01　理論篇

數(shù)學(xué)史與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)實(shí)聯(lián)系

數(shù)學(xué)學(xué)科本身是基于數(shù)數(shù)、計(jì)算、測量等人們在生活中的實(shí)際需求而衍生并逐步發(fā)展起來的。其發(fā)生、發(fā)展的自然過程成了數(shù)學(xué)學(xué)科本身的歷史，即數(shù)學(xué)史。數(shù)學(xué)史以其客觀性，深刻地揭示了數(shù)學(xué)知識的起源、應(yīng)用與發(fā)展。它不僅引領(lǐng)學(xué)生深入體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識的形成過程，更促進(jìn)了他們對數(shù)學(xué)思維的真正理解。數(shù)學(xué)史在培養(yǎng)學(xué)生形成數(shù)據(jù)分析觀念等數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面，發(fā)揮著不可或缺的重要作用。與此同時(shí)，它也在助力學(xué)生不斷深化數(shù)學(xué)認(rèn)知的過程中，潛移默化地提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)文化修養(yǎng)。

真正的數(shù)學(xué)教學(xué)是靈動(dòng)的，它不僅要求教師深化學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解和數(shù)學(xué)技能的掌握，還要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。此外，教師還應(yīng)努力提升學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際生活問題的能力。概括起來講就是，教師要注重增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。然而“理想是豐滿的，現(xiàn)實(shí)卻是骨感的”。現(xiàn)實(shí)中，數(shù)學(xué)被作為客觀知識的典范，是客觀知識世界最具有廣泛性的“通用貨幣”。它的跨文化流通特性，使其贏得了客觀知識領(lǐng)域的桂冠，進(jìn)而導(dǎo)致在數(shù)學(xué)教學(xué)中存在把數(shù)學(xué)作為人生工具的教學(xué)理念。數(shù)學(xué)的教學(xué)目標(biāo)被進(jìn)一步窄化為掌握某項(xiàng)數(shù)學(xué)知識，甚至被簡化為會解決某個(gè)數(shù)學(xué)問題的技能，而忽略了數(shù)學(xué)自身的發(fā)展歷程帶給人們的文化體驗(yàn)與經(jīng)驗(yàn)傳承。所以學(xué)生不能深刻解讀數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)與內(nèi)涵，不能創(chuàng)造性地還原數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)發(fā)明、發(fā)現(xiàn)過程，無法在生動(dòng)的數(shù)學(xué)文化體驗(yàn)中傳承數(shù)學(xué)、感悟數(shù)學(xué)史的價(jià)值，進(jìn)而體會數(shù)學(xué)思想與方法的內(nèi)在魅力。

歷史本身對于后人的價(jià)值是巨大的，不僅僅在教育領(lǐng)域，可以說“以史為鑒”是人類文明進(jìn)步和發(fā)展的關(guān)鍵之一。前人無論是成功還是失敗的經(jīng)驗(yàn)都是后人寶貴的財(cái)富，這一點(diǎn)也是經(jīng)過歷史本身證明的。公元227年，蜀漢丞相諸葛亮在決定北上伐魏、奪取長安（今漢長安城遺址）之前給后主劉禪上書，寫下了流傳千古的《出師表》，其中原文這樣寫道：

親賢臣，遠(yuǎn)小人，此先漢所以興隆也；親小人，遠(yuǎn)賢臣，此后漢所以傾頹也。先帝在時(shí)，每與臣論此事，未嘗不嘆息痛恨于桓、靈也。侍中、尚書、長史、參軍，此悉貞良死節(jié)之臣，愿陛下親之信之，則漢室之隆，可計(jì)日而待也。

其大意為：親近賢臣，疏遠(yuǎn)小人，這是西漢興盛的原因；親近小人，疏遠(yuǎn)賢臣，這是東漢衰敗的原因。先帝在世時(shí)，每次與臣談?wù)撨@件事，未嘗不嘆息與痛恨東漢桓帝劉志和靈帝劉宏在位時(shí)，寵信宦官，政治腐敗。侍中、尚書、長史、參軍，這些都是忠貞賢明、能夠?yàn)楸Ｈ?jié)操而死（指以死報(bào)國）的大臣，希望陛下親近、信任他們，那么漢朝的復(fù)興就會指日可待了。

雖然伐魏的這段歷史距我們有1000多年的時(shí)間，但我們依然可以從諸葛亮的《出師表》中感受到其懇切的言辭和審時(shí)度勢的政治高度，也體會到了他“北定中原”的堅(jiān)定意志和對蜀漢忠貞不貳的品格。其中“先漢所以興隆”和“后漢所以傾頹”的鮮明例證正體現(xiàn)了“以史為鑒”的價(jià)值與作用。對此，南宋大詩人陸游有感而評價(jià)道：“出師一表真名世，千載誰堪伯仲間。”

回到數(shù)學(xué)學(xué)科和數(shù)學(xué)教學(xué)本身，歷史的價(jià)值依然明顯。在當(dāng)代的數(shù)學(xué)教學(xué)中，人們已經(jīng)開始高度關(guān)注數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化教學(xué)的結(jié)合。二者相輔相成，融為一個(gè)整體。史寧中教授曾明確指出，在小學(xué)數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)文化的重要表現(xiàn)形式。文化傳承是教師的任務(wù)之一，數(shù)學(xué)史則是重要的教學(xué)素材，將二者結(jié)合是當(dāng)代數(shù)學(xué)教師的追求。文化教學(xué)是一種超越式的、水平較高的教學(xué)，而數(shù)學(xué)史則為數(shù)學(xué)教師的文化價(jià)值追求提供了重要的途徑和補(bǔ)充。因此，教師在數(shù)學(xué)知識的傳授過程中，應(yīng)努力引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識的發(fā)現(xiàn)、探究和形成過程。

例如，在人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材六年級上冊“圓”這一單元中，圓周率是整個(gè)單元的教學(xué)重點(diǎn)之一。其原因在于，對圓周率的認(rèn)識是測量圓的各部分的先決條件。于是，在設(shè)計(jì)該教學(xué)內(nèi)容時(shí)，我們團(tuán)隊(duì)的教師便查閱了關(guān)于圓周率研究歷程的大量資料，在進(jìn)行分類整理后，形成了相關(guān)的數(shù)學(xué)史內(nèi)容，并努力將其融入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中。圓周率及其研究歷程具體內(nèi)容如下。

圓周率（Pi）是圓的周長與直徑的比值，一般用希臘字母π表示，是一個(gè)在數(shù)學(xué)及物理學(xué)中普遍存在的常數(shù)，是精確計(jì)算圓的周長、圓的面積、球的體積等幾何問題的關(guān)鍵值。人類對圓周率的研究大致經(jīng)歷了四個(gè)時(shí)期。

第一個(gè)時(shí)期：實(shí)驗(yàn)時(shí)期，即通過測量等動(dòng)手操作方式研究圓周率的時(shí)期。

公元前1650年左右，古埃及的萊因德紙草書中記載圓周率等于4/3的4次方，約等于3.1605。這是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)值。

第二個(gè)時(shí)期：幾何時(shí)期，即通過幾何圖形研究圓周率的時(shí)期。

阿基米德從單位圓出發(fā)，先用內(nèi)接正六邊形求出圓周率的下界為3，再用外切正六邊形并借助勾股定理求出圓周率的上界小于4。接著，他對內(nèi)接正六邊形和外切正六邊形的邊數(shù)分別加倍，將它們分別變成內(nèi)接正十二邊形和外切正十二邊形，再借助勾股定理修正圓周率的下界和上界，后續(xù)逐步對內(nèi)接正多邊形和外切正多邊形的邊數(shù)加倍，直到內(nèi)接正九十六邊形和外切正九十六邊形為止。最后，他求出圓周率的下界和上界分別為223/71與22/7。根據(jù)該下、上界，取兩位小數(shù)，可得圓周率為3.14。

第三個(gè)時(shí)期：分析時(shí)期，即利用無窮級數(shù)或無窮連乘積研究圓周率的時(shí)期。

1948年，英國的弗格森和美國的小倫奇共同發(fā)表了圓周率的808位小數(shù)值。

第四個(gè)時(shí)期：計(jì)算機(jī)時(shí)期，即利用計(jì)算機(jī)研究圓周率的時(shí)期。

1949年，世界上第一臺通用計(jì)算機(jī)ENIAC（Electronic Numerical Integrator And Computer）計(jì)算出了圓周率的2037位小數(shù)值。

…………

基于對以上數(shù)學(xué)史資料的分析和整理，我們團(tuán)隊(duì)便設(shè)計(jì)了一個(gè)教學(xué)流程：引導(dǎo)學(xué)生以不同的方式經(jīng)歷圓周率研究的全過程，即“實(shí)驗(yàn)時(shí)期”“幾何時(shí)期”“分析時(shí)期”和“計(jì)算機(jī)時(shí)期”。

首先，教師通過提出一個(gè)了解圓的周長的實(shí)際需求來激發(fā)學(xué)生思考：“在古代，人們?yōu)榱藴y量圓壇、車輪的周長，以及制定歷法，需要掌握圓的周長的計(jì)算方法，那么，圓的周長與圓的什么有關(guān)系呢？”

隨后，在確定“圓的直徑?jīng)Q定圓的大小”這一結(jié)論后，教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生聚焦“圓的周長是圓的直徑的多少倍？”這一關(guān)鍵性問題。

接著，教師讓學(xué)生通過親自動(dòng)手實(shí)踐的方式獨(dú)立進(jìn)行研究。受學(xué)生年齡所限，實(shí)踐研究中我們通常采用滾動(dòng)測量圓的周長和繞繩確定圓的周長等方法。這也就是圓周率研究歷程中的“實(shí)驗(yàn)時(shí)期”的體驗(yàn)。

學(xué)生獲取數(shù)據(jù)后，再通過計(jì)算圓的周長與直徑的倍數(shù)關(guān)系，可逐漸確定圓周率的數(shù)值范圍和數(shù)值特點(diǎn)。在此環(huán)節(jié)中，教師可引導(dǎo)學(xué)生分析圓的周長與其外切正多邊形周長和內(nèi)接正多邊形周長的關(guān)系，進(jìn)一步明確圓周率的數(shù)值范圍，同時(shí)強(qiáng)化學(xué)生計(jì)算圓的周長的意識。這也就是圓周率研究歷程中的“幾何時(shí)期”的體驗(yàn)。在通過一步步分析，使圓周率逐漸精確的過程中，教師應(yīng)讓學(xué)生明白學(xué)習(xí)圓周率的目的是什么，體會到數(shù)學(xué)知識的實(shí)用性。

最后，教師以拓展賞析的形式介紹圓周率的研究歷史，并與學(xué)生的研究歷程相對照，引導(dǎo)學(xué)生得窺圓周率研究的全過程。在這一過程中，考慮到學(xué)生已有的知識儲備和年齡段，教師應(yīng)以讓學(xué)生間接學(xué)習(xí)的方式，引導(dǎo)學(xué)生了解圓周率研究歷程中的“分析時(shí)期”和“計(jì)算機(jī)時(shí)期”的相關(guān)內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)成就感和研究欲望。

由上面的教學(xué)流程可以看到，將數(shù)學(xué)史引入教學(xué)實(shí)踐過程具有非常廣闊的前景和極其重要的意義。那么，在實(shí)際的教學(xué)中數(shù)學(xué)史的應(yīng)用現(xiàn)狀又是什么樣的呢？現(xiàn)今國內(nèi)外數(shù)學(xué)史的研究進(jìn)展如何呢？數(shù)學(xué)史的引入對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的幫助有哪些呢？怎樣才算發(fā)揮出了數(shù)學(xué)史的真正教育價(jià)值呢？……對于這些問題，教師都是非常關(guān)注的。