1.2 熱傳導方程及數學基礎

為了在后續的章節中更容易理解焊接變形的有限元計算方法，對焊接傳熱方程及其求解進行簡要說明。

1.2.1 熱傳導方程

常微分方程描述單質點的變化規律，如：某個物體在重力作用下做自由落體運動，下降距離隨時間變化的規律；導彈在發動機推動下在空間飛行的軌跡等。常微分方程，自變量只和時間有關系，和空間位置沒關系。常微分方程一般是把研究對象當成一個質點或者剛體，研究整體的運動規律。線性常微分方程相對比較好求解，可以通過傅里葉變換和拉普拉斯變換將微分方程變成代數方程，進而得出準確的解析解。

對于繁復紛雜的大自然，只用常微分方程是不夠的，因為有些研究對象不能簡化成質點，舉一個典型的例子就是琴弦：琴弦是一個柔性體，在撥彈的時候每個點振動都是不一樣的，一根均勻的弦，假定表示點在某一時刻的位移，取琴弦中一個微元進行力學分析，得到琴弦應遵守的方程為典型偏微分方程。

一維桿中隨時間變化的溫度場，也是很典型的偏微分方程，如式（1-12）所示。可以發現，這個方程的自變量不僅僅是時間，還有空間坐標，把這種方程稱之為偏微分方程。也就是說，偏微分方程能描述連續體的各個點隨時間變化的情況，本質是一種“場”的描述。

對于均勻且各向同性的連續體介質，并且其材料特征值與溫度無關時，在能量守恒原理的基礎上，可得到下面的熱傳導微分方程式：

式中 λ——熱傳導系數；

c——質量比熱容（J/kg·℃）；

ρ——密度（g/mm3）；

Qv——單位體積逸出或消耗的熱能（J）；

?Qv/?t——內熱源強度；

T——溫度（℃）；

t——時間（s）。

定義熱擴散系數α=λ/cρ，并引入拉普拉斯算子▽2，則上式簡化為：

1.2.2 數學基礎

焊接傳熱方程是典型的高階偏微分方程，如式（1-15）所示。首先，讓我們去想象高階導數的幾何意義，一階是斜率，二階是曲率，三階、四階無明顯的幾何意義了；或許，高階導數的幾何意義不是在三維空間里面呈現的，穿過更高維的時空才能俯視它的含義。現在我們只是通過代數證明，發現高維投射到平面上的秘密。還可以這么來思考泰勒公式，泰勒公式讓我們可以通過一個點來窺視整個函數的發展，為什么呢？因為點的發展趨勢蘊含在導數之中，而導數的發展趨勢蘊含在二階導數之中。

人類經過多年的進化，形成了一種不可或缺的分析能力，那就是化繁為簡，比如：人們發現雖然價格千千萬，但總是可以用幾種簡單的數字疊加起來，而1、2和5這三個數字恰恰是10進制里面最簡便的組合。為了“簡單”而進行“分解”，為了更好的“分解”，人類又發明了“正交”的概念。何謂正交呢，它其實脫胎于“垂直”而又有更豐富的內涵。我們知道在垂直坐標系中，三個坐標軸是相互垂直的，這樣的好處是各個軸向之間是獨立的，互不干擾的。當然，這些描述都是定性的，對于嚴謹的數學家和工程師而言，這是不可接受的。于是，又引入了一個新的概念：內積，當內積為零時，兩個量就是正交的。

假如內積不再是一個向量，而是一個函數，會有什么結果？比如我們如果假設公式是兩個函數。只要滿足一定的條件，任何函數都可以用einwt疊加出來。傅里葉變換是將函數分解到頻率不同、幅值恒為1的單位圓上。傅立葉變換是求解熱傳導方程的基本工具，如式（1-16）所示。

傅里葉變換是將函數分解到頻率不同、幅值恒為1的單位圓上；拉普拉斯變換是將函數分解到頻率幅值都在變化的圓上。因為拉普拉斯變換的內積有兩個變量，因此更靈活，適用范圍更廣。傅里葉變換、拉普拉斯變換甚至小波變換等，其本質就是把“不容易處理的函數”變換成“容易處理的函數之疊加”，對于傅里葉變換，這個“容易處理的函數”是正弦函數。傳熱方程的傅里葉展開過程如圖1-16所示。