第2章 基于Allen-Cahn模型的拓?fù)浼y理圖像去噪研究

2.1 圖像去噪理論

圖像在形成、傳輸和存儲(chǔ)過程中，由于受到噪聲的干擾而退化。一般而言，人們希望知道的是真實(shí)圖像，而觀測到的往往都是受了不可預(yù)知的噪聲污染了的圖像。這些噪聲的存在使得所觀測到的圖像模糊不清，該注意的細(xì)節(jié)被忽略，該識(shí)別的目標(biāo)變得不可識(shí)別，嚴(yán)重影響了圖像的應(yīng)用效果。圖像去噪是圖像處理中一項(xiàng)應(yīng)用比較廣泛的技術(shù)，其作用是為了改善圖像的質(zhì)量，提高圖像的信噪比，突出圖像的期望特征。

圖像去噪方法根據(jù)對(duì)圖像作用域的不同，大致可以分為兩大類：空間域方法和變換域方法。空間域方法，主要是利用圖像信號(hào)和濾波函數(shù)進(jìn)行卷積來完成的，這個(gè)過程很多情況下可利用模板進(jìn)行處理，不同的濾波函數(shù)得到不同的模板。空間域?yàn)V波包括均值濾波、中值濾波和維納濾波換域方法需要對(duì)圖像進(jìn)行變換，并在頻率域內(nèi)用圖像的頻域信號(hào)與傳遞函數(shù)相乘來完成圖像濾波。當(dāng)處理完畢后，需要再使用逆變換變回空間域，從而得到普通意義上的圖像。

傳統(tǒng)的圖像去噪方法在去噪過程中，不可避免地會(huì)模糊一些圖像的細(xì)節(jié)，丟失一些邊緣和紋理信息，這些細(xì)節(jié)信息包括幾何形狀細(xì)節(jié)，如紋理、細(xì)線、邊緣和對(duì)比度變化細(xì)節(jié)。噪聲的去除和細(xì)節(jié)的保護(hù)在圖像去噪過程中是一對(duì)矛盾關(guān)系，因?yàn)樵肼暫图?xì)節(jié)都屬于圖像信號(hào)中的高頻部分，很難區(qū)分出它們，所以在濾除圖像噪聲的同時(shí)，也會(huì)對(duì)圖像的特征造成破壞，致使圖像失真。為了抑制圖像中的噪聲，更好地復(fù)原因噪聲污染引起的圖像質(zhì)量退化，有必要尋找更好的去噪方法，保證在去除噪聲的同時(shí)，還能保持邊緣和紋理等一些細(xì)節(jié)信息。

在圖像處理的發(fā)展過程中，用偏微分方程的方法進(jìn)行圖像去噪已經(jīng)成為一個(gè)比較受人關(guān)注的研究熱點(diǎn)。自20世紀(jì)90年代以來，使用偏微分方程進(jìn)行圖像處理的方法獲得了較大的發(fā)展，逐步成為一門十分具有吸引力的研究課題。偏微分方程從分析圖像和噪聲的數(shù)學(xué)模型入手，結(jié)合了數(shù)學(xué)理論及多種數(shù)學(xué)工具，建立了去噪和偏微分方程相聯(lián)系的理論。

概括地說，采用偏微分方程方法進(jìn)行圖像處理具有以下優(yōu)勢：

①偏微分方程給出了分析圖像的連續(xù)模型，離散的濾波表現(xiàn)為連續(xù)的微分算子，因而使得網(wǎng)格的劃分、局部非線性濾波易于實(shí)現(xiàn)；

②變分偏微分方程可以直接處理圖像中視覺上重要的幾何特征，如梯度、切線、曲率、水平集等；

③變分偏微分方程可以有效地模擬具有視覺意義的動(dòng)態(tài)過程，如各項(xiàng)同性擴(kuò)散、各項(xiàng)異性擴(kuò)散以及信息的傳輸機(jī)制；

④當(dāng)圖像表示為連續(xù)信號(hào)時(shí)，偏微分方程可視為在無窮小鄰域中的局部濾波器的迭代，這種特性允許將已有的濾波方法進(jìn)行合成和分類，并可能形成新的濾波方法；

⑤基于偏微分方程的圖像去噪方法可以實(shí)現(xiàn)圖像的非線性去噪，在去除圖像噪聲的同時(shí)保留圖像的邊緣等信息；

⑥借助偏微分方程的數(shù)值分析理論，算法高速、準(zhǔn)確且穩(wěn)定，黏性解理論提供了嚴(yán)格應(yīng)用偏微分算子的理論基礎(chǔ)。

源于變分方法和形變模型的偏微分方程方法已經(jīng)成為圖像處理與分析中的一個(gè)重要工具。這方面最早的研究工作可以追溯到Gabor等關(guān)于圖像光滑和圖像增強(qiáng)的研究。而這個(gè)領(lǐng)域?qū)嵸|(zhì)性的創(chuàng)始工作歸功于Koenderink和Witkin各自獨(dú)立的研究。在他們的研究工作中，圖像的多尺度表示是通過Gaussian平滑來獲得的，這等價(jià)于利用經(jīng)典的熱傳導(dǎo)方程來演化圖像得到一個(gè)各向同性擴(kuò)散流。但由于Gaussian濾波器在去噪的過程中不能夠很好地保持邊緣，所以很多學(xué)者提出了改進(jìn)策略。

最著名的方法是在1990年由Perona和Malik提出的非線性偏微分方程去噪模型，該模型的提出對(duì)偏微分方程在圖像處理中的應(yīng)用研究起到了推波助瀾的作用。Perona和Malik的方法雖然在去噪應(yīng)用中有良好的表現(xiàn)，但是在理論上這個(gè)模型存在逆向擴(kuò)散，是一個(gè)病態(tài)方程。這種逆向熱擴(kuò)散雖然能在一定條件下增強(qiáng)圖像邊緣的強(qiáng)度，取得較好的去噪效果，但是該方程本質(zhì)上是不穩(wěn)定的，不適當(dāng)?shù)膮?shù)設(shè)置可能導(dǎo)致方程產(chǎn)生完全畸變的結(jié)果。

為此，很多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了本質(zhì)的分析，提出了很多改進(jìn)的非線性擴(kuò)散模型。基于非線性擴(kuò)散方程的去噪方法在去除噪聲的同時(shí)，能夠很好地保持圖像中目標(biāo)的幾何結(jié)構(gòu)。其基本思路是在區(qū)域內(nèi)和目標(biāo)邊緣處采用不同的平滑策略：在區(qū)域內(nèi)加速平滑，而在邊緣處抑制平滑。Alvarez對(duì)Perona-Malik模型的擴(kuò)散系數(shù)做了改進(jìn)，提出基于曲率同質(zhì)擴(kuò)散方法，該模型具有選擇光滑的特性，圖像保邊去噪的效果得到了明顯改進(jìn)。石澄賢提出了在小波域上將非線性擴(kuò)散用于圖像去噪，其基本思想是把保真項(xiàng)定義在圖像小波域的大尺度信息上，但不能保持細(xì)節(jié)信息。

基于偏微分方程的圖像處理方法的另一個(gè)重要來源是幾何圖像模型。基于幾何圖像模型的方法和各向異性擴(kuò)散方程是異曲同工的。幾何圖像模型的意義在于結(jié)合圖像數(shù)據(jù)關(guān)于目標(biāo)形狀、位置等其他先驗(yàn)知識(shí)約束可以為輪廓提取、形狀建模、圖像分割、立體匹配、運(yùn)動(dòng)跟蹤等一系列計(jì)算機(jī)視覺問題提供一個(gè)統(tǒng)一的解決方法。

比較經(jīng)典的幾何圖像模型包括：平均曲率流模型、開關(guān)曲率流模型、最小曲面模型、Gauss曲率運(yùn)動(dòng)模型等。平均曲率流模型描述了曲線以平均曲率為速度，沿著法線方向進(jìn)行運(yùn)動(dòng)的理論模型。Luis提出了平均曲率運(yùn)動(dòng)擴(kuò)散方程（Mean Curvature Motion，MCM），該方法僅保留沿垂直于梯度方向，也就是切線方向上的擴(kuò)散，能夠很好地在保持目標(biāo)邊緣的同時(shí)去除噪聲，但是由于該方法的速度項(xiàng)與圖像的局部曲率和梯度模有關(guān)，因此造成圖像中目標(biāo)尖角的演化速度比邊緣快，使尖角丟失。同時(shí)，由于該方法總是沿著一個(gè)方向擴(kuò)散，因此整體去噪速度也比較慢。賈迪野考慮到高階的非線性擴(kuò)散對(duì)高頻噪聲平滑速度更快，提出了利用方向曲率模來描述圖像平滑度的泛函，進(jìn)而得到高階的非線性擴(kuò)散方程對(duì)圖像進(jìn)行去噪，取得了很好的效果。

去噪效率不高是平均曲率流模型的典型缺點(diǎn)，采用該模型對(duì)圖像處理的結(jié)果容易帶有階躍效應(yīng)。該模型的另一缺點(diǎn)是容易丟失目標(biāo)中的尖角等曲率比較大的結(jié)構(gòu)，對(duì)此有學(xué)者提出了改進(jìn)模型。開關(guān)曲率流模型就是其中之一，它主要是在判斷局部位置是否存在尖角的基礎(chǔ)上對(duì)尖角進(jìn)行保護(hù)處理。對(duì)經(jīng)典平均曲率曲面演化模型的改進(jìn)，典型的如Overgaard提出的利用曲面的高斯曲率控制曲面演化的模型，該模型的擴(kuò)散速度與高斯曲率有關(guān)，因?yàn)樵趫D像的邊緣處曲面的高斯曲率接近于零，因此該模型能夠很好地保護(hù)邊緣，甚至小尺度結(jié)構(gòu)單元等信息。

幾何圖像模型的求解處理方法主要包括參數(shù)化模型方法和隱式模型方法。前者通常在離散的三角形或多邊形網(wǎng)格曲面上求解偏微分方程，并涉及梯度及拉普拉斯算子等微分算子的復(fù)雜計(jì)算，且當(dāng)演化曲面拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生變化時(shí)，必須進(jìn)行相應(yīng)的處理并進(jìn)行重新參數(shù)化。而以水平集方法為代表的動(dòng)態(tài)隱式方法能自動(dòng)處理拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變化的曲面。水平集方法由Osher和Sethian提出，其基本思想是將n維空間的問題拓展到n+1維空間來求解，將正在演化的閉合曲面的問題轉(zhuǎn)化為更高維空間中的水平集函數(shù)的隱式解，從而可將一般曲面演化轉(zhuǎn)化為水平集函數(shù)零等值面的演化，這樣避免了對(duì)演化曲面的參數(shù)化過程。水平集函數(shù)的演化方程可采用簡單的差分格式進(jìn)行離散，并能自動(dòng)處理曲面拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的變化。目前，水平集方法已經(jīng)廣泛應(yīng)用于三維曲面處理的各個(gè)方面，如曲面去噪、曲面修復(fù)以及曲面上圖像處理等。