面m-n上的內(nèi)力，它的大小可由平衡方程求得，即

∑Fx=0，N-P=0

得

N=P

由于內(nèi)力N的作用線與桿件的軸線重合，所以又稱此內(nèi)力為軸力。

如取右段研究，則可求得左段對右段的作用力N′=P，如圖4-2（c）所示。N與N′為左右兩段相互作用的內(nèi)力，它們必然大小相等、方向相反。因此在求內(nèi)力時，可取截面兩側(cè)的任一段來研究。同時不難看出，如改換橫截面的位置，求得的結(jié)果都相同，可見此桿各橫截面上的內(nèi)力是相同的。

綜上所述，求桿件內(nèi)力的方法是：

（1）在所要求的內(nèi)力的截面處，假想將桿截開成兩段。

（2）留下任一段，在截面上加上內(nèi)力，即另一段對保留段的作用以力代之，使加上的內(nèi)力與作用在該段上的外力相平衡。

（3）運用平衡方程求內(nèi)力，這種方法稱為截面法。它是求內(nèi)力的普遍方法，在其他各種基本變形中也可應(yīng)用此法求內(nèi)力。下面通過例題說明截面法的應(yīng)用。

【例4-1】 如圖4-3（a）所示，為一個雙壓手鉚機的示意圖。作用于該手鉚機活塞桿上的力分別簡化為P1=2.62kN，P2=1.3kN，P3=1.32kN。試求活塞桿橫截面1-1和2-2上的軸力。

解：（1）畫計算簡圖，如圖4-3（b）所示。

（2）求截面1-1上的軸力。使用截面法，假想沿截面1-1將桿截成兩段，保留左段，然后在截面1-1上加上軸力N1，如圖4-3（c）所示。列平衡方程

∑Fx=0，P1-N1=0

得

N1=P1=2.62（kN）（壓力）

（3）求截面2-2上的軸力。假想沿截面2-2將桿截成兩段，仍保留左段，然后在截面2-2上加上軸力N2，如圖4-3（d）所示。列平衡方程

∑Fx=0，P1-P2-N2=0

得

N2=P1-P2=2.62-1.3=1.32（kN）（壓力）

如保留右段，如圖4-3（e）所示，則可得

N′2=P3=1.32（kN）（壓力）

所得結(jié)果與取左段研究時相同。所以求內(nèi)力時可選取受力比較簡單的一段進行分析。

4.3 橫截面上的正應(yīng)力

在用截面法確定了拉（壓）桿的內(nèi)力以后，還不能判斷桿件的強度是否足夠。例如兩根材料相同的拉桿，一根較粗，一根較細，在相同的拉力作用下，它們的內(nèi)力是相同的。但當(dāng)拉力逐漸增大時，較細的桿先被拉斷。這說明桿的強度不僅與內(nèi)力有關(guān)，還與截面的面積有關(guān)，所以應(yīng)以單位面積上的內(nèi)力來衡量桿的強度。

如果內(nèi)力在截面上均勻分布，則單位面積上的內(nèi)力稱為應(yīng)力。

為了研究截面上應(yīng)力的分布規(guī)律，可先通過實驗，觀察桿的變形情況。在如圖4-4（a）所示的桿上，預(yù)先刻畫出兩條橫向直線ab和cd（圖中虛線），當(dāng)桿受到拉力P作用時，可以看到直線ab和cd分別平移到了實線a1b1和c1d1處。

根據(jù)以上現(xiàn)象可假想桿由許多縱向纖維組成，那么每根縱向纖維都受到了相等的拉伸。由此可推出：桿受拉伸時的內(nèi)力，在橫截面上是均勻分布的，其作用線與橫截面垂直，如圖4-4（b）所示。

設(shè)桿橫截面面積為A，則單位面積上的內(nèi)力（即應(yīng)力）為。因為此應(yīng)力與截面垂直，故稱為正應(yīng)力，以σ表示，于是

式（4-1）是根據(jù)桿件受拉伸時推得的，它在桿件受壓縮時也同樣適用。

應(yīng)力的單位：在國際單位制中是牛/米2（N/m2），稱為帕斯卡，簡稱帕（Pa）；常用的還有兆帕（MPa），1MPa=106Pa=1N/mm2；吉帕（GPa），1GPa=103MPa=109Pa。在工程單位制中，應(yīng)力單位是公斤力/厘米2（kgf/cm2）。兩種單位制中應(yīng)力的換算關(guān)系為

【例4-2】 試計算例4-1中活塞桿在截面1-1和2-2上的應(yīng)力，設(shè)活塞桿的直徑d=10mm。

解：截面1-1上的應(yīng)力

截面2-2上的應(yīng)力

4.4 軸向變形和胡克定律 橫向變形

直桿在軸向拉力（或壓力）的作用下，所產(chǎn)生的變形表現(xiàn)為軸向尺寸的伸長（或縮短）及橫向尺寸的縮小（或增大）。前者稱為軸向變形，后者稱為橫向變形。

4.4.1 軸向變形和胡克定律

現(xiàn)以如圖4-5所示的受拉等截面直桿為例來研究桿的軸向變形。設(shè)桿的原長為L，在軸向拉力的作用下，桿長由L變?yōu)?span id="3oi6jzj" class="italic">L1，如圖4-5（a）所示，則桿的軸向伸長為

式中，ΔL稱為絕對變形。

實驗指出：在彈性范圍內(nèi)，桿件的絕對變形ΔL與所受拉力P成正比，與桿件的長度L成正比，而與桿件的橫截面面積A成反比。可用數(shù)學(xué)式表示為

引進比例常數(shù)E，則有

由于P=N，故此式又可改寫為

這個關(guān)系式稱為胡克定律。式中的比例常數(shù)E稱為材料的抗拉（壓）彈性模量，其值隨材料而異，可通過實驗方法測定。表4-1中給出了一些常用材料的E值，E的單位常用吉帕（GPa）。

由式（4-3）可知，當(dāng)其他條件不變時，E值越大，絕對變形ΔL越小。因此彈性模量E的大小表示材料抵抗彈性變形的能力。

由式（4-3）還可看出，當(dāng)內(nèi)力N和長度L一定時，乘積EA越大，絕對變形ΔL越小，它反映了桿件抵抗拉伸（壓縮）變形的能力，故稱EA為桿件的抗拉（壓）剛度。

由于絕對變形ΔL與桿件的長度L有關(guān)，為了更確切地反映桿件縱向變形的程度，消除長度的影響，以單位長度的軸向伸長（縮短）來表示桿件的變形，稱為相對變形或應(yīng)變，并以ε表示，即

ε是個比值，拉伸時為正；壓縮時為負(fù)。ε是無量綱的量，有時也用百分?jǐn)?shù)來表示。

將σ和ε=代入式（4-3）中，即得胡克定律的另一表達形式

因此，胡克定律又可敘述為：當(dāng)應(yīng)力不超過某一極限時，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。該極限值稱為比例極限。

4.4.2 橫向變形

若桿件變形前的橫向尺寸為b，變形后變?yōu)?span id="u4cs3tg" class="italic">b1（見圖4-5（b）），則桿的橫向絕對變形為

Δb=b1-b

橫向應(yīng)變?yōu)?/p>

拉伸時，ε′為負(fù)；壓縮時，ε′為正。

實驗表明：當(dāng)應(yīng)力不超過比例極限時，橫向應(yīng)變ε′與軸向應(yīng)變ε之比的絕對值為一常數(shù)，即

μ稱為橫向變形系數(shù)或泊松比。μ是無量綱的量，其值因材料而異，可通過實驗測定。一些常用材料的μ值見表4-1。

【例4-3】 階梯軸AC，在A，B兩處分別受50kN及140kN的兩力作用，如圖4-6所示。試分別求AB與BC兩段上的內(nèi)力和應(yīng)力，并求AC桿的總變形。已知材料的彈性模量E=200GPa。

解：（1）計算AB段的內(nèi)力、應(yīng)力和變形。

內(nèi)力：

N1=50（kN）（壓力）

應(yīng)力：

變形：

（2）計算BC段的內(nèi)力、應(yīng)力和變形。

內(nèi)力：

N2=140-50=90（kN）（拉力）

應(yīng)力：

變形：

（3）計算總變形量。軸的總變形量等于各段變形的代數(shù)和。求代數(shù)和時，“伸長”用正值、“縮短”用負(fù)值代入，則有

ΔL=-ΔL1+ΔL2=-0.5+0.45=-0.05（mm）（縮短）

4.5 拉伸和壓縮時材料的力學(xué)性能

實踐表明，粗細相同的鋼絲和銅絲受拉伸時，鋼絲不易被拉斷，而銅絲容易拉斷。這說明不同材料抵抗破壞的能力也不同，構(gòu)件的強度與構(gòu)件的力學(xué)性能（機械性能）有關(guān)。為了得到既安全又經(jīng)濟的構(gòu)件，必須研究材料的力學(xué)性能。

研究材料的力學(xué)性能，不僅可以解決構(gòu)件的強度計算問題，也可作為選擇材料、合理地制訂工藝規(guī)程的依據(jù)。

材料的力學(xué)性能是材料固有的特性，可以通過試驗來測定。試驗應(yīng)根據(jù)國家標(biāo)準(zhǔn)《金屬拉伸試驗方法》（GB228—87）中的規(guī)定，將材料制成標(biāo)準(zhǔn)試樣。拉伸圓試樣如圖4-7（a）所示。試樣的兩端為夾持部分，中間為用于測試的工作部分，它以兩標(biāo)記間的長度L0表示，L0稱為原始標(biāo)距，d0為試樣直徑，原始標(biāo)距L0和直徑d0之間有如下關(guān)系：長試樣L0=10d0，短試樣L0=5d0。對于壓縮試樣，通常采用短圓柱體，其高度L與直徑d之比為1.5～3，如圖4-7（b）所示。

材料的力學(xué)性能與很多因素有關(guān)，如溫度、加在試樣上載荷變化的速率、熱處理工藝等。本節(jié)只研究材料在常溫（室溫）、靜載（載荷由零開始逐漸緩慢地增加）條件下的力學(xué)性能。

在常溫、靜載條件下，材料大致可以分成塑性材料和脆性材料兩類。通常以Q235A鋼代表塑性材料，用灰鑄鐵代表脆性材料，通過試驗來分別研究它們的力學(xué)性能。

4.5.1 塑性材料拉伸時的力學(xué)性能

拉伸試驗是在材料萬能試驗機上進行的。試驗時，將試樣的兩端裝在試驗機的夾頭中，然后開動機器加載，使試樣受到自零開始逐漸增加的拉力F的作用。在加載過程中，任一瞬時的F值可由試驗機的示力盤讀出，與此同時，試樣在原始標(biāo)距內(nèi)的伸長ΔL的大小可通過裝在試樣上的變形儀測出。試驗機上有自動繪圖裝置，可以自動繪出以拉力F為縱坐標(biāo)、伸長ΔL為橫坐標(biāo)的F-ΔL曲線，稱為拉伸圖。如圖4-8所示的拉伸圖描繪了Q235A鋼試樣從開始加載直至斷裂的全過程中力和變形的關(guān)系。

拉伸圖中拉力F和伸長ΔL的對應(yīng)關(guān)系與試樣的尺寸有關(guān)。為了消除試樣尺寸的影響，將F-ΔL曲線的縱坐標(biāo)F除以試樣原有的橫截面面積A，將橫坐標(biāo)ΔL除以試樣的原始標(biāo)距L0，即可得到以應(yīng)力σ為縱坐標(biāo)和以應(yīng)變ε為橫坐標(biāo)的σ-ε曲線，稱為應(yīng)力-應(yīng)變圖，如圖4-9所示，其形狀與如圖4-8所示的拉伸圖相似。

下面通過研究Q235A鋼受拉時的σ-ε曲線和其上的一些特性點來了解塑性材料在拉伸時的力學(xué)性能。

1.比例極限

在σ-ε曲線上，Oa段為直線，表明應(yīng)力在a點以下時，應(yīng)力σ與應(yīng)變ε成正比關(guān)系，即胡克定律σ=Eε成立。過a點后，應(yīng)力與應(yīng)變不再保持正比關(guān)系。所以，對應(yīng)于a點的應(yīng)力是應(yīng)力與應(yīng)變保持正比時的最大應(yīng)力值，稱為比例極限，以σp表示。Q235A鋼的比例極限σp=196MPa。

圖4-9中直線Oa的斜率為

即直線Oa的斜率等于材料的拉（壓）彈性模量。

2.屈服極限

在σ-ε曲線上，在a點以后，曲線開始變彎，且彎曲的程度不斷增加。過b點后，在σ-ε曲線上出現(xiàn)一段接近水平線的小鋸齒形曲線。此時應(yīng)力變化很小而應(yīng)變顯著增加，說明材料抵抗變形的能力暫時喪失，這種現(xiàn)象稱為材料的屈服。在屈服階段的b點稱為屈服點，對應(yīng)于b點的應(yīng)力值稱為屈服極限，以σs表示。Q235A鋼的屈服極限σs=235MPa。

試樣在外力作用下的變形，通常是由兩部分組成的，一部分是外力除去后能夠消失的變形，稱為彈性變形；另一部分是外力除去后不能消失的變形，稱為塑性變形。

當(dāng)應(yīng)力在比例極限以內(nèi)時，可以認(rèn)為試樣只產(chǎn)生彈性變形。應(yīng)力超過比例極限后，試樣上將會出現(xiàn)塑性變形。當(dāng)應(yīng)力達到屈服點時，塑性變形所占的比例較大。對于工程中的大多數(shù)構(gòu)件來說，當(dāng)它們發(fā)生較大的塑性變形時，就不能正常地工作了。

3.強度極限

過了屈服階段后，材料又恢復(fù)了抵抗變形的能力，試樣內(nèi)的應(yīng)力又逐漸增加，一直到c點。

c點是試樣在拉斷過程中最大拉力所對應(yīng)的應(yīng)力，稱為材料的強度極限，以σb表示。強度極限是以最大載荷除以試樣原來的橫截面面積而得的應(yīng)力。Q235A鋼的強度極限σb=431MPa。

當(dāng)試樣上的拉力達到最大載荷后，試樣上某一部分的截面發(fā)生顯著的收縮，出現(xiàn)縮頸現(xiàn)象（見圖4-9）。

過了c點以后，因縮頸處截面顯著減小，此時拉力雖然減小，試樣的變形還是繼續(xù)增加，到達d點時試樣發(fā)生斷裂。

在圖4-9中，試樣斷裂前的總應(yīng)變?yōu)?span id="peayljl" class="italic">Of，斷裂后，彈性應(yīng)變εe=ef立即消失，而塑性應(yīng)變εp為Oe遺留在試樣上。

4.材料的塑性

試樣斷裂后所遺留下來的塑性變形，可以用來表明材料的塑性。通常有下面兩種表示方法。

（1）斷后伸長率δ。試樣拉斷后，標(biāo)距的伸長與原始標(biāo)距的百分比，稱為斷后伸長率，即

式中，L0是試樣的原始標(biāo)距；

L1是試樣拉斷后的標(biāo)距。

δ值越大，表明材料的塑性越好，因此，斷后伸長率δ是衡量材料塑性的指標(biāo)之一。對于Q235A鋼，δ=21%～23%。

（2）斷面收縮率Ψ。試樣拉斷后，縮頸處橫截面面積的最大縮減量與原始橫截面面積的百分比，稱為斷面收縮率，即

式中，A0是試樣的原始橫截面面積；

A1是試樣拉斷后縮頸處的最小橫截面面積。

斷面收縮率是衡量材料塑性的另一個指標(biāo)。Ψ值越大，表明材料的塑性越好。對于Q235A鋼，Ψ=60%～70%。

工程上通常根據(jù)斷后伸長率的大小將材料分為兩大類。將δ＞5%的材料，稱為塑性材料，如鋼材、銅、鋁等；將δ＜5%的材料稱為脆性材料，如鑄鐵、磚石等。

5.冷作硬化

試驗表明，塑性材料拉伸過程中，當(dāng)應(yīng)力超過屈服點后（如圖4-10中的g點），如果逐漸卸去載荷，則試樣的應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系將沿著與直線Oa近乎平行的直線gO1回到O1點。如果卸載后再重新加載，則應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系將大體上沿著曲線O1gcd變化，直至斷裂。比較曲線Oagcd與O1gcd，可以看出在試樣的應(yīng)力超過屈服點后卸載，然后再重新加載時，材料的比例極限提高了，而斷裂后的塑性變形減少了，這表明材料的塑性降低了，這一現(xiàn)象稱為冷作硬化。工程上常利用冷作硬化來提高某些構(gòu)件（如鋼筋、鋼絲繩等）在彈性范圍內(nèi)的承載能力。

4.5.2 脆性材料拉伸時的力學(xué)性能

用灰鑄鐵（簡稱鑄鐵）做成標(biāo)準(zhǔn)試樣，按照與低碳鋼拉伸試驗的同樣方法，得出鑄鐵的σ-ε曲線，如圖4-11所示。由圖可以看出，σ-ε曲線無明顯的直線部分，但是，應(yīng)力在較小范圍內(nèi)的一段曲線，很接近于直線，故胡克定律還可適用。

與Q235A鋼相比較，鑄鐵拉伸時無屈服和縮頸現(xiàn)象，抗拉強度較低，試樣在斷裂時的塑性變形很小，其斷后伸長率約為0.5%～0.6%。

4.5.3 塑性材料壓縮時的力學(xué)性能

將Q235A鋼制成的壓縮試樣置于萬能試驗機上，使其受壓，得Q235A鋼受壓縮的σ-ε曲線，如圖4-12中實線所示，圖中虛線則表示Q235A鋼拉伸時的σ-ε曲線。

試驗結(jié)果表明，在屈服以前，兩曲線重合，即壓縮時的比例極限、屈服極限和彈性模量都與拉伸時相同，但由于Q235A鋼壓縮時，試樣越壓越扁，并不碎裂，因此無法得到使其壓壞的強度極限應(yīng)力值。

4.5.4 脆性材料壓縮時的力學(xué)性能

灰鑄鐵的壓縮試驗所得的σ-ε曲線如圖4-13中實線所示。圖中虛線則表示灰鑄鐵拉伸時的σ-ε曲線。

鑄鐵在壓縮時的σ-ε曲線和拉伸時類似，無明顯的直線部分，也無屈服和縮頸現(xiàn)象。變形較小時就發(fā)生碎裂，破壞斷面與軸線大致成45°～55°的傾角（見圖4-13）。但鑄鐵壓縮時的塑性變形較拉伸時大，壓壞時的抗壓強度值也比抗拉強度高，約為抗拉強度的2～5倍。

上面研究了Q235A鋼和灰鑄鐵在拉伸和壓縮時的力學(xué)性能，它們分別反映了塑性材料和脆性材料的力學(xué)性能。經(jīng)過比較可以得到這兩類材料力學(xué)性能的主要區(qū)別如下所述。

（1）塑性材料在斷裂時有較大的塑性變形，脆性材料在斷裂時變形很小。

（2）塑性材料在拉伸和壓縮時的比例極限、屈服點和彈性模量都相同。由于塑性材料在使用時應(yīng)力一般不允許達到屈服極限值，所以它的抗拉伸和抗壓縮強度相同；脆性材料的抗拉強度低于抗壓強度。因此，脆性材料通常用來制造承壓構(gòu)件。

4.6 應(yīng)力集中的概念

由前述可知，等截面直桿受到軸向拉伸（或壓縮）作用時，除載荷作用點附近處的應(yīng)力分布較復(fù)雜外，各橫截面上的應(yīng)力是均勻分布的，如圖4-14（b）所示。在工程實際中，由于設(shè)計的需要，構(gòu)件上常常加工有油孔、切槽、螺紋等工藝結(jié)構(gòu)，使構(gòu)件在這些部位的截面尺寸發(fā)生突變。實驗和理論分析指出，構(gòu)件在截面突變處，應(yīng)力顯著增大。圖4-15為開有圓孔和切口的矩形截面桿在受到軸向拉伸時開孔和切口處截面的應(yīng)力分布圖。這種由于截面突變而引起局部應(yīng)力增大的現(xiàn)象，稱為應(yīng)力集中。

應(yīng)力集中對不同材料、不同受載狀態(tài)下的構(gòu)件影響不同。

在靜載荷作用下的塑性材料，應(yīng)力集中的影響通常可不予考慮。這是由于塑性材料在靜載荷作用下會出現(xiàn)屈服現(xiàn)象。構(gòu)件受較大載荷作用時，應(yīng)力集中處的σmax將首先達到屈服點值。隨著載荷的不斷增加，該處材料因屈服應(yīng)力將不再增加，但變形在繼續(xù)，增加的載荷由尚未達到屈服點的材料來承擔(dān)，使截面上各點的應(yīng)力陸續(xù)達到屈服點值，這樣應(yīng)力在截面上就逐漸趨于平均，從而降低了應(yīng)力集中的影響。

在靜載荷作用下，由脆性材料制成的構(gòu)件，因它沒有屈服現(xiàn)象，所以隨著載荷的增加，應(yīng)力集中處的最大應(yīng)力值也不斷增加，直到該處的應(yīng)力達到材料的強度極限σb值，使構(gòu)件在該處出現(xiàn)裂紋，整個截面被削弱而破壞。所以，對于脆性材料制成的構(gòu)件應(yīng)考慮應(yīng)力集中的影響。實驗和實踐表明，應(yīng)力集中對鑄鐵材料的影響較小，這是由于鑄鐵材料自身的不均勻性和缺陷較多的緣故。

需要指出，構(gòu)件在受到周期性變化的應(yīng)力作用或沖擊載荷作用下，不論是塑性材料還是脆性材料制成的構(gòu)件，均應(yīng)考慮應(yīng)力集中對構(gòu)件強度的影響。

4.7 拉伸和壓縮時的強度計算

4.7.1 許用應(yīng)力和安全系數(shù)

為了保證機器和工程結(jié)構(gòu)中的構(gòu)件能安全可靠地工作，要求構(gòu)件在工作時不產(chǎn)生過大的塑性變形或斷裂。構(gòu)件產(chǎn)生過大的塑性變形或斷裂時的應(yīng)力稱為極限應(yīng)力。

對于塑性材料，在屈服時就產(chǎn)生過大的塑性變形，所以應(yīng)以屈服極限σs作為極限應(yīng)力；對于脆性材料，由于它在斷裂時變形很小，所以強度極限σb就是它的極限應(yīng)力。

為保證構(gòu)件在外力作用下，能安全可靠地工作，它的工作應(yīng)力應(yīng)小于材料的極限應(yīng)力。還應(yīng)考慮到構(gòu)件有必要的強度儲備，通常將極限應(yīng)力除以大于1的系數(shù)S，作為構(gòu)件在工作時所允許產(chǎn)生的最大應(yīng)力，稱為許用應(yīng)力，以[σ]表示。系數(shù)S稱為安全系數(shù)。對應(yīng)于屈服極限σs的安全系數(shù)用Ss表示，對應(yīng)于強度極限σb的安全系數(shù)用Sb表示。因此，許用應(yīng)力可由下列兩式表達

應(yīng)注意到脆性材料在拉伸和壓縮時的抗拉強度與抗壓強度是不相等的，所以它的拉伸許用應(yīng)力和壓縮許用應(yīng)力也不相等。

從公式（4-10）和公式（4-11）可知，如果安全系數(shù)取得過小，即接近于1，則許用應(yīng)力就比較接近極限應(yīng)力，構(gòu)件工作時就有危險；如果安全系數(shù)取得過大，則許用應(yīng)力就會偏小，雖然足夠安全，但不夠經(jīng)濟。因此，安全系數(shù)選取得是否確當(dāng)，直接影響到安全和經(jīng)濟問題。

安全系數(shù)的確定與許多因素有關(guān)，例如材料的均勻程度、載荷和應(yīng)力計算的準(zhǔn)確程度、制造工藝過程及構(gòu)件的工作條件等。

在靜載荷作用下，安全系數(shù)的大致數(shù)值如下所述。

塑性材料：軋、鍛件Ss=1.2～2.2

鑄件Ss=1.6～2.5

脆性材料：Sb=2.0～3.5

4.7.2 強度計算

為了保證承受拉（壓）的構(gòu)件能安全、正常地工作，必須使構(gòu)件的工作應(yīng)力不超過材料在拉（壓）時的許用應(yīng)力，即

式（4-12）稱為桿件受軸向拉伸或壓縮時的強度條件。運用此條件可解決工程中下列三種形式的強度計算問題。

1.強度校核

已知桿件的材料、截面尺寸及所受載荷（即已知[σ]，A及N），可用式（4-12）驗算桿件的強度是否足夠。如果σ≤[σ]，則強度足夠；如果σ＞[σ]，則強度不足。

2.設(shè)計截面尺寸

已知桿件所受載荷及所用材料（即已知N和[σ]），可將式（4-12）改寫成

由此可確定桿件所需的橫截面面積，然后確定截面尺寸。

3.確定許可載荷

已知桿件的材料及截面尺寸（即已知[σ]及A），可按式（4-12）計算此桿件能安全地承受的軸力為

N≤A[σ]

由此可確定機械或結(jié)構(gòu)的許可載荷。

【例4-4】 如圖4-16（a）所示為一剛性梁ACB由圓桿CD在C點懸掛連接，B端作用有集中載荷F=25kN。已知CD桿的直徑d=20mm，許用應(yīng)力[σ]=160MPa。

（1）試校核CD桿的強度。

（2）試求結(jié)構(gòu)的許可載荷[F]。

（3）若F=50kN，試設(shè)計CD桿的直徑d。

解：（1）校核CD桿強度。

做AB桿的受力圖，如圖4-16（b）所示。由平衡方程

∑MA=0

有

2FCDl-3Fl=0

得

桿CD的軸力：N=FCD

桿CD的工作應(yīng)力：

所以CD桿安全。

（2）求結(jié)構(gòu)許可載荷[F]。

由

得

由此可得結(jié)構(gòu)的許可載荷[F]=33.5kN。

（3）若F=50kN，設(shè)計圓桿直徑d。

由

即

取

d=25mm。

本章小結(jié)

1．本章建立了拉、壓桿的應(yīng)力，變形與軸力，截面尺寸，材料性能間的關(guān)系；討論了強度計算問題；介紹了材料在拉、壓時的主要力學(xué)性能。本章研究的問題、運用的方法、涉及的概念等將貫穿于整個材料力學(xué)之中，讀者不僅要掌握拉、壓桿的軸力、應(yīng)力、變形及其強度計算，而且需清晰地理解本學(xué)科的基本概念、理論和方法。

2．軸力、應(yīng)力。凡作用線垂直于桿的橫截面、且通過其形心的內(nèi)力，稱為軸力。軸力的大小等于截面一側(cè)沿軸線作用的外力代數(shù)和。過同一點不同方向截面上的軸力相同。拉、壓桿的內(nèi)力是軸力。

3．應(yīng)力是單位面積上的內(nèi)力。拉、壓桿截面上的應(yīng)力均勻分布。橫截面上只有正應(yīng)力，其計算公式為σ=。

4．胡克定律建立了應(yīng)力（力）和應(yīng)變（變形）間的關(guān)系。軸向拉、壓時的胡克定律

EA稱為桿的抗拉（壓）剛度。胡克定律是今后分析變形和建立應(yīng)力計算公式的理論基礎(chǔ)，應(yīng)熟練掌握，并注意它的適用范圍。

5．強度計算是材料力學(xué)研究的主要問題。強度條件是強度計算的依據(jù)，基本變形桿的強度條件，都是限制最大應(yīng)力不超過其許用應(yīng)力。拉、壓桿強度條件為

許用應(yīng)力是保證構(gòu)件具有足夠強度，材料允許承擔(dān)的最大應(yīng)力值。

6．強度計算的大致步驟為：（1）計算桿受的外力，并畫其計勢簡圖與軸力圖；（2）分析危險截面位置；（3）建立危險截面的強度條件，進行計算。

7．材料的力學(xué)性能是進行強度、剛度和穩(wěn)定性計算不可缺少的實驗資料。應(yīng)清楚理解表征材料力學(xué)性能的各種指標(biāo)，并注意塑性材料與脆性材料的區(qū)別。

強度指標(biāo)——屈服極限σs，強度極限σb。

剛度指標(biāo)——彈性模量E。

塑性指標(biāo)——斷后伸長率δ，斷面收縮率ψ。

思考題和習(xí)題4

4-1 如圖4-17所示，已知P=20kN，Q=60kN，桿的橫截面面積A=500mm2。試求桿各段橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力。

4-2 在圓鋼桿上銑去一槽如圖4-18所示。已知鋼桿受拉力P=15kN作用，鋼桿直徑d=20mm。試求I-I和II-II截面上的應(yīng)力。在截面I-I上因銑槽而減小的面積可近似地按長為d，寬為4/d的矩形面積計算。

4-3 如圖4-19所示，為了改進萬噸水壓機設(shè)計，在四立柱小型水壓機上做模型試驗。當(dāng)小型水壓機的中心載荷為P時，在標(biāo)距L=100mm內(nèi)，測得立柱的軸向變形ΔL=0.0296mm。立柱材料為鑄鋼，彈性模量E=200GPa，問此時立柱截面上的應(yīng)力有多大？中心載荷P又等于多少？

4-4 用繩索起吊重G=10kN的木箱，如圖4-20所示。設(shè)繩索的直徑d=25mm，許用應(yīng)力[σ]=10MPa。試問繩索的強度是否足夠？如果強度不足，則繩索的直徑應(yīng)取多大才能安全工作？

4-5 如圖4-21所示，鋼桿受拉力P=40kN，若已知鋼桿材料的許用應(yīng)力[σ]=100MPa，橫截面為矩形，且b=2a，試確定尺寸a和b。

4-6 自制旋臂吊車尺寸如圖4-22所示，電動葫蘆能沿橫梁AB移動。已知電動葫蘆自重G=5kN，起吊重物重W=15kN。拉桿BC為圓形截面，其材料采用Q235A鋼，許用應(yīng)力[σ]=120MPa。試確定拉桿BC的直徑d。