1.1 有限元分析簡介

AMI采用的基本思想是工程領(lǐng)域中最為常見的有限元方法，其網(wǎng)格模型如圖1-1所示。有限元法的靈活性很大，對邊界形狀的描述具有良好的適應(yīng)性，可以模擬復(fù)雜的邊界情況問題，因而為分析人員所青睞。

有限元法的應(yīng)用領(lǐng)域從最初的離散彈性系統(tǒng)發(fā)展到后來進(jìn)入連續(xù)介質(zhì)力學(xué)之中，目前，廣泛應(yīng)用于工程結(jié)構(gòu)強(qiáng)度、熱傳導(dǎo)、電磁場、流體力學(xué)等領(lǐng)域。經(jīng)過多年的發(fā)展，現(xiàn)代的有限元法幾乎可以用來求解所有的連續(xù)介質(zhì)和場問題，包括靜力問題和時間有關(guān)的變化問題及振動問題。

1.1.1 有限元法的基本思想

1. 數(shù)理方程的求解方法

數(shù)理方程的求解過程如圖1-2所示。

2. 有限元法的基本思想

將一個連續(xù)的求解域（連續(xù)體）離散化即分割成彼此用節(jié)點(diǎn)（離散點(diǎn)）互相聯(lián)系的有限個單元，如圖1-3所示。在單元體內(nèi)假設(shè)近似解的模式，用有限個節(jié)點(diǎn)上的未知參數(shù)表征單元的特性，然后用適當(dāng)?shù)姆椒ǎ瑢⒏鱾€單元的關(guān)系式組合成包含這些未知參數(shù)的代數(shù)方程，得出各節(jié)點(diǎn)的未知參數(shù)，再利用插值函數(shù)求出近似解。

有限元法是一種用有限的單元離散連續(xù)體，然后進(jìn)行求解的一種數(shù)值計算的近似方法。由于單元可以分割各種形狀和尺寸的連續(xù)體，所以，它能很好地適應(yīng)復(fù)雜的幾何形狀、材料特性和邊界條件。

由于已有成熟的大型軟件系統(tǒng)支持，有限元法已成為一種非常受歡迎的、應(yīng)用極廣的數(shù)值計算方法。

①特點(diǎn)：基于變分原理，建立基本方程和定解條件的積分提法，建立泛函的變分。

②求解步驟：將求解域劃分單元，在單元內(nèi)假設(shè)近似分布函數(shù)，通過單元分析進(jìn)而建立整個區(qū)域場量的方程。

③應(yīng)用：幾乎所有領(lǐng)域。

④優(yōu)點(diǎn)：幾何形狀復(fù)雜時，通過合適的網(wǎng)格數(shù)得到較高精度。

3. 有限元法的基本求解步驟

①將連續(xù)體離散成有限個單元的組合體。

②利用單元節(jié)點(diǎn)的場量作為基本未知量，選擇一組插值函數(shù)，確定單元內(nèi)相應(yīng)的場量分布。

③建立單元內(nèi)節(jié)點(diǎn)的基本未知量與載荷間的平衡方程。

④將單元內(nèi)節(jié)點(diǎn)基本未知量的平衡方程集成，得出以節(jié)點(diǎn)基本未知量的平衡方程組。

⑤求解代數(shù)方程組，得出各節(jié)點(diǎn)的基本未知量。

在彈性力學(xué)問題中，通常采用單元節(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量，求出節(jié)點(diǎn)位移后，再計算單元的應(yīng)力應(yīng)變，稱為位移型有限元法。若以節(jié)點(diǎn)力為未知參數(shù)，先求出節(jié)點(diǎn)處的節(jié)點(diǎn)力，后求位移與應(yīng)力的方法，稱為力型有限元法。

1.1.2 有限元法的特點(diǎn)

1. 原理清楚，概念明確

有限元法的原理清楚，概念明確，用戶可以在不同的水平上建立起對該方法的理解，并且根據(jù)個人的實(shí)際情況（包括不同學(xué)科、不同背景和不同的理論基礎(chǔ)）來安排學(xué)習(xí)的計劃和進(jìn)度，既可以通過直觀的物理意義來學(xué)習(xí)和使用，也可以從嚴(yán)格的力學(xué)概念和數(shù)學(xué)概念推導(dǎo)。

2. 應(yīng)用范圍廣泛，適應(yīng)性強(qiáng)

有限元法可以用來求解工程中許多復(fù)雜的問題，特別是采用其他數(shù)值計算方法（有限差分法）求解困難的問題，如復(fù)雜結(jié)構(gòu)形狀問題，復(fù)雜邊界條件問題，非均質(zhì)、非線性材料問題，動力學(xué)問題，黏彈性流體流動問題等。目前，有限元法在理論上和應(yīng)用上還在不斷發(fā)展，今后將更加完善，應(yīng)用范圍也會更加廣泛。

3. 有利于計算機(jī)應(yīng)用

有限元法采用矩陣形式表達(dá)，便于編制計算機(jī)程序，從而可以充分利用高性能計算機(jī)的計算優(yōu)勢。由于有限元法計算過程的規(guī)范化，目前，在國內(nèi)外有許多通用程序可以直接使用，非常方便。AMI正是成熟的注射成型的有限元工程分析軟件。