2.3 基于Allen-Cahn方程的去噪模型

2.3.1 面積保留的MCM模型

設演化曲線為C（s，t）=（x（s，t），y（s，t）），s是任意參數化變量，t是時間，則曲線沿其單位法矢方向的演化過程可以用如下的偏微分方程表示：

式中，V（C）是速度函數，它決定曲線C上每點的演化速度。

研究中最常用的曲線演化是曲率演化。曲率演化可由如下的幾何熱力學方程加以描述：

式中，α為正值常數。不難證明，任意形狀的簡單閉合曲線，在上述偏微分方程的驅動下，將會逐漸變平滑，并最終收縮成一個圓點。因此，曲率演化和參數化形變模型的彈性內力的變形效果很相似。

假設曲線演化過程充分光滑，經過一個充分小的時間間隔τ后，生成新曲線

C（t+τ）={y∈R2|y=x+ρ（x，τ）·N（x，t），x∈C（t）}（2.3）

其中，ρ是光滑函數。設曲線C的法向速度，則曲線C（t）所圍區域A的變化公式為

由于封閉曲線沿弧長的曲率積分滿足∫C（t）κ（s）ds=2π，因此單位長度封閉曲線所圍區域的變化值恰好等于曲率均值，其中L表示曲線C的長度。由于曲線C（t）將區域Ωt分成區域和，當MCM中法向速度κ減去后，就可以使曲線“面積”得到保留。因此，面積a（t）保留的MCM模型（Area-Preserving Mean Curvature Motion，APMCM）的數學表述為：

2.3.2 非局部形式Allen-Cahn方程的水平集表示

由于式（2.5）是一種顯式曲線演化方程，很難對幾何拓撲變化復雜的曲線進行有效表示。水平集方法是一種有效提高封閉移動界面在演化過程中幾何拓撲自適應能力的計算工具，其主要思想是將移動界面作為零水平集嵌入高一維的水平集函數中，通過確定封閉超曲面零水平集的演化行為確定移動界面的演化。Allen-Cahn方程源于相位場模型中的分界線運動理論，在滿足一定約束條件后，可以作為一種有效的面積保留MCM模型的水平集表示。

設Ω0和Ω1是區域Ω中函數值分別為-1和1的兩個區域，W（u）為光滑等長雙井勢能函數，則Allen-Cahn方程的數學表述為

式中，ξ是Ω0和Ω1間移動界面的寬度，w（u）是W（u）的導數，通常取。

Allen-Cahn方程的一個研究熱點是它的非局部形式，非局部形式Allen-Cahn方程是將原方程中的w（u）項分解成兩項：

式中，f（u）是勢能函數的導數，是f（u）在區域Ω中的均值。非局部形式Allen-Cahn方程有兩個好處：一是可以保證當ξ→0+時，該方程的水平集曲線運動滿足面積保留平均曲率運動式（2.5），因此具有保面積特性；二是可以保證對水平集曲線的積分值保持不變，這就為終止演化過程提供判斷依據，即一旦演化水平集曲線的積分值小于閾值γ，則終止進一步演化，避免平凡穩態解的產生。

在圖像處理中，為了得到Allen-Cahn方程的水平集表示，本章提出一個新的勢能函數來代替原先的勢能函數W（u）。新舊勢能函數及其各自的導數函數如圖2.1所示。在圖2.1（a）中，Wnew（u）能夠在（0，1）間產生一個局部極大值，從而為圖2.1（b）中提供一個（0，1）區間內的零點fnew（0.5）=0，且區間（0，0.5）和（0.5，1）的符號相反，這就為水平集函數的構造提供基礎。而圖2.1（c）中，W（u）在（0，1）區間內單調遞減，因此無法在圖2.1（d）中的（0，1）區間內產生一個零點。

利用fnew（u）可以方便地構造出Allen-Cahn方程的0.5級水平集表示，它的0.5級水平集表示原曲線Ct（t）={（x，y）∈Ω|u（x，y，t）=0.5}；同時，0.5級水平集曲線將區域Ωt分成區域和。

因此，非局部形式Allen-Cahn方程的水平集演化模型為

由于曲線按照Allen-Cahn方程演化，在進行噪聲去除的同時，拓撲紋理中紋線等圖像特征也被弱化，因此必須對曲線演化行為進行有效控制。本章通過引入圖像梯度模的減函數來實現演化行為控制，其中，I是圖像的灰度矩陣，Gσ是噪聲尺度為σ的高斯核，*表示卷積算子。邊緣指示函數g（I）根據灰度變化劇烈的情況確定曲線在該點的演化行為，當靠近目標邊界時，減小曲線演化的速度，直至停止曲線的演化。

因此，包含曲線演化行為控制的非局部Allen-Cahn方程的水平集演化模型為

2.3.3 邊界演化的行為控制

但是，式（2.9）對圖像邊緣的邊界控制是很弱的，這主要體現在：當圖像邊緣所在邊界點兩端的不同強度的像素點在函數g（I）的控制作用下，式（2.9）的右端項將“迅速”趨于0，就不能有效地區分邊界點兩端的不同強度的像素點的演化行為，即無法使它們以不同的速度和方向“緩慢”靠近目標邊界，從而導致橫跨目標邊界情況的發生。因此，為避免出現演化曲線橫跨目標邊界的情況，本章引入對流項速度?g·?u以保證演化曲線停在目標邊界上，而不橫跨目標邊界。不失一般性，我們以一維邊緣曲線為例說明對流項速度對圖像邊緣的邊界控制作用。圖2.2所示為在一維情況下，對流項速度?g·?u=g′（Γ′）的生成情況。設圖2.2（a）所示為圖像中的一條邊緣曲線Γ，Γ在O點兩旁的強度值符號不同，即Γ|OA≤0且Γ|OB≥0，圖2.2（b）所示為曲線Γ的一階導數Γ′，圖2.2（c）所示為函數g在Γ′上的值g（Γ′），圖2.2（d）所示為函數g（Γ′）的一階導數g′（Γ′），g′（Γ′）在O點兩旁的符號不同，即g′（Γ′）|OA≤0且g′（Γ′）|OB≥0。由于OA段曲線靠近O點時的速度g′（Γ′）|OA和OB段曲線靠近O點時的速度g′（Γ′）|OB的方向相反，即OA段曲線（強度值小）以負值速度靠近，而OB段曲線（強度值大）以正值速度靠近，這樣就可以使邊界點O兩端的不同強度的像素點能夠以不同的速度和方向“緩慢”靠近目標邊界，而不是“迅速”靠近目標邊界，從而避免橫跨目標邊界情況的發生。

綜上所述，包含曲線演化行為控制和邊界控制功能的基于非局部Allen-Cahn方程的水平集演化模型為

當ξ充分小時，式（2.10）包含了與面積保留MCM式（2.5）的一致性，因此確保了曲線在演化過程中的保面積特性，較好地避免了特征紋線形狀的失真，保留了拓撲紋線的形狀。