2.1.2 控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念與穩(wěn)定判據(jù)

穩(wěn)定是系統(tǒng)能夠正常工作的首要條件。系統(tǒng)在實際運行過程中，總會受到外界和內(nèi)部一些因素的擾動，例如負載和電源的波動、系統(tǒng)參數(shù)的變化、環(huán)境條件的改變等。系統(tǒng)在擾動作用下都會偏離原平衡狀態(tài)，產(chǎn)生初始偏差。如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，就會在任何微小擾動作用下偏離原來的平衡狀態(tài)，并隨時間的推移而發(fā)散。因此，所謂穩(wěn)定性，是指系統(tǒng)在擾動消失后，由初始偏差狀態(tài)恢復到原平衡狀態(tài)的性能。關(guān)于系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義有多種，上述定義是指系統(tǒng)在平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，由俄國學者李雅普諾夫于1892年提出并沿用至今。根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義如下：

若線性控制系統(tǒng)在初始擾動的影響下，其動態(tài)過程隨時間的推移逐漸衰減并趨于零（原平衡工作點），則稱系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，簡稱穩(wěn)定；反之，若在初始擾動影響下，系統(tǒng)的動態(tài)過程隨時間的推移而發(fā)散，則稱系統(tǒng)不穩(wěn)定。

早在1868年，英國物理學家麥克斯韋在研究離心式調(diào)速器反饋系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題時，就提出了控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：系統(tǒng)特征根全部具有負實部或全部位于s平面虛軸的左側(cè)。這一理論稱為麥克斯韋穩(wěn)定判據(jù)［97］，它教會了人們通過求解特征根來判斷控制系統(tǒng)穩(wěn)定性。

然而，隨著控制系統(tǒng)的日益復雜，系統(tǒng)特征方程的階數(shù)明顯增加，求解特征根的過程變得枯燥、困難且漫長。因此，在工程實踐中，人們迫切希望找到一種不用通過求解特征根，就能快速判斷控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，于是就引出了經(jīng)典控制理論中的幾個頻域穩(wěn)定性判據(jù)。

1.柯西輻角原理

設(shè)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖2.1所示，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為

式中，T（s）為開環(huán)傳遞函數(shù)，也稱為開環(huán)增益。

柯西輻角原理：設(shè)s平面上的一個閉合曲線Γ包圍F（s）的Z個零點和P個極點，則當s沿著閉合曲線Γ順時針運動一周時，F（s）的閉合曲線包圍原點的圈數(shù)R為

式中，R>0和R<0分別表示F（s）的閉合曲線逆時針和順時針包圍原點，R=0表示不包圍原點。

根據(jù)麥克斯韋穩(wěn)定判據(jù)，圖2.1所示控制系統(tǒng)穩(wěn)定要求F（s）沒有右半平面極點或Φ（s）=1+T（s）沒有右半平面零點。由此可見，控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性與傳遞函數(shù)的右半平面零點或極點密切相關(guān)。為此，s平面上的閉合曲線Γ可選擇為圖2.2所示曲線，由正虛軸、負虛軸和半徑為無窮大的半圓弧組成。這樣，如果所研究的傳遞函數(shù)有右半平面的零極點，那么它們必被此曲線所包圍，該閉合曲線也稱為奈氏路徑。需要說明的是，圖2.2給出的閉合曲線Γ沒有考慮虛軸有零極點的情況，針對這一情況參考文獻［98］給出了另一種形式的閉合曲線，這里不再贅述。

基于柯西輻角原理和圖2.2所示的閉合曲線，F（s）的右半平面極點數(shù)P等于F（s）的右半平面零點數(shù)Z與當ω從-∞到+∞變化時F（s）的頻率特性曲線逆時針包圍原點的圈數(shù)R之和；Φ（s）的右半平面零點數(shù)Z等于Φ（s）的右半平面極點數(shù)P減去當ω從-∞到+∞變化時Φ（s）的頻率特性曲線逆時針包圍原點的圈數(shù)R。

2.奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)：控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是開環(huán)傳遞函數(shù)T（s）的奈奎斯特曲線逆時針包圍（-1，j0）點的圈數(shù)R等于其右半平面極點數(shù)P。

需要說明的是，奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)中的圈數(shù)R是基于ω從-∞到+∞變化時T（s）的閉合曲線計算的。由于T（s）的奈奎斯特曲線關(guān)于實軸對稱，因此在實際中可以只繪制ω從0到+∞變化時的T（s），此時得到的曲線定義為T（s）的半閉合曲線Γ_FH，于是，圈數(shù)R的計算公式如下：

式中，N為Γ_FH穿越（-1，j0）點左側(cè)負實軸的等效次數(shù)；N₊為Γ_FH從上向下穿越（正穿越）（-1，j0）點左側(cè)負實軸的次數(shù)；N_-為Γ_FH從下向上穿越（負穿越）（-1，j0）點左側(cè)負實軸的次數(shù)。

根據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)，當控制系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，即開環(huán)傳遞函數(shù)T（s）沒有右半平面極點時，控制系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充分必要條件可進一步簡化為：T（s）的奈奎斯特曲線不包圍（-1，j0）點。相反地，若開環(huán)傳遞函數(shù)T（s）的右半平面極點數(shù)P不等于0，那么控制系統(tǒng)穩(wěn)定必然要求T（s）的奈奎斯特曲線包圍（-1，j0）點，且逆時針包圍的圈數(shù)R等于P。

3.對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)

奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)是基于開環(huán)傳遞函數(shù)T（s）在復平面的半閉合曲線Γ_FH來判定控制系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性，由于奈奎斯特曲線也可以轉(zhuǎn)換為伯德圖，因此相對應地也可以從T（s）的對數(shù)頻率特性上評估系統(tǒng)穩(wěn)定性，其關(guān)鍵在于確定穿越次數(shù)N或N₊和N_-。

圖2.3給出了一個典型傳遞函數(shù)的幅相特性曲線Γ_FH與對數(shù)頻率特性曲線L（ω）和φ（ω），通過對比可得穿越次數(shù)的計算方法如下：

1）正穿越一次：Γ_FH由上向下穿越（-1，j0）點左側(cè)的負實軸一次，等價于L（ω）>0時，φ（ω）由下向上穿越（2k+1）π線一次，其中，k為整數(shù)。

2）負穿越一次：Γ_FH由下向上穿越（-1，j0）點左側(cè)的負實軸一次，等價于L（ω）>0時，φ（ω）由上向下穿越（2k+1）π線一次。

3）正穿越半次：Γ_FH由上向下止于或起于（-1，j0）點左側(cè)的負實軸，等價于L（ω）>0時，φ（ω）由下向上止于或起于（2k+1）π線。

4）負穿越半次：Γ_FH由下向上止于或起于（-1，j0）點左側(cè)的負實軸，等價于L（ω）>0時，φ（ω）由上向下止于或起于（2k+1）π線。