1.2.2 阻抗分析法

盡管特征方程所有的根在s平面的分布情況能有效反映系統(tǒng)穩(wěn)定性，然而在實(shí)際應(yīng)用過程中，當(dāng)變換器數(shù)量較多時，系統(tǒng)特征方程階次較高，求解全部特征根難度較大，可實(shí)現(xiàn)性低。另外，出于對保護(hù)商業(yè)機(jī)密的角度考慮，系統(tǒng)內(nèi)部變換器的實(shí)際參數(shù)和結(jié)構(gòu)往往部分或完全未知，導(dǎo)致基于傳遞函數(shù)的建模無法實(shí)現(xiàn)，進(jìn)而難以建立和求解系統(tǒng)特征方程。因此人們希望使用一種間接判斷系統(tǒng)特征根是否全部位于s左半平面的代替方法，以評估直流配用電系統(tǒng)的小信號穩(wěn)定性。于是，阻抗分析法應(yīng)運(yùn)而生，該方法利用各變換器端口阻抗構(gòu)建出一個與系統(tǒng)穩(wěn)定性相關(guān)的傳遞函數(shù)表達(dá)式，可以從頻率特性曲線角度對系統(tǒng)特征根的分布進(jìn)行判斷。

阻抗分析法最早可追溯到1976年，由美國的J.M.Undrill和T.E.Kostyniak提出，他們基于發(fā)電機(jī)和輸電網(wǎng)絡(luò)的阻抗模型研究了電力系統(tǒng)的次同步振蕩問題［28］。同年，美國的Middlebrook教授將阻抗分析法應(yīng)用于DC-DC變換器的輸入濾波器設(shè)計［29］。阻抗分析法的基本思路是：基于系統(tǒng)內(nèi)部所有設(shè)備或子系統(tǒng)的端口阻抗，根據(jù)麥克斯韋判據(jù)、柯西輻角原理、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)或廣義奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)等控制理論，構(gòu)造可用于評價系統(tǒng)穩(wěn)定性的阻抗表達(dá)式，以此評估直流配用電系統(tǒng)的小信號穩(wěn)定性。阻抗分析法的優(yōu)勢在于：阻抗屬于設(shè)備或子系統(tǒng)端口的一種外特性，不但可以基于狀態(tài)空間模型進(jìn)行小擾動建模得到，而且可以在結(jié)構(gòu)和控制參數(shù)未知的條件下通過注入掃頻信號測量獲??；此外，基于設(shè)備阻抗模型與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，還可以進(jìn)行模塊化系統(tǒng)建模，可拓展性較好。不過阻抗分析法也面臨著一定的困難，比如阻抗測量裝置不成熟、成本高，復(fù)雜直流配用電系統(tǒng)的穩(wěn)定機(jī)理尚不明確、評估難度較大等。盡管如此，阻抗分析法清晰的物理意義使其在直流配用電系統(tǒng)小信號穩(wěn)定性分析方面具有強(qiáng)大的吸引力和發(fā)展?jié)摿?，近幾十年來得到了廣泛深入的研究，并取得了一系列研究成果。

圖1.3梳理了自1976年以來一些具有代表性的直流配用電系統(tǒng)阻抗穩(wěn)定判據(jù)，這些穩(wěn)定判據(jù)將會在本節(jié)的后續(xù)內(nèi)容中詳細(xì)回顧?？偟膩碚f，基于阻抗的直流配用電系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)可以從邏輯關(guān)系上分為充分非必要條件（禁區(qū)判據(jù)）與充分必要條件。目前，阻抗穩(wěn)定判據(jù)的研究一方面越來越傾向于評價系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要性、通用性和可擴(kuò)展性，另一方面也在不斷結(jié)合不同系統(tǒng)應(yīng)用場景，提出更適用的穩(wěn)定性分析方法。

1.阻抗比判據(jù)與Middlebrook判據(jù)

1976年，Middlebrook教授在研究圖1.4所示輸入濾波器與DC-DC變換器交互作用引起的不穩(wěn)定現(xiàn)象時，提出了阻抗比判據(jù)與Middlebrook判據(jù)，用以分析系統(tǒng)穩(wěn)定性并設(shè)計輸入濾波器參數(shù)。圖1.4中，v_dc為直流電源，L和R_L分別為濾波電感及其串聯(lián)等效電阻，C為濾波電容，v_o為DC-DC變換器的輸出電壓，R為負(fù)載電阻，Z_S（s）為輸入濾波器的等效阻抗，Z_L（s）為DC-DC變換器的輸入阻抗?；谙到y(tǒng)阻抗模型和控制理論，Middlebrook教授定義Z_S（s）和Z_L（s）之比為系統(tǒng)等效環(huán)路增益T_m（s），即T_m（s）=Z_S（s）/Z_L（s），并提出用于系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的阻抗比判據(jù)，即T_m（s）應(yīng)滿足奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)。進(jìn)一步地，在伯德圖上采用阻抗比判據(jù)評估系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法為：①在任意頻率處，均有|Z_L（s）|＞|Z_S（s）|，即Z_S（s）和Z_L（s）的幅頻特性曲線不相交時，系統(tǒng)穩(wěn)定；②當(dāng)|Z_L（s）|和|Z_S（s）|在特定頻率ω處發(fā)生交截時，若該頻率處的相位差∠Z_S（jω）-∠Z_L（jω）＜180°，系統(tǒng)穩(wěn)定，反之則不穩(wěn)定。

為進(jìn)一步簡化該判據(jù)并提高其在實(shí)際系統(tǒng)設(shè)計中的可實(shí)現(xiàn)性，Middlebrook教授提出當(dāng)|Z_S（s）|在全頻率范圍內(nèi)均遠(yuǎn)小于|Z_L（s）|，即|Z_S（s）|?|Z_L（s）|時，圖1.4所示系統(tǒng)是穩(wěn)定的。這一穩(wěn)定性條件被后來的研究者們稱為Middlebrook判據(jù)。相較于阻抗比判據(jù)，Middlebrook判據(jù)只涉及對Z_S（s）和Z_L（s）幅值的要求，而對相位沒有要求，是系統(tǒng)穩(wěn)定的充分非必要條件。

實(shí)際上，從小信號建模的角度，輸入濾波器可以等效為一個開環(huán)運(yùn)行的DC-DC變換器[30]，其作用是向后級變換器提供直流電壓和功率。為此，可以將上述阻抗比判據(jù)和Middlebrook判據(jù)推廣到如圖1.5所示的級聯(lián)直流系統(tǒng)中，其中，源變換器的作用是控制直流母線電壓v_bus并為負(fù)載變換器提供功率。此時，系統(tǒng)等效環(huán)路增益為源變換器輸出阻抗Z_S（s）與負(fù)載變換器輸入阻抗Z_L（s）之比。需要說明的是，源變換器和負(fù)載變換器均可以獨(dú)立穩(wěn)定運(yùn)行是阻抗比判據(jù)和Middlebrook判據(jù)的前提條件。

2.基于阻抗比的禁區(qū)判據(jù)

禁區(qū)指的是s平面內(nèi)的一個特定區(qū)域，只要阻抗比的奈奎斯特曲線不進(jìn)入該區(qū)域，就認(rèn)為系統(tǒng)是穩(wěn)定的。Middlebrook判據(jù)就是一種基于阻抗比的禁區(qū)判據(jù)，其禁區(qū)為s平面內(nèi)以原點(diǎn)為圓心、半徑為r₀（r₀＜1）的圓域以外的所有部分，如圖1.6a所示。然而，Middlebrook判據(jù)的要求過于嚴(yán)格，保守性高，在實(shí)際系統(tǒng)中比較難以滿足或代價較大[30]。為此，研究者們相繼提出了多種禁區(qū)判據(jù)，以減小禁區(qū)范圍和判據(jù)的保守性，主要包括：GMPM（Gain Margin and Phase Margin）判據(jù)[31]、OA（Opposing Argument）判據(jù)[32]、ESAC（Energy Source Analysis Consortium）[33]及其改進(jìn)判據(jù)RESC（Root Exponential Stability Criterion）[34]、MPC（Maximum Peak Criterion）[35]和參考文獻(xiàn)[36]提出的禁區(qū)判據(jù)等。這些禁區(qū)判據(jù)都是圖1.5所示級聯(lián)直流系統(tǒng)穩(wěn)定的充分非必要條件，簡介如下。

如圖1.6b所示，GMPM判據(jù)定義的禁區(qū)可表示為

相較于Middlebrook判據(jù)，GMPM判據(jù)允許阻抗比T_m（s）的奈奎斯特曲線在某些頻段位于單位圓外，從而大大縮小了禁區(qū)范圍。GMPM判據(jù)在滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性要求的同時，還保證了系統(tǒng)具有期望的幅值裕度G_m與相角裕度φ_m。在實(shí)際工程應(yīng)用中，考慮到系統(tǒng)參數(shù)的變化，一般要求幅值裕度在6dB以上，相角裕度在60°左右［30］，因此G_m可取2，φ_m可取60°。

如圖1.6c所示，OA判據(jù)定義的禁區(qū)可表示為

相較于GMPM判據(jù)，盡管OA判據(jù)的禁區(qū)范圍略大，但其禁區(qū)條件更簡潔直觀，且便于推廣到含多并聯(lián)負(fù)載變換器的直流配用電系統(tǒng)。隨后，研究者們提出的ESAC和RESC進(jìn)一步減少了GMPM判據(jù)的禁區(qū)范圍，分別如圖1.6d和e所示。

實(shí)際上，幅值裕度G_m表示的是阻抗比T_m（s）沿著負(fù)實(shí)軸方向與不穩(wěn)定狀態(tài)的接近程度，相角裕度φ_m則描述了T_m（s）沿著單位圓與不穩(wěn)定狀態(tài)的接近程度。除了上述兩個穩(wěn)定裕度指標(biāo)，T_m（s）與（-1，j0）點(diǎn)的接近程度也可以很好地衡量系統(tǒng)與不穩(wěn)定狀態(tài)的接近程度，即系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性［37］。MPC和參考文獻(xiàn)［36］提出的禁區(qū)判據(jù)均是基于相對穩(wěn)定性所提出的。MPC要求阻抗比T_m（s）滿足奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)且不經(jīng)過圖1.6f所示圓心為（-1，j0）、半徑為1/M_S的圓域禁區(qū)，其中T_m（s）和M_S的關(guān)系以及M_S的取值分別由式（1.4）和式（1.5）給出，M_S也稱為系統(tǒng)靈敏度函數(shù)的峰值因子［37］。顯然，當(dāng)阻抗比T_m（s）滿足MPC時，系統(tǒng)必然滿足穩(wěn)定裕度G_m和φ_m的要求，也意味著具有一定的魯棒穩(wěn)定性。MPC將對系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的要求統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為s平面上的圓域邊界，其形式更加簡潔直觀。

參考文獻(xiàn)［36］提出的禁區(qū)如圖1.6g所示，由三部分組成：一是從（-1/G_m，j0）點(diǎn)至負(fù)無窮大的射線，以確保系統(tǒng)穩(wěn)定性與幅值裕度G_m；二是以原點(diǎn)為圓心、頂圓半徑為1+1/M_S、底圓半徑為1和圓心角為θ₁+θ₂的扇環(huán)區(qū)域，這里θ₁和θ₂為T_m（s）伯德圖上兩個截止頻率對應(yīng)的相位，基于相角裕度φ_m可以設(shè)置θ₁和θ₂的取值，請注意該禁區(qū)判據(jù)中峰值因子M_S的取值與MPC不同；三是以原點(diǎn)為圓心、頂圓半徑為1、底圓半徑為1-1/M_S、圓心角為2α且關(guān)于實(shí)軸對稱的扇環(huán)區(qū)域，兩個扇環(huán)區(qū)域可以限制系統(tǒng)的峰值因子M_S不超過sin-1α，從而保證系統(tǒng)具有一定的魯棒性。盡管該禁區(qū)的形狀較MPC定義的禁區(qū)復(fù)雜，但由于其邊界僅由圓弧和直線段構(gòu)成，因此很容易從s平面映射到伯德圖上，結(jié)合源變換器的輸出阻抗曲線和所需系統(tǒng)性能指標(biāo)，可以確定負(fù)載變換器輸入阻抗的穩(wěn)定邊界。此外，由于禁區(qū)范圍縮小，該禁區(qū)判據(jù)的保守性也較MPC有所降低。

3.反阻抗比判據(jù)

2011年，美國倫斯勒理工學(xué)院孫建教授在研究圖1.7所示并網(wǎng)逆變器系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題時，提出系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：阻抗比Z_g（s）/Z_inv（s）滿足奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)［38］。其中，Z_g（s）為交流電網(wǎng)阻抗，Z_inv（s）為并網(wǎng)逆變器的輸出阻抗。該判據(jù)為解決并網(wǎng)逆變器與弱電網(wǎng)相互作用問題奠定了理論基礎(chǔ)，具有重要的理論意義與工程價值［30］。盡管這一判據(jù)起源于交流系統(tǒng)，但同樣也適用于直流配用電系統(tǒng)［39］。

在圖1.7所示系統(tǒng)中，并網(wǎng)逆變器的作用是將直流電逆變?yōu)榻涣麟姴⑺突亟涣麟娋W(wǎng)，承擔(dān)了源變換器的功能，交流電網(wǎng)則被視為“負(fù)載”。顯然，孫建教授提出的阻抗比判據(jù)在形式上與Middlebrook教授定義的源-載阻抗比完全相反，因此將前者稱為反阻抗比判據(jù)，以作區(qū)別。

4.統(tǒng)一阻抗比判據(jù)

上述阻抗比判據(jù)與反阻抗比判據(jù)都是針對兩變換器級聯(lián)系統(tǒng)提出的，且其形式也與源變換器類型（電壓源型或電流源型）和系統(tǒng)功率流向有關(guān)。但實(shí)際直流配用電系統(tǒng)內(nèi)部的設(shè)備數(shù)量遠(yuǎn)多于兩個，各設(shè)備類型與控制模式多種多樣。例如圖1.8所示的光儲獨(dú)立供電系統(tǒng)中，光伏模塊可采用MPPT控制或恒壓控制，儲能模塊可工作于充電模式或放電模式。當(dāng)光伏模塊和儲能模塊同時向負(fù)載變換器供電時，系統(tǒng)存在兩種不同類型的源變換器，因而無法簡單地將整個系統(tǒng)等效為一個電壓源系統(tǒng)或電流源系統(tǒng)，這使得系統(tǒng)級的穩(wěn)定分析較為繁瑣困難。

為解決上述問題，南京航空航天大學(xué)阮新波教授團(tuán)隊(duì)提出了一種統(tǒng)一阻抗比判據(jù)［30，40］。對于如圖1.9a所示的單母線直流配用電系統(tǒng)，首先將控制或影響直流母線電壓與電流的變換器分別定義為BVCC（Bus Voltage Controlled Converter）和BCCC（Bus Current Controlled Converter），得到系統(tǒng)統(tǒng)一形式，如圖1.9b所示，圖中假定系統(tǒng)包含m個BVCC和n個BCCC；然后基于DC-DC變換器的二端口小信號模型，推導(dǎo)得到整個系統(tǒng)的等效環(huán)路增益T_m（s）為式（1.6）；最后根據(jù)控制理論，若各變換器都可以獨(dú)立穩(wěn)定運(yùn)行，那么當(dāng)且僅當(dāng)T_m（s）滿足奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)時，圖1.9所示單母線直流配用電系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

式中，Z_BVCC，j（s）和Z_BCCC，k（s）分別為BVCC_j和BCCC_k在直流母線側(cè)的端口阻抗。

由于統(tǒng)一阻抗比判據(jù)中定義的等效環(huán)路增益T_m（s）是所有BVCC的并聯(lián)等效阻抗與所有BCCC的并聯(lián)等效阻抗之比，因此阻抗比判據(jù)與反阻抗比判據(jù)都是統(tǒng)一阻抗比判據(jù)的特例。

5.和式判據(jù)

除了阻抗比值形式的穩(wěn)定判據(jù)外，研究者們還提出了其他形式的阻抗判據(jù)，其中和式判據(jù)就是比較有代表性的一類。

2014年，西安交通大學(xué)劉進(jìn)軍教授團(tuán)隊(duì)提出適用于級聯(lián)電壓源變換器系統(tǒng)的阻抗和判據(jù)［41］：當(dāng)兩個電壓源變換器在直流母線側(cè)的端口阻抗之和的奈奎斯特曲線不包圍原點(diǎn)時，系統(tǒng)穩(wěn)定。隨后，伊利諾伊理工大學(xué)鐘慶昌教授與浙江大學(xué)張欣教授將阻抗和判據(jù)的適用范圍進(jìn)一步推廣到任意類型的交流和直流級聯(lián)變換器系統(tǒng)，并指出阻抗和判據(jù)相較于阻抗比判據(jù)的優(yōu)勢是無需提前區(qū)分變換器類型［42］。

另一種和式判據(jù)為導(dǎo)納和判據(jù)。由于導(dǎo)納是阻抗的倒數(shù)且在電路中可以相互轉(zhuǎn)換，因此也可以從導(dǎo)納角度分析直流配用電系統(tǒng)的小信號穩(wěn)定性。2013年，劉進(jìn)軍教授團(tuán)隊(duì)提出了導(dǎo)納和判據(jù)［43］，即級聯(lián)直流系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于兩個級聯(lián)變換器的導(dǎo)納和是否有右半平面零點(diǎn)。2019年，東南大學(xué)曹武副研究員針對多并聯(lián)并網(wǎng)逆變器系統(tǒng)的諧波穩(wěn)定性提出了全局導(dǎo)納判據(jù)［44］，即系統(tǒng)穩(wěn)定性取決于全局導(dǎo)納是否包含右半平面零點(diǎn)，其中全局導(dǎo)納定義為所有逆變器導(dǎo)納、無源設(shè)備導(dǎo)納與電網(wǎng)導(dǎo)納之和。全局導(dǎo)納判據(jù)可以看作是導(dǎo)納和判據(jù)的進(jìn)一步推廣，同樣適用于單母線直流配用電系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析［45］，且具備無需對變換器或設(shè)備進(jìn)行分類的優(yōu)勢［20］。

6.無源判據(jù)與母線阻抗判據(jù)

根據(jù)一端口網(wǎng)絡(luò)的無源理論，美國南卡羅來納大學(xué)的Riccobono和Santi教授于2012年提出了基于母線阻抗Z_bus（s）的無源判據(jù)［46］，并將其應(yīng)用于如圖1.9a所示的單母線直流配用電系統(tǒng)［47］。無源判據(jù)要求：①Z_bus（s）沒有右半平面極點(diǎn)；②對任意的ω均滿足∠Z_bus（jω）∈［-90°，90°］或Re［Z_bus（jω）］≥0。母線阻抗Z_bus（s）的定義如圖1.10a所示，其中兩個子系統(tǒng)分別由若干個變換器并聯(lián)組成，i_inj可以認(rèn)為是外部設(shè)備向直流母線注入的電流，因此Z_bus（s）=v_bus（s）/i_inj（s）=Z₁（s）//Z₂（s）也是所有變換器在直流母線側(cè)端口阻抗的并聯(lián)組合。根據(jù)無源理論，一個無源的系統(tǒng)必然也是穩(wěn)定的，但反之則不成立，因此無源判據(jù)是系統(tǒng)穩(wěn)定的充分非必要條件。無源判據(jù)也可以視為一種特殊的禁區(qū)判據(jù)，其面向母線阻抗Z_bus（s）的禁區(qū)為s平面的整個左半平面，如圖1.10b所示［12］。

實(shí)際上，當(dāng)單母線直流配用電系統(tǒng)內(nèi)部各變換器或設(shè)備可以獨(dú)立穩(wěn)定運(yùn)行時，系統(tǒng)的小信號穩(wěn)定性可以僅根據(jù)Z_bus（s）是否有右半平面極點(diǎn)進(jìn)行評估，此即為母線阻抗判據(jù)［20］。母線阻抗判據(jù)是無源判據(jù)的第一個條件，是系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件，也無需區(qū)分變換器或設(shè)備類型。在母線直流配用電系統(tǒng)中，由于母線阻抗和所有變換器的導(dǎo)納和互為倒數(shù)，因此母線阻抗判據(jù)與導(dǎo)納和判據(jù)在穩(wěn)定性原理上完全等價。此外，參考文獻(xiàn)［39］指出阻抗比判據(jù)、反阻抗比判據(jù)、阻抗和判據(jù)、導(dǎo)納和判據(jù)與母線阻抗判據(jù)均可以用于評估任何互聯(lián)變換器系統(tǒng)的小信號穩(wěn)定性，這是由于它們本質(zhì)上都是在分析互聯(lián)變換器系統(tǒng)的特征方程是否存在右半平面的根。

隨著直流變換技術(shù)的快速發(fā)展，以及直流負(fù)荷、儲能設(shè)備與新能源的分布式接入，直流配用電系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)越發(fā)復(fù)雜，且逐漸呈現(xiàn)出多電力電子變換器、多電壓等級、多直流母線等顯著特點(diǎn)［13］，穩(wěn)定性問題更加突出。而上述阻抗穩(wěn)定判據(jù)大多是基于由兩個變換器組成的簡單級聯(lián)直流系統(tǒng)或具有單一母線結(jié)構(gòu)的并聯(lián)直流配用電系統(tǒng)所提出的，因此可能無法直接用于具有復(fù)雜網(wǎng)架結(jié)構(gòu)的直流配用電系統(tǒng)。近年來，國內(nèi)外學(xué)者開始注意到復(fù)雜直流配用電系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，并開展了一些相關(guān)研究工作。

7.多電壓等級直流配用電系統(tǒng)穩(wěn)定性分析方法

多電壓等級直流配用電系統(tǒng)內(nèi)部大量電氣設(shè)備的控制環(huán)路強(qiáng)烈交互、端口阻抗緊密耦合，如圖1.2a～c所示，同時換流器、直流變壓器等互聯(lián)裝置進(jìn)一步加深了不同電壓等級設(shè)備間的耦合聯(lián)動作用，導(dǎo)致多電壓等級直流系統(tǒng)的阻抗方程表征復(fù)雜、穩(wěn)定機(jī)理分析困難，近年來受到了廣泛的關(guān)注和研究。

2020年，東南大學(xué)陳武教授團(tuán)隊(duì)基于DC-DC變換器的二端口網(wǎng)絡(luò)模型構(gòu)建了中低壓直流配用電系統(tǒng)的小信號模型，在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)了系統(tǒng)所有輸入變量到輸出變量間的閉環(huán)傳遞函數(shù)，以及直流變壓器不同運(yùn)行方式下系統(tǒng)的等效環(huán)路增益表達(dá)式，結(jié)合奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)，提出了基于等效環(huán)路增益的中低壓直流配用電系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)［48-49］。該判據(jù)是參考文獻(xiàn)［40］所提單電壓等級直流配用電系統(tǒng)等效環(huán)路增益穩(wěn)定判據(jù)的進(jìn)一步拓展，但與之不同的是：中低壓直流配用電系統(tǒng)的等效環(huán)路增益并非呈現(xiàn)阻抗比的形式，且其數(shù)學(xué)表達(dá)式不但與系統(tǒng)內(nèi)部所有變換器的端口阻抗或?qū)Ъ{有關(guān)，還與直流變壓器不同端口間的轉(zhuǎn)移傳遞函數(shù)（例如兩個端口電壓之間的傳遞函數(shù)）有關(guān)。為進(jìn)一步分析子系統(tǒng)間的阻抗交互作用，陳武教授團(tuán)隊(duì)提出并證明了若從不同直流母線處將整個系統(tǒng)劃分為兩個子系統(tǒng)，那么當(dāng)任一條直流母線對應(yīng)的子系統(tǒng)端口等效阻抗之比滿足奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)時，中低壓直流配用電系統(tǒng)穩(wěn)定，反之則不穩(wěn)定［50，51］。此外，還提出了一種基于母線阻抗的穩(wěn)定判據(jù)：當(dāng)任一條直流母線對應(yīng)的母線阻抗沒有右半平面極點(diǎn)時，系統(tǒng)穩(wěn)定，反之則不穩(wěn)定［21］。由于上述研究構(gòu)建的系統(tǒng)模型是基于所有變換器的二端口小信號模型得到的，其建模方法和穩(wěn)定判據(jù)難以進(jìn)一步推廣到含更多電壓等級直流母線的配用電系統(tǒng)中，為此陳武教授團(tuán)隊(duì)通過保留直流變壓器的二端口小信號模型而將其余變換器等效簡化為戴維南模型或諾頓模型，構(gòu)建了含n個電壓等級直流母線的配用電系統(tǒng)小信號等效模型，并提出了相應(yīng)的穩(wěn)定性分析方法［13，52］。

為評估含多條直流母線配用電系統(tǒng)的小信號穩(wěn)定性，湖南大學(xué)帥智康教授團(tuán)隊(duì)提出了一種逐級穩(wěn)定性分析方法［53-54］：首先保證系統(tǒng)內(nèi)部各變換器自身的穩(wěn)定性，然后從最后一級開始基于阻抗判據(jù)評估本級直流母線的穩(wěn)定性，在本級直流母線自身穩(wěn)定的前提下，將后級子系統(tǒng)往前一級進(jìn)行折算，再進(jìn)行穩(wěn)定性分析，最終評估所有直流母線的穩(wěn)定性。然而，該方法可能會導(dǎo)致系統(tǒng)穩(wěn)定性的評估結(jié)論較為保守，這是由于逐級劃分后的子系統(tǒng)穩(wěn)定性并非一定是整個系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分條件之一［13，21］。西南交通大學(xué)周國華教授團(tuán)隊(duì)基于廣義伯德圖判據(jù)和子系統(tǒng)阻抗比判據(jù)，提出了一種多電壓等級直流配用電系統(tǒng)小信號穩(wěn)定性評估方法，該方法考慮了子系統(tǒng)阻抗比表達(dá)式中含有右半平面極點(diǎn)的情況［55-56］。此外，參考文獻(xiàn)［57］將無源判據(jù)拓展到了含n條母線的直流配用電系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析中：①任一條直流母線端口等效阻抗Z_{bus，α}（s）均沒有右半平面極點(diǎn)，α=1，2，…，n；②對任意的ω均滿足Re［Z_bus，α（jω）］≥0。

8.含復(fù)雜線路阻抗網(wǎng)絡(luò)的直流配用電系統(tǒng)穩(wěn)定性分析方法

不同于僅采用并聯(lián)或級聯(lián)方式連接的直流配用電系統(tǒng)，在環(huán)網(wǎng)或具有多母線分段等復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)的直流配用電系統(tǒng)中，線路阻抗和系統(tǒng)架構(gòu)不可忽略，這類系統(tǒng)往往不存在一個明顯的源-荷劃分點(diǎn)，也無法沿用導(dǎo)納和、阻抗和的概念與判據(jù)進(jìn)行穩(wěn)定性分析。

為解決復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)直流系統(tǒng)的小信號穩(wěn)定性問題，浙江大學(xué)韋巍教授團(tuán)隊(duì)針對含有n個節(jié)點(diǎn)的直流微電網(wǎng)，推導(dǎo)了所有功率模塊的戴維南或諾頓等效模型中的受控源到節(jié)點(diǎn)注入電流向量間的傳遞函數(shù)矩陣，提出了一種基于逆矩陣T_m（s）={Y_c（s）+Z_u（s）［Y_L（s）+Y_net（s）］}-1的穩(wěn)定判據(jù)［58-59］：當(dāng)T_m（s）的極點(diǎn)全部位于左半平面時系統(tǒng)穩(wěn)定，反之則不穩(wěn)定。其中Y_c（s）為采用電流控制的電源模塊和恒功率負(fù)載的導(dǎo)納矩陣，Z_u（s）為控制直流母線電壓的電源模塊的阻抗矩陣，Y_L（s）為電阻負(fù)載的導(dǎo)納矩陣，Y_net（s）是系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣。然而，該方法需要首先計算傳遞函數(shù)的逆矩陣，然后再評估逆矩陣中每一個傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，計算難度大且較為繁瑣［20］。事實(shí)上，根據(jù)參考文獻(xiàn)［20］的結(jié)論，T_m（s）的右半平面極點(diǎn)即為行列式det{Y_c（s）+Z_u（s）［Y_L（s）+Y_net（s）］}的右半平面零點(diǎn)，而行列式相較于逆矩陣計算簡單；同時，在各變換器都可以獨(dú)立穩(wěn)定運(yùn)行的前提下，該行列式自身不含右半平面極點(diǎn)，因此也可以根據(jù)其頻率特性曲線包圍原點(diǎn)的等效圈數(shù)是否為0來評估系統(tǒng)穩(wěn)定性。此外，參考文獻(xiàn)［20］還提出了一種母線節(jié)點(diǎn)阻抗判據(jù)：當(dāng)系統(tǒng)任一節(jié)點(diǎn)對應(yīng)的母線節(jié)點(diǎn)阻抗沒有右半平面極點(diǎn)時，系統(tǒng)穩(wěn)定，反之則不穩(wěn)定。然而，母線節(jié)點(diǎn)阻抗判據(jù)仍需通過繪制母線節(jié)點(diǎn)阻抗的零極點(diǎn)圖進(jìn)行系統(tǒng)級穩(wěn)定性分析［60］。

華南理工大學(xué)鐘慶教授團(tuán)隊(duì)提出通過分析系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)阻抗矩陣中各傳遞函數(shù)的頻率特性，可以掌握直流配電網(wǎng)的諧振特性［61］。參考文獻(xiàn)［62］和參考文獻(xiàn)［63］指出，單電壓等級多母線分段結(jié)構(gòu)的直流系統(tǒng)特征方程可以從系統(tǒng)回路阻抗矩陣的行列式中獲得，并用以分析系統(tǒng)的低頻穩(wěn)定性。類似地，參考文獻(xiàn)［64］則是采用節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的行列式分析系統(tǒng)的低頻穩(wěn)定性。事實(shí)上，根據(jù)對偶原理，節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣與回路阻抗矩陣的零點(diǎn)均等價于系統(tǒng)特征值［65］，換句話說，系統(tǒng)穩(wěn)定性與振蕩模式分析可以基于節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣，也可以基于回路阻抗矩陣。

9.基于阻抗的雙極性直流系統(tǒng)穩(wěn)定性分析方法

直流系統(tǒng)的接線形式主要有單極性與雙極性兩類，其中單極性系統(tǒng)的直流母線只有正、負(fù)兩極，而雙極性系統(tǒng)則采用三線制，即正、負(fù)極母線和中性線［66］。相較于單極性直流系統(tǒng)一條母線只能提供一個電壓等級V_bus的限制，雙極性直流系統(tǒng)可以同時提供V_bus和2V_bus兩種電壓等級，不但可以適應(yīng)更多電壓等級的設(shè)備接入，而且提高了系統(tǒng)供電的可靠性及靈活性。

現(xiàn)有的直流系統(tǒng)穩(wěn)定性分析方法大都是基于單極性系統(tǒng)所提出的［67］。由于雙極性直流系統(tǒng)采用了電壓平衡器與三線制母線結(jié)構(gòu)，其穩(wěn)定性分析方法與單極性系統(tǒng)有著顯著差異且更為復(fù)雜。目前，國內(nèi)外針對雙極性直流系統(tǒng)的頻域穩(wěn)定性研究較少，較為有代表性是西南交通大學(xué)周國華教授團(tuán)隊(duì)基于阻抗和判據(jù)，提出了不同母線端口的穩(wěn)定條件，研究了不同母線端口穩(wěn)定性的相互影響，并分析了不平衡負(fù)載接入對稱母線可能引起的不穩(wěn)定現(xiàn)象［56-68］。此外，參考文獻(xiàn)［69］采用Middlebrook判據(jù)分析了基于交錯并聯(lián)型電壓平衡器的雙極性直流系統(tǒng)的小信號穩(wěn)定性。