第4章
4：“四”面八方

1915年12月7日，在圣彼得堡舉行的未來主義畫派繪畫展上，卡西米爾·塞文洛維奇·馬列維奇（Kazimir Severinovich Malevich，1878—1935年）的《黑色廣場》憑借其極端的激進主義畫風格外顯眼。這幅作品本應體現出一些現代性特征，但人們只看到一個以白色為背景的黑色正方形，別無其他。這個正方形沒有展現什么，沒有隱藏什么，也沒有刻意表達什么。

藝術作品通常被用來展現世界，但這幅作品恰恰相反。畫中沒有世界上的任何東西：沒有人，沒有自然風景，也沒有宗教符號。而畫中的一切又都是由人創作的。這正是該作品的象征意義。

正方形是最簡單的幾何圖形之一。一切都井然有序：上—下，左—右。它是數字4的體現：四條相等的邊，四個相等的角，四條對稱軸。正方形是我們人類最容易想象的圖形，它可以幫助人們確定位置。

4是我們表達方向的數字。通過天空的四個方向，我們得到了一個空間的定位。“Orientierung”（方位）一詞源于拉丁語“oriens”（東方）。東方是空間的決定性方向：如果你看向東方，那么西方就在你的后邊，南方在你的右邊，北方在你的左邊。

此外，人類在時間上的劃分也是由數字4構成的。例如，我們把一年分為四個季節，更短的單位“月”分成四個星期，月相也表現出滿月、下弦、新月和上弦四個最容易被識別的特征，現代奧林匹克運動會也是每四年舉辦一次。

此外，在古希臘哲學中，世界上物質的產生被解釋為四種力量，即四大元素火、水、氣和土相互作用的結果。

正方形不僅自身很完美，而且能與其他正方形完美融合，使其變大。4個小正方形可以拼成一個大正方形，9個小正方形可以拼成一個更大的正方形，64個小正方形可以拼成一個正方形棋盤。

如此奇妙的拼接特性正是正方形普遍適用的原因：許多浴室的瓷磚是正方形的，鋪路石的表面是正方形的，網格本紙張上的圖案也是由許多小正方形組成的。此外，我們還用平面方格網繪制地圖。

使用正方形能夠獲得平面中更大的面積，人們可以利用這一方法來探索平面的無限性并掌控它。

該原理最重要的應用是直角坐標系。整個坐標平面被分成無數個小正方形。每個點都可以通過x軸和y軸上對應的數字來標識。通過這種方式，人們就可以利用數字定位對象并對其進行運算了。

1852年10月23日，倫敦的一位數學系學生弗朗西斯·格思里向他的導師奧古斯都·德·摩根（Augustus De Morgan，1806—1871年）教授請教了一個看似簡單的問題。但他們都沒有想到的是，對于這個問題的答案，數學界竟探討了一個多世紀。

問題的緣由是這樣的：當時，格思里正忙著給英國各郡的地圖著色，他需要給每個區域涂上一種顏色，并確保共享一條邊界的兩個區域使用的顏色不同，這樣就便于從視覺上區分出不同的區域。

弗朗西斯·格思里試圖用盡可能少的顏色來完成著色工作。他發現三種顏色是不夠的，但四種顏色就可以了。而他的“世紀之問”是：情況是否總是如此？人們能否用（只用）四種顏色給任何地圖上的國家著色，甚至是一張假想的地圖？對此，摩根教授并不清楚，于是，他當天給格思里在都柏林的同事威廉·羅文·哈密頓（William Rowan Hamilton，1805—1865年）寫信請教，哈密頓也不知道。

直到1879年，數學家兼執業律師阿爾弗雷德·布雷·肯普（Alfred Bray Kempe，1849—1922年）發表了一篇文章來證明此事，這個問題才算有了答案。肯普是一位非常受人尊敬的科學家——然而，他的證明卻是錯誤的，珀西·赫伍德（Percy Heawood，1861—1955年）在1890年指出了這一點。赫伍德借助肯普的論點證明出用五種顏色就足夠了。然而，他并沒有找到真正需要五種顏色著色的地圖！所以，到底是用四種顏色還是五種？

直到1977年，來自美國伊利諾伊大學的數學家肯尼斯·阿佩爾（Kenneth Appel，1932—2013年）和沃爾夫岡·哈肯（Wolfgang Haken，1928年— ），在德國數學家海因里希·黑施（Heinrich Heesch，1906—1995年）前期工作的基礎上，結合肯普的觀點，終于得出了這一問題的答案：用四種顏色就足夠了！基于理論性的思考，他們將問題減少到對大約1 500種配置的調查，之后利用計算機對這些問題進行了處理。

伊利諾伊大學在其公文上自豪地宣稱：“用四種顏色就足夠了。”

這個數學難題除了是著名的世界三大數學猜想之一外，它還有一個獨特之處，即這是首個不能在家中的寫字臺上完成，而需要借助于計算機的輔助才能完成的問題。這一點至今仍是數學家們熱議的話題。