2.2 拓撲紋理圖像的去噪方法

拓撲紋理圖像在獲取過程中包含了很多噪聲，噪聲不僅惡化了圖像的質量，使圖像模糊，而且淹沒了紋線特征。現有去噪模型在進行噪聲去除的同時，特征曲線演化后的形狀漸凸，導致形狀失真。同時，現有去噪模型的拓撲自適應能力較差，無法有效表示特征曲線的分裂和合并等情況。由于拓撲紋理圖像中包含很多拓撲形狀復雜的曲線邊緣，因此為了在噪聲去除的同時實現對曲線邊緣的保留，必須采用具有保細節功能的去噪方法。

2.2.1 拓撲紋理去噪的基本思路

近年來，國內外學者對保邊去噪算法的研究比較活躍。Ceccarelli、袁澤劍和耿茵茵采用非線性異質擴散方程模型，將僅具有同質擴散特性的高斯光滑核替換為具有保邊性能的定向擴散，使得擴散模型能夠在消除噪聲的同時保留邊緣。楊朝霞采用變正則參數方法，通過選取變動的正則參數，構造出具有變正則參數的變分模型，使得含噪圖像在去噪的同時，具有保邊緣的自適應能力。朱菊華提出一種基于紋理分析的保細節平滑濾波器，通過自適應的模板選擇來進行平滑濾波，從而兼顧了降噪和保邊功能。

此外，曲線演化去噪模型也是近年來提出的一種有效的保形去噪方法。Evans和Barles提出的平均曲率運動（Mean Curvature Motion，MCM）是一種有效的曲線演化模型，當曲線以平均曲率的速度沿法線方向收縮時，由于高曲率曲線（如噪聲）比低曲率曲線（如紋線）收縮的速度更快，因此該模型非常適用于噪聲去除和曲線平滑。但該模型在用于圖像演化去噪時主要存在兩個問題：一是在噪聲去除的同時特征曲線演化后的形狀都漸凸，導致形狀失真；二是曲線演化時的拓撲自適應能力較差，無法有效表示特征曲線的分裂和合并等情況。

針對MCM模型的形狀失真問題，Gage和Dolcetta利用曲線所圍區域的變化可以有效反映曲線形狀失真的這一客觀事實，提出一種保“面積”的平均曲率運動模型。通過對曲線演化時所圍面積的約束，使曲線在演化時的面積得到保留，從而克服了特征曲線在MCM模型中形狀失真的缺點。此外，針對MCM模型的拓撲自適應能力弱的缺陷，Evans和Malladi采用水平集方法進行圖像去噪，通過對隱式水平集函數的演化，使封閉移動界面有效適應幾何拓撲的變化，從而克服了曲線演化時拓撲自適應能力較差的缺點。

但是，文獻[28，29]和文獻[30，31]各自只針對了MCM模型一個方面的缺陷，而沒有考慮該模型另一方面的缺陷，這主要表現在：文獻[28，29]雖然克服了特征曲線在MCM模型中形狀失真的缺點，但是由于該模型中的面積保留MCM模型是曲線演化的顯式形式，因此模型的拓撲自適應能力沒有得到有效改善；文獻[30，31]雖然提高了曲線演化時的拓撲自適應能力，但是特征曲線形狀失真現象沒有得到有效抑制，此外由于算法直接對水平集方程進行有限差分數值計算，因此計算開銷比較大。

2.2.2 Allen-Cahn非線性拋物方程

近幾十年以來，隨著各門學科的進步，人們越來越認識到非線性拋物型偏微分方程的理論對實際應用起著重要的指導作用。通過對非線性拋物型方程的研究，我們在理論上可以更好地分析各類物理、化學、生物模型的變化形勢。

非線性拋物方程是一類重要的偏微分方程，來源于自然界中廣泛存在的非線性現象。它的模型來源于自然界廣泛存在的擴散現象、滲流理論、相變理論、生物化學以及生物群體動力學等領域。在圖像處理的應用領域中，特別是相變理論中的Allen-Cahn方程、流體力學中的Cahn-Hilliard方程等，這些方程不僅有明確的物理背景，而且還有廣泛的應用價值。

1979年Cahn和他的學生Allen提出了晶體材料在反相位邊界上的運動，利用Allen-Cahn模型作為描述二元合金在一定溫度下相位分離過程的簡單模型。為了描述合金中的兩相流運動，在文獻[32]中引入了如下的一類二階拋物方程的初邊值問題：，初始和邊界條件為：，其中Ω?Rn，其邊界?Ω光滑，n是區域Ω邊界的外法向，t＜0，參數ξ可用來表示兩相流相變邊界的寬度，w（u）為一個雙位井位勢函數，如w（u）=（u2-1）2，此時，u=±1為其平衡態。標量函數u表示兩種材料混合物質的物理狀態，即合金的濃度，在u=±1時，表示兩種純凈沒有摻雜質的物理狀態。邊界條件說明在邊界上沒有質量損失。

Allen-Cahn模型可以描述兩相流體的連續變化，有個寬度為ξ的界面層也可以被刻畫出來，這和用間斷的方法來描述界面是完全不同的。Allen-Cahn模型的一個顯著優點就是不必確定界面的位置形狀，只需要求解出變量函數u。

目前，對Allen-Cahn方程已有許多相關的研究，如對ξ→0時的漸近分析最早由Allen、Cahn以及Rubinstein等提出。對此漸近分析的嚴格論證是由Bronsard、Ilmanen等給出的。Allen-Cahn方程被廣泛應用于一系列問題中，如相變、圖像分析、平均曲率流的運動、晶體生長等。

本章結合了文獻[28，29]面積保留平均曲率運動模型和文獻[30，31]水平集去噪模型的各自優勢，提出一種基于Allen-Cahn方程的面積保留水平集演化去噪算法（Area-Preserving Nonlocal Allen-Cahn Method，APNACM），該算法不僅提高了模型對復雜紋線拓撲形變的自適應能力，而且有效地避免了特征紋線形狀的失真。為避免直接對水平集方程進行有限差分數值計算，本章采用改進的快速行進（Fast Marching Method，FMM）算法。Sethian提出的經典FMM算法雖然能加快水平集方程的求解速度，降低算法實現的復雜度，但是它要求移動界面的行進方向保持不變，因此不適合于Allen-Cahn方程這類行進方向可變的速度函數的計算。本章采用改進FMM算法，在保留經典FMM算法快速運行的前提下，提高它對可變行進方向的自適應能力。實驗結果表明，采用本章算法不僅能降低拓撲紋理圖像噪聲水平，而且能有效地避免紋線的形變失真。