1.1.1 量化金融及其發展歷史

量化金融就是使用數學模型來幫助我們理解和預測金融市場的行為。這聽起來可能很抽象，但我們可以通過它的發展歷史來了解它是如何為投資者解決實際問題的。

在20世紀早期，盡管金融市場已經存在了一段時間，但大多數的交易決策都是基于直覺和經驗。這種方法雖然有時有效，但也容易受到情緒的影響，導致非理性的決策。于是，一些先驅者開始嘗試使用數學和統計方法來幫助他們更好地理解市場。

例如，1952年，Harry Markowitz為了解決如何將資金分配到不同的投資中以達到最佳的風險收益比，提出了現代投資組合理論（Modern Portfolio Theory,MPT）。簡而言之，他建議不要將所有的資金投入同一資產中，而是要分散投資，以減少風險。這種思想聽起來似乎不是很直觀，但Markowitz給出了一個明確的數學模型來描述這一點。

其中，Rp為投資組合的預期收益，wn為資產n在投資組合中的權重，E(Rn)為資產n的預期收益。投資組合的方差（一個風險的度量）計算公式為：

其中， Cov( Ri , R j )為資產i和資產j之間的協方差，它衡量的是兩個資產價格變化之間的關系。如果兩個資產的價格通常朝相反的方向移動（一個上漲時另一個下跌），它們的協方差會是負數，這意味著組合這兩個資產可以減少投資組合的整體風險。對于只有兩個資產的投資組合，協方差是關鍵。但在現實中，投資組合通常包含許多資產，這時協方差矩陣就起到了關鍵作用，這個矩陣包含了組合中所有資產之間的協方差。

進入20世紀60年代，William Sharpe帶來了資本資產定價模型（Capital Asset Pricing Model,CAPM），這是一個幫助投資者理解資產收益率與市場整體收益率之間關系的工具。CAPM的核心公式為：

其中，E(Ri)為資產i的預期收益；Rf為無風險利率，通常可以用短期政府債券的收益率作為參考；E(Rm)為市場的預期收益，可以用一個廣泛的市場指數（如S&P 500）的預期收益率作為參考。 βi為資產i的Beta系數，它衡量的是資產i的系統風險。簡單來說，如果β 1i=，那么資產i的預期收益將完全與市場同步；如果β 1i>，則資產i的收益將比市場更加波動；如果β 1i<，則資產i的收益將相對市場更加穩定。這為投資者提供了一個評估資產的風險相對于其潛在收益的方式。Beta系數可以通過以下公式計算。

其中， Cov( Ri , Rm )為資產i與市場收益之間的協方差， Var( Rm )為市場收益的方差。

到了20世紀70年代，Fischer Black和Myron Scholes提出了著名的Black-Scholes模型，為期權定價帶來了一場革命。期權交易在當時非常流行，但如何公正地為期權定價卻是一個大難題。Black和Scholes為此提供了一個解決方案，他們的模型可以基于一系列的變量來預測期權的價值，如資產的當前價格、期權的到期日期和預期的市場波動率。

其中，C為看漲期權價值，S0為資產當前價格，K為期權執行價格，e為自然對數的基數，N為正態分布函數，d1和d2為公式中的變量。

Black-Scholes模型是期權定價理論中的里程碑。由于這個模型的重要性和影響，Myron Scholes和Robert C. Merton（他進一步發展了該模型）在1997年被授予諾貝爾經濟學獎。值得注意的是，盡管Fischer Black是該模型的共同創作者，但由于他在1995年去世，因此沒有與Scholes和Merton一同獲得獎項。諾貝爾獎通常不授予已故的候選人。

Black-Scholes模型為期權和其他衍生品的公平定價提供了一個明確的數學公式。這一模型特別突出，因為在那個時候，衍生品市場還處于發展初期，缺乏一個統一的定價方法。此模型提供了一個系統性的方式來估計一個期權的“公平”價格，從而使交易者、投資者和風險管理者都能在一個公認的框架下操作。

Black-Scholes模型的成功引發了衍生品市場的巨大增長，同時也促進了金融工程學科的發展。

隨著時間的推移，量化金融不僅局限于理論研究，而且開始廣泛應用于實際投資策略，特別是在對沖基金中。比如，到了20世紀80年代，量化金融開始廣泛應用于實際投資，許多對沖基金開始使用量化策略來尋求Alpha收益。20世紀90年代以后，計算機技術的發展和數據獲取的便利為量化金融提供了強大的支持，機器學習和大數據分析也開始在這個領域中發揮作用，幫助投資者更精確地預測市場的行為。

綜上所述，量化金融不僅提供了對金融市場的深入理解，還為投資者帶來了實用的工具和策略，幫助他們在復雜的市場環境中做出明智的決策。