2.1 相關控制理論的基本概念與頻域穩定判據

2.1.1 傳遞函數

一個線性定常控制系統的動態特性一般可以由下述n階微分方程描述：

式中，x（t）和y（t）分別為系統的輸入和輸出變量；a_j（j=1，2，…，M）與b_l（l=1，2，…，K）分別為與系統結構和參數有關的常系數。

設x（t）和y（t）及其各階導數在t=0時的取值均為零，即零初始條件。若對式（2.1）中各項分別求拉普拉斯變換，即可得系統在s域下的動態方程為

式中，Y（s）=L［y（t）］；X（s）=L［x（t）］。

線性定常系統的傳遞函數G（s）定義為零初始條件下，系統輸出變量的拉普拉斯變換與輸入變量的拉普拉斯變換之比，即

傳遞函數可以表示系統將輸入變量轉換為輸出變量的傳遞關系。一般來說，傳遞函數是一個關于復變量s的有理真分式，只取決于系統或元件的結構和參數，而與輸入量的形式無關。

下面介紹與傳遞函數定義相關的幾個概念和術語。

（1）特征方程與特征根

若令傳遞函數G（s）中的分母多項式等于0，即可得傳遞函數的特征方程為

該特征方程的所有解稱為傳遞函數的特征根。

（2）零點和極點

傳遞函數G（s）中的分子多項式和分母多項式經過因式分解后可表示為

式中，z_l為分子多項式的零點，稱為傳遞函數的零點；p_j為分母多項式的零點，稱為傳遞函數的極點，也是傳遞函數的特征根。

在復平面上表示傳遞函數的零點和極點的圖形，稱為傳遞函數的零極點分布圖，圖中一般用“○”表示零點，用“×”表示極點。