帕斯卡與費曼

大多數人會將17世紀中葉法國賭場中的故事作為概率論史的開端，但實際上早在16世紀的時候，意大利博學家吉羅拉莫·卡爾達諾就開始研究色子賭博中的概率問題了。比如他想知道，連擲4次色子，出現數字6的可能性有多大？將一對色子連擲24次，出現雙6的可能性有多大？

他是這樣計算的：首先，擲一次色子出現數字6的概率為1/6，約等于17%。一般我們在研究概率的時候并不直接寫出百分比，而是將它表示為一個介于0和1的數值，并稱之為P。所以這里我們將擲一次色子出現數字6的概率寫作p=0.17（實際上是0.166666…，但我四舍五入了）。

之后他做出了一個自認為合理的推測：連擲4次色子，出現數字6的概率就會變成前者的4倍，即4/6，約等于0.67。其實只要稍加思索，你就會意識到這肯定不對，因為如此一來連擲6次色子出現數字6的概率就變成6/6，換句話說這變成一個必然事件。但顯然連擲6次色子是有可能每次都不出現數字6的。

令他感到困惑的是，雖然出現數字6的次數與總次數的比的確是0.67，但有時一次實驗中你能看到3次6，有時一次實驗中你1次6也看不到。這是因為他沒有搞清楚“只出現1次數字6”和“至少出現1次數字6”是兩回事。

事實上“連擲4次色子，至少出現1次數字6”的概率并不是0.67，而是0.52。盡管如此，在賠率為1 ∶ 1的情況下，你一直把錢押在“連擲4次色子會出現數字6”上面，仍舊是個正確決策。可是如果你在第二個問題上繼續相信吉羅拉莫·卡爾達諾的結論，那你可就要虧大了。他的計算結果表明，既然一對色子一共有36種結果，雙6在其中只出現一次（p=1/36≈0.03），那么將1對色子連擲24次，出現雙6的概率就是前者的24倍，即24/36=2/3（就像第一個問題一樣，他又得出了p≈0.67的結論）。

如果賠率仍舊為1 ∶ 1，那你就不該相信他的結論，而是應該把錢押在“連擲24次雙色子不會出現雙6”上面，因為“連擲24次雙色子至少出現1次雙6”的概率約為0.49，一直押這個選項會讓你賠個精光。

一個多世紀后的1654年，安托萬·貢博也對這個問題產生了興趣。貢博喜歡將自己稱為“梅雷騎士”，他除了熱愛哲學，還癡迷賭博。和我們一樣，他也意識到了卡爾達諾的結論有問題：一直把錢押在“連擲4次色子至少出現1次數字6”上面能讓你賺錢，但一直把錢押在“連擲24次雙色子至少出現1次雙6”上面會讓你賠錢。

多次試驗之后，貢博得出了一個比卡爾達諾更靠譜的結論?？墒撬怖Щ笃饋砹耍簝蓚€事件的概率為什么會不一樣呢？4 ∶ 6和24 ∶ 36難道不是一回事嗎？于是他邀請自己的朋友、數學家皮埃爾·德·卡爾卡維一起研究這個問題，但兩人仍舊毫無頭緒。無奈之下，兩人又請來共同的朋友——天才數學家布萊茲·帕斯卡。[22]

這個問題的答案其實并不復雜——卡爾達諾完全搞反了：重要的并不是它發生的概率，而是它沒有發生的概率。

在連擲4次色子這個問題中，每次不出現數字6的概率都是5/6，即p≈0.83。如果連擲2次，那么2次都沒有看到數字6的概率是0.83乘以0.83，約等于0.7。每多擲1次色子，你看不到數字6的概率都會下降17%。

如果連擲4次色子，那么數字6完全不出現的概率就是0.83×0.83×0.83×0.83≈0.48（可以簡寫為0.834）。反過來，至少看到1次數字6的概率就是1-0.48=0.52，即52%。如果你在賠率為1 ∶ 1的情況下下注100次，那么你預計可以贏52次，小賺一筆。

假如我們現在每次擲2顆色子來賭雙6，那么正如前面的分析，每次擲出雙6的概率是1/36，即p≈0.03；沒有擲出雙6的概率就是1-1/36=35/36，約等于0.97。

連擲24次，1次雙6都看不到的概率就是0.9724，約等于0.51。因此，至少出現一次雙6的概率就是1-0.51=0.49。如果賠率為1 ∶ 1，那么你下注100次預計只能贏49次，最終會賠錢。

（我們應當為安托萬·貢博點個贊，他肯定花了很多錢才弄明白第一個賭局贏錢的概率是52%，第二個賭局贏錢的概率是49%。他甚至還正確地推測出，在第二個賭局中，投擲次數至少要提高到25，出現雙6的概率才會大于50%?？吹贸鰜恚钦嫦矚g玩色子啊。）

賭場老手安托萬·貢博感到有些意猶未盡，于是又問了帕斯卡一個問題：假定兩個人正在玩一個賭錢游戲，比如撲克或色子，玩到一半就被迫終止，此時其中一人擁有明顯的優勢。這種情況下，怎樣分配賭資才是最公平的？平分顯然不合理，因為有人領先；把錢全給領先的那個人也不太合理，畢竟他還沒有真的贏下賭局。

帕斯卡覺得這個問題很有意思，于是趕忙和皮埃爾·德·費馬（以“費馬大定理”而聞名天下）互通書信進行討論。[23]

這個問題可以追溯至幾百年前的1494年。當時意大利數學家、方濟各會修士盧卡·帕喬利也在研究類似的問題，并將結論寫進了《算術、幾何、比及比例概要》。[24]

他構想了這樣一個場景：兩個人正在進行踢球比賽，每進一個球得10分，最先得到60分的人獲勝。[25]在比賽被迫中斷的時候，其中一人已經得了50分，另一人得了20分。此時比賽的獎金該如何分配？

帕喬利認為，既然兩人目前的得分一共是70，那么得50分的人就應當得到獎金的5/7。

45年后，前面提到的卡爾達諾竟公然嘲笑帕喬利，認為他的答案“荒謬至極”——考慮到卡爾達諾也沒弄明白色子問題，我覺得他還是謙遜一點比較好?？栠_諾設想了一個稍有不同的場景：兩個人玩游戲，先得10分的人獲勝，當游戲被迫終止時，一個人得7分，另一人得9分。按照帕喬利的觀點，此時得7分的玩家應該分到7/16的獎金，都快占總獎金的一半了。得9分的玩家的獎金只比前者多一點，這顯然很不公平，畢竟他只差1分就獲勝了，而前者還差3分呢。

卡爾達諾的確給出了一個更好的方案?！八殃P注點放在了‘雙方還差多少分贏得比賽’上面，而不是‘雙方已經得了多少分’上面。”普拉卡什·戈羅徹恩如此評價道。[26]

可惜卡爾達諾離正確答案還是差了一點。他自己創造了一個叫作“勝利距離”的概念，來表示某選手距離勝利還有多遠。選手差X分贏得比賽，他的勝利距離就是X +（X-1）+（X-2）+…+1。假如該選手還差5分贏得比賽，那么他的勝利距離就是5+4+3+2+1=15。

在卡爾達諾的例子中，第一位選手得了7分，還差3分贏得比賽，所以他的勝利距離是3+2+1=6。第二位選手得了9分，還差1分贏得比賽，所以他的勝利距離就是1。如此一來，第二位選手應該分到6/(1+6)的獎金，看上去這的確公平了一些。

盡管這套方案的確比帕喬利的方案要好（至少更接近正確答案），但它仍是錯的。

現在終于輪到帕斯卡和費馬出場了。他們兩人很快就看出了問題的關鍵：重要的不是選手距離終點有多近，也不是選手距離起點有多遠，而是在剩下的所有可能性中，雙方贏下比賽的可能性各占多少。

在寫給費馬的信中，帕斯卡設想了一個比較簡單的場景：兩個賭徒在玩一個游戲，先拿到3分的人獲勝。雙方各自下注32皮斯托爾（當時的一種金幣），所以總賭資為64皮斯托爾。

假定在兩個人都拿到2分的時候，游戲突然被迫終止。帕斯卡認為這種情況下錢很好分，每人拿32皮斯托爾就好了。

但如果此時兩個人的得分不是2 ∶ 2，而是2 ∶ 1呢？帕斯卡認為，既然剛才在2 ∶ 2的情況下，獎金是兩個人對半分，那此時就應該先給得2分的那個人分一半獎金，畢竟就算下一輪他輸了，比分也只是2 ∶ 2而已。剩下那一半獎金怎么辦呢？得2分的那個人可能會說：“這一半獎金有可能被你贏走，也有可能被我贏走，機會相等，既然如此，不如繼續平分了吧。”如此一來，得2分的選手一共分到了32+16=48，即總賭資的3/4。

還有一種思路是，假定游戲繼續進行，那么可能的結果共有4種：得2分的那個人既贏了第一輪，又贏了第二輪；他贏了第一輪，輸了第二輪；他輸了第一輪，贏了第二輪；他既輸了第一輪，又輸了第二輪。

只有在最后一種情況下，他才會輸掉比賽。如果他贏了第一輪，那么第二輪的結果就不用看了，因為他已經得了3分，所以第一輪他有一半的機會直接贏下比賽。即便他第一輪輸了，那第二輪中他仍有一半的機會贏下比賽。

由此可見，就像帕斯卡所分析的那樣，如果兩人不得不在2 ∶ 1的情況下終止賭局，那么總賭資最公平的分配方式的確是3 ∶ 1。

帕斯卡繼續分析了其他情況。假定賭局被迫終止時，甲得了2分，乙只得了0分。如果甲在下一輪贏了，那比賽就結束了。如果甲在下一輪輸了，那就又回到剛才2 ∶ 1的情況，我們已經知道這種情況下甲最終贏得賭局的概率為75%。按照帕斯卡的邏輯，甲會這樣說：“如果下一輪我贏了，那我就會贏得全部賭資，即64皮斯托爾；如果下一輪我輸了，那我也應當分走48皮斯托爾。因此，這48皮斯托爾肯定是屬于我的。剩下的16皮斯托爾我們應當平分，因為咱倆拿到這筆錢的概率一樣大?！?/p>

換句話說，甲最終贏得賭局的概率為7/8，即87.5%，所以最公平的分配方式就是甲拿走56皮斯托爾。用圖來表示就是：

假如賭局被迫終止時，甲和乙的比分為1 ∶ 0呢？帕斯卡認為，這種情況我們可以再多分析一輪。如果乙贏了第一輪，那比分就變成1 ∶ 1，兩個人重新站在了同一條起跑線；如果甲贏了第一輪，那比分就變成2 ∶ 0，我們已經知道此時甲最終贏得賭局的概率為7/8。在所有可能出現的16種結果里，有11種是甲最終贏得賭局，所以這種情況下甲應該分走總賭資的11/16，即44皮斯托爾。

現在大家應當已經意識到了，概率論關心的是給定情況下可能會發生什么，而不是已經發生了什么。不過前面的計算方法既費時又費力，所以帕斯卡和費馬研究出了更便捷的方式。

我們的確可以耐心地做個匯總，但如果剩余回合數有很多，那計算量可就太大了。我們得把每一個可能出現的回合都分析一遍——需要分析的回合數等于甲最終贏下賭局所需的回合數，加上乙最終贏下賭局所需的回合數，再減去1。比如有一個三局兩勝的雙人比賽，甲以1 ∶ 0領先，那我們需要分析的回合數就是2+3-1=4（因為比分最高為3 ∶ 2，所以最大回合數是5，剩下的回合數最多是4），而4回合意味著24（等于16）種可能性。之后你需要分析出其中有哪些可能性可以讓甲最終贏下賭局，這一過程涉及大量的數字和標注，實在讓人吃不消。

好在帕斯卡想到了一個輕松的方法。其實帕斯卡并不是第一個使用“帕斯卡三角形”的人——它在2世紀的印度、古代中國都很有名，它還有一個中文名字“楊輝三角形”——但他卻是第一個將其用在概率問題中的人。這個三角形具體長這樣：

它的“第0行”是1，其他各個位置上的數字都等于該數字左上角與右上角的和（如果左上角或右上角沒有數字則視為0）。

帕斯卡發現這個三角形剛好對應著剩余回合數的各種可能性。仍然以甲乙比分為1 ∶ 0為例，剩余回合數最大為4，所以我們取第4行的數字來分析（最上面那個單獨的1視作第0行）。第4行一共有1、4、6、4、1五個數，由于甲需要再贏兩局才能獲勝，所以我們去掉最左邊的兩個數，即1和4。把剩下的三個數6、4、1相加，再除以該行5個數的總和16，就是甲在1 ∶ 0的情況下最終贏下賭局的概率11/16，即p=0.6875。

再試試其他例子。在甲乙比分為2 ∶ 1的情況下，比賽最多還能進行兩回合，甲只要贏下其中任一回合就可以獲得最終的勝利，因此我們可以用第2行的數字1、2、1來分析。首先我們去掉1，然后用剩下兩個數字的和除以該行的總和，就得到了甲獲得最終勝利的概率為3/4，即p=0.75。這種方法相當便捷，能節省大量時間。

只要是雙方每回合獲勝概率相等的比賽，我們都可以采用該方法來分析，比如拋硬幣、勢均力敵的球賽。最大回合數為X，我們就用第X行的數字來分析（再次強調，最上面是第0行），該行所有數字的總和，就是所有可能出現的結果的總數。假如一共拋7次硬幣，那么你就應該用第7行的數字來分析，即1、7、21那一行。該行所有數字的總和等于128，所以拋7次硬幣一共有128種可能性。

現在假定你想知道拋7次硬幣，某結果出現Y次的概率有多大，比如硬幣正面朝上出現Y次。

有可能拋了7次全是背面朝上，1次正面都沒看到。而在全部的128種結果當中，只有1種結果符合這一情形。

出現1次正面、6次反面的結果有7個。這是因為7次結果當中，只要正面恰好出現一次就行，具體哪次出現的并不重要。出現2次正面、5次反面的結果有21個（我就不一一列舉了，你可以自己驗證一下）。出現3次正面、4次反面的結果有35個。

看出規律了嗎？1、7、21、35——這就是楊輝三角形的第7行。

因此，如果你想知道拋X次硬幣，正面出現Y次的概率，你就可以在三角形中找到第X行的數字，然后自左向右找到第Y個數字（需要強調的是，最左側的1視作第0個數字），用該數字除以該行所有數字的總和。比如你想知道拋7次硬幣，正面出現5次的概率，那你就應該先找到第7行的數字，1、7、21、35、35、21、7、1，然后自左向右找到第5個數字，即21。所求概率為21/128≈0.164，接近1/6。

如果想求“正面至少出現5次”的概率，你只需把Y等于6和7的情況再加上去，即21+7+1=29，再用它除以該行總數128。帕斯卡在分析“賭資公平分配”問題時用的就是這一方法。

分析各種結果的概率有很多方法，楊輝三角形只是其中一種相對便捷的方式。如果每回合的可能性只有兩種，就像拋硬幣一樣，我們就將其稱為“二項分布”。

由此可見，當你想知道某件事發生的概率有多大時，你就需要分析一共有多少種結果符合該情形，以及所有可能的結果的總數。我想，你現在應該對“概率”有一個相對具象化的認知了。