第2章 基于Allen-Cahn模型的拓撲紋理圖像去噪研究

2.1 圖像去噪理論

圖像在形成、傳輸和存儲過程中，由于受到噪聲的干擾而退化。一般而言，人們希望知道的是真實圖像，而觀測到的往往都是受了不可預知的噪聲污染了的圖像。這些噪聲的存在使得所觀測到的圖像模糊不清，該注意的細節被忽略，該識別的目標變得不可識別，嚴重影響了圖像的應用效果。圖像去噪是圖像處理中一項應用比較廣泛的技術，其作用是為了改善圖像的質量，提高圖像的信噪比，突出圖像的期望特征。

圖像去噪方法根據對圖像作用域的不同，大致可以分為兩大類：空間域方法和變換域方法。空間域方法，主要是利用圖像信號和濾波函數進行卷積來完成的，這個過程很多情況下可利用模板進行處理，不同的濾波函數得到不同的模板。空間域濾波包括均值濾波、中值濾波和維納濾波換域方法需要對圖像進行變換，并在頻率域內用圖像的頻域信號與傳遞函數相乘來完成圖像濾波。當處理完畢后，需要再使用逆變換變回空間域，從而得到普通意義上的圖像。

傳統的圖像去噪方法在去噪過程中，不可避免地會模糊一些圖像的細節，丟失一些邊緣和紋理信息，這些細節信息包括幾何形狀細節，如紋理、細線、邊緣和對比度變化細節。噪聲的去除和細節的保護在圖像去噪過程中是一對矛盾關系，因為噪聲和細節都屬于圖像信號中的高頻部分，很難區分出它們，所以在濾除圖像噪聲的同時，也會對圖像的特征造成破壞，致使圖像失真。為了抑制圖像中的噪聲，更好地復原因噪聲污染引起的圖像質量退化，有必要尋找更好的去噪方法，保證在去除噪聲的同時，還能保持邊緣和紋理等一些細節信息。

在圖像處理的發展過程中，用偏微分方程的方法進行圖像去噪已經成為一個比較受人關注的研究熱點。自20世紀90年代以來，使用偏微分方程進行圖像處理的方法獲得了較大的發展，逐步成為一門十分具有吸引力的研究課題。偏微分方程從分析圖像和噪聲的數學模型入手，結合了數學理論及多種數學工具，建立了去噪和偏微分方程相聯系的理論。

概括地說，采用偏微分方程方法進行圖像處理具有以下優勢：

①偏微分方程給出了分析圖像的連續模型，離散的濾波表現為連續的微分算子，因而使得網格的劃分、局部非線性濾波易于實現；

②變分偏微分方程可以直接處理圖像中視覺上重要的幾何特征，如梯度、切線、曲率、水平集等；

③變分偏微分方程可以有效地模擬具有視覺意義的動態過程，如各項同性擴散、各項異性擴散以及信息的傳輸機制；

④當圖像表示為連續信號時，偏微分方程可視為在無窮小鄰域中的局部濾波器的迭代，這種特性允許將已有的濾波方法進行合成和分類，并可能形成新的濾波方法；

⑤基于偏微分方程的圖像去噪方法可以實現圖像的非線性去噪，在去除圖像噪聲的同時保留圖像的邊緣等信息；

⑥借助偏微分方程的數值分析理論，算法高速、準確且穩定，黏性解理論提供了嚴格應用偏微分算子的理論基礎。

源于變分方法和形變模型的偏微分方程方法已經成為圖像處理與分析中的一個重要工具。這方面最早的研究工作可以追溯到Gabor等關于圖像光滑和圖像增強的研究。而這個領域實質性的創始工作歸功于Koenderink和Witkin各自獨立的研究。在他們的研究工作中，圖像的多尺度表示是通過Gaussian平滑來獲得的，這等價于利用經典的熱傳導方程來演化圖像得到一個各向同性擴散流。但由于Gaussian濾波器在去噪的過程中不能夠很好地保持邊緣，所以很多學者提出了改進策略。

最著名的方法是在1990年由Perona和Malik提出的非線性偏微分方程去噪模型，該模型的提出對偏微分方程在圖像處理中的應用研究起到了推波助瀾的作用。Perona和Malik的方法雖然在去噪應用中有良好的表現，但是在理論上這個模型存在逆向擴散，是一個病態方程。這種逆向熱擴散雖然能在一定條件下增強圖像邊緣的強度，取得較好的去噪效果，但是該方程本質上是不穩定的，不適當的參數設置可能導致方程產生完全畸變的結果。

為此，很多學者對其進行了本質的分析，提出了很多改進的非線性擴散模型。基于非線性擴散方程的去噪方法在去除噪聲的同時，能夠很好地保持圖像中目標的幾何結構。其基本思路是在區域內和目標邊緣處采用不同的平滑策略：在區域內加速平滑，而在邊緣處抑制平滑。Alvarez對Perona-Malik模型的擴散系數做了改進，提出基于曲率同質擴散方法，該模型具有選擇光滑的特性，圖像保邊去噪的效果得到了明顯改進。石澄賢提出了在小波域上將非線性擴散用于圖像去噪，其基本思想是把保真項定義在圖像小波域的大尺度信息上，但不能保持細節信息。

基于偏微分方程的圖像處理方法的另一個重要來源是幾何圖像模型。基于幾何圖像模型的方法和各向異性擴散方程是異曲同工的。幾何圖像模型的意義在于結合圖像數據關于目標形狀、位置等其他先驗知識約束可以為輪廓提取、形狀建模、圖像分割、立體匹配、運動跟蹤等一系列計算機視覺問題提供一個統一的解決方法。

比較經典的幾何圖像模型包括：平均曲率流模型、開關曲率流模型、最小曲面模型、Gauss曲率運動模型等。平均曲率流模型描述了曲線以平均曲率為速度，沿著法線方向進行運動的理論模型。Luis提出了平均曲率運動擴散方程（Mean Curvature Motion，MCM），該方法僅保留沿垂直于梯度方向，也就是切線方向上的擴散，能夠很好地在保持目標邊緣的同時去除噪聲，但是由于該方法的速度項與圖像的局部曲率和梯度模有關，因此造成圖像中目標尖角的演化速度比邊緣快，使尖角丟失。同時，由于該方法總是沿著一個方向擴散，因此整體去噪速度也比較慢。賈迪野考慮到高階的非線性擴散對高頻噪聲平滑速度更快，提出了利用方向曲率模來描述圖像平滑度的泛函，進而得到高階的非線性擴散方程對圖像進行去噪，取得了很好的效果。

去噪效率不高是平均曲率流模型的典型缺點，采用該模型對圖像處理的結果容易帶有階躍效應。該模型的另一缺點是容易丟失目標中的尖角等曲率比較大的結構，對此有學者提出了改進模型。開關曲率流模型就是其中之一，它主要是在判斷局部位置是否存在尖角的基礎上對尖角進行保護處理。對經典平均曲率曲面演化模型的改進，典型的如Overgaard提出的利用曲面的高斯曲率控制曲面演化的模型，該模型的擴散速度與高斯曲率有關，因為在圖像的邊緣處曲面的高斯曲率接近于零，因此該模型能夠很好地保護邊緣，甚至小尺度結構單元等信息。

幾何圖像模型的求解處理方法主要包括參數化模型方法和隱式模型方法。前者通常在離散的三角形或多邊形網格曲面上求解偏微分方程，并涉及梯度及拉普拉斯算子等微分算子的復雜計算，且當演化曲面拓撲結構發生變化時，必須進行相應的處理并進行重新參數化。而以水平集方法為代表的動態隱式方法能自動處理拓撲結構變化的曲面。水平集方法由Osher和Sethian提出，其基本思想是將n維空間的問題拓展到n+1維空間來求解，將正在演化的閉合曲面的問題轉化為更高維空間中的水平集函數的隱式解，從而可將一般曲面演化轉化為水平集函數零等值面的演化，這樣避免了對演化曲面的參數化過程。水平集函數的演化方程可采用簡單的差分格式進行離散，并能自動處理曲面拓撲結構的變化。目前，水平集方法已經廣泛應用于三維曲面處理的各個方面，如曲面去噪、曲面修復以及曲面上圖像處理等。