1.2　不確定性量化學(xué)科簡介

從前述示例中可以看出，不確定性是航空器設(shè)計、石油勘探、地球物理等諸多領(lǐng)域的共性問題。如何從不確定性中尋找規(guī)律，已不再是單一學(xué)科知識可以解決的問題。雖然可以通過概率知識對不確定性予以度量，通過統(tǒng)計方法對不確定性予以削減，但即使在大數(shù)據(jù)時代，高昂的采樣成本和固有的儀器誤差等現(xiàn)實因素依舊存在，因此人們很難從有限的、夾帶噪聲的數(shù)據(jù)中獲取足夠的信息來減少不確定性。

近二十年來，伴隨著計算機性能的提升，基于計算仿真模型的研究成果已廣泛應(yīng)用于諸多領(lǐng)域，該方式也逐漸成為研究不確定性的主要方式。國際學(xué)術(shù)與工程界隨之興起了不確定性量化（uncertainty quantification）這一新型交叉學(xué)科，美國學(xué)術(shù)出版機構(gòu)貝格（Begell House）于 2011 年首次創(chuàng)辦了該領(lǐng)域的專業(yè)學(xué)術(shù)期刊 International Journal for Uncertainty Quantification（《國際不確定性量化期刊》）。不確定性量化涉及的統(tǒng)計方法、隨機空間的建模理論也引起了數(shù)學(xué)這一基礎(chǔ)學(xué)科的重視。美國國家科學(xué)研究委員會（United States National Research Council，NRC）經(jīng)過長期全面的調(diào)研，在 The Mathematical Sciences in 2025（《2025 年的數(shù)學(xué)科學(xué)》）一書中強調(diào)，不確定性量化“通過計算機仿真，實現(xiàn)對現(xiàn)實復(fù)雜系統(tǒng)的精確建模和狀態(tài)預(yù)測”[5]。為了進一步推動不確定性量化的理論研究和應(yīng)用推廣，美國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會（Society for Industrial and Applied Mathematics，SIAM）正式成立了不確定性量化委員會，于2013年開創(chuàng)了兩年一屆的專業(yè)學(xué)術(shù)會議 “SIAM Conference on Uncertainty Quantification”（SIAM 不確定性量化會議），并于同年和美國統(tǒng)計協(xié)會（American Statistical Association, ASA）聯(lián)合創(chuàng)辦了學(xué)術(shù)期刊 SIAMASA Journal on Uncertainty Quantification（《SIAM-ASA 不確定性量化期刊》），發(fā)表本領(lǐng)域的前沿理論成果。至今，不確定性量化已成為應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域最重要的研究方向之一。

不確定性作為諸多學(xué)科的共性問題，其量化研究具有鮮明的多學(xué)科交叉特性。不確定性量化方法的起點和終點是自然科學(xué)與工程技術(shù)中的實際問題，其解決工具是數(shù)學(xué)算法，載體是計算仿真軟件，因此，“有效的不確定性量化研究需要一支由應(yīng)用領(lǐng)域?qū)＜摇?shù)學(xué)家、計算機工程師的跨學(xué)科團隊”[5]。從誕生之日起，不確定性量化的學(xué)科交叉性就使它成為最活躍、參與性最廣泛的學(xué)科之一。該學(xué)科首個專業(yè)學(xué)術(shù)期刊 International Journal for Uncertainty Quantification 的編委會由數(shù)學(xué)、流體力學(xué)、集成電路、機械、結(jié)構(gòu)等領(lǐng)域的專家學(xué)者組成。SIAM 的專業(yè)學(xué)術(shù)會議——SIAM Conference on Uncertainty Quantification更是每一屆都吸引著全球近千名專業(yè)人士的參與。不確定性量化涵蓋概率、隨機過程、貝葉斯分析、微分方程、數(shù)值逼近、圖論與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)、遍歷理論、測度論等多個數(shù)學(xué)分支的研究。

鑒于不確定性量化的廣泛應(yīng)用及其對國家科技實力、國防安全和經(jīng)濟發(fā)展的重大影響，各國政府和世界 500 強企業(yè)都非常重視這一學(xué)科。美國能源部、國防部高級研究計劃局、國家科學(xué)基金會、國家核安全管理局都設(shè)立了專項經(jīng)費，通過與高校、實驗室成立聯(lián)合工作組，在環(huán)境保護、核材料埋存、電路設(shè)計、飛機研發(fā)、智能電網(wǎng)等領(lǐng)域開展了富有成效的基礎(chǔ)研究。美國石油巨頭之一雪佛龍公司為降低油層勘探與開采成本，先后開發(fā)了多款不確定性量化工具。歐洲最大的航空發(fā)動機企業(yè)之一羅爾斯-羅伊斯公司專門成立了不確定性量化辦公室，為發(fā)動機葉片的優(yōu)化設(shè)計提供更加高效的計算工具。全球十大防務(wù)公司之一的英國 BAE 系統(tǒng)公司更是投人了巨資開展理論與方法研究，以期提高后摩爾時代宇航級芯片產(chǎn)品的可靠性。世界銀行等國際金融機構(gòu)也通過量化分析受貸方的各類不確定性因素，綜合評估貸款項目的金融風(fēng)險。

不確定性量化研究在我國也發(fā)展迅速。中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院、北京應(yīng)用物理與計算數(shù)學(xué)研究所、南方科技大學(xué)、上海交通大學(xué)、東南大學(xué)、同濟大學(xué)等多所科研院所和高校已陸續(xù)建立相關(guān)團隊。中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會于 2016 年正式成立了不確定性量化專業(yè)委員會，旨在通過主辦國際國內(nèi)學(xué)術(shù)會議、暑期學(xué)校，組織專題工作組等方式推進基礎(chǔ)研究，凝聚、培養(yǎng)本領(lǐng)域的青年后備人才。

在計算仿真中，認知不確定性主要來源于參數(shù)、模型和計算 3 個方面。人們對現(xiàn)實世界的認知來源于對物理、生物、化學(xué)等現(xiàn)象的觀測。隨著觀測數(shù)據(jù)的累積，人們可以借助統(tǒng)計、數(shù)學(xué)等理論工具，建立數(shù)學(xué)模型來量化描述數(shù)據(jù)背后的客觀規(guī)律。但是，這些數(shù)據(jù)所代表的參數(shù)往往具有較強的時空波動性（異質(zhì)性），需要大量樣本才可實現(xiàn)精準量化。受限于采樣技術(shù)、采樣成本、采樣精度、數(shù)據(jù)傳遞等客觀因素，觀測數(shù)據(jù)與真實狀態(tài)之間不可避免地存在誤差，這也使數(shù)學(xué)模型中的參數(shù)呈現(xiàn)出一定的不確定性。同時，由于認知的局限性與個體的差異性，人們對同一個現(xiàn)象可能會有不同的解讀和不同的近似簡化，這就造成了每個數(shù)學(xué)模型都存在模型誤差；對于同一規(guī)律，不同模型也引入了模型選取的不確定性。伴隨著科技的進步，人們建立的數(shù)學(xué)模型愈加完善，觀測樣本愈加豐富，但是模型復(fù)雜度、數(shù)據(jù)樣本量也相應(yīng)大幅攀升，需要借助計算仿真的手段對現(xiàn)實問題進行預(yù)測。但數(shù)值計算需要將構(gòu)建在連續(xù)空間上的數(shù)學(xué)模型離散處理，例如將微分近似為求差，將積分簡化為求和。這些在連續(xù)空間上的離散處理勢必會引入數(shù)值誤差，而不同的數(shù)值格式會進一步加重計算不確定性。上述來自參數(shù)、模型和計算的不確定性直接影響著人們對系統(tǒng)狀態(tài)的預(yù)測和決策，如圖1.3所示。

圖1.3　系統(tǒng)預(yù)測中可能的不確定性來源[6]

不確定性量化方法可以概括為概率框架和非概率框架兩大體系。本書聚焦概率框架。在此框架下，不確定性變量可建模為隨機變量或隨機過程，該變量不僅定義于原有的時空間維度，同樣也在概率空間中變化。包含這些變量的數(shù)學(xué)模型也可建模為隨機系統(tǒng)，而新模型的解（輸出）為原系統(tǒng)狀態(tài)的概率密度函數(shù)或累積分布函數(shù)等統(tǒng)計信息。相較于經(jīng)典的隨機微分方程，上述不確定性系統(tǒng)的隨機輸入來源于實際測量數(shù)據(jù)，反映了一定的時空關(guān)聯(lián)性[7]。因此，基于維納過程、泊松過程等理想化過程的經(jīng)典隨機分析數(shù)學(xué)方法并不直接適用于此類隨機系統(tǒng)。

參數(shù)不確定性的量化及隨機系統(tǒng)狀態(tài)的預(yù)測一直是不確定性量化研究的焦點。經(jīng)過幾十年的發(fā)展，參數(shù)不確定性量化方法發(fā)展為非嵌入式(如蒙特卡洛方法等統(tǒng)計類方法）和嵌入式(如統(tǒng)計矩微分方程法、分布法等隨機數(shù)學(xué)類方法）兩類。

1. 非嵌入式參數(shù)不確定性量化方法

蒙特卡洛方法（Monte Carlo method）是一種常用的非嵌入式參數(shù)不確定性量化方法。蒙特卡洛方法根據(jù)隨機參數(shù)的概率分布，產(chǎn)生一組相互獨立的隨機樣本，再通過將隨機樣本代入原隨機系統(tǒng)，對每個樣本進行仿真來獲得相應(yīng)結(jié)果。隨著樣本數(shù)量的增加，仿真結(jié)果的統(tǒng)計信息會逐漸接近真實分布。蒙特卡洛方法相當于獨立、重復(fù)地求解原數(shù)理方程，可利用原有仿真框架開展并行運算，得到了廣泛應(yīng)用，但是其較慢的收斂速度可能引入高昂的計算成本，故多用于均值、方差等低階統(tǒng)計矩的求解。為了提升收斂速度，人們陸續(xù)開發(fā)了拉丁超立方采樣 [8] 、準蒙特卡洛方法 [9] 、多級蒙特卡洛方法 [10]等擴展方法，但在應(yīng)用上仍然有一定局限性。

2. 嵌入式參數(shù)不確定性量化方法

以下是幾種常用的嵌入式不確定性量化方法。

（1）攝動法

攝動法（perturbation method）將隨機域在其均值附近進行有限項的泰勒展開，已被廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)與工程技術(shù)領(lǐng)域 [11] 。在使用中，由于高階項會造成求解系統(tǒng)異常復(fù)雜，故多限于二階泰勒展開。攝動法適用于小尺度的隨機擾動問題，且隨機輸入和輸出的總維度通常小于 10 ，以避免放大不確定性。

（2）算子法

算子法（operator-based method）類似于攝動法。它基于原系統(tǒng)數(shù)理控制方程的隨機算子，包含諾伊曼展開 [12] 和加權(quán)積分 [13] ，但無法考慮過高的隨機維度，且強烈依賴于控制方程算子，故更適用于靜態(tài)（低維）不確定性問題。

（3）統(tǒng)計矩微分方程法

統(tǒng)計矩微分方程（moments differential equation）法的核心目標是求解系統(tǒng)狀態(tài)的均值、方差等統(tǒng)計矩信息 [14] 。通過對原數(shù)理方程進行隨機平均運算，可推導(dǎo)出系統(tǒng)狀態(tài)各階統(tǒng)計矩的控制方程。但是，在推導(dǎo)過程中，低階統(tǒng)計矩的控制方程往往需要高階統(tǒng)計矩信息，進而產(chǎn)生閉包問題，需要額外信息或近似假設(shè)作為求解條件。統(tǒng)計矩微分方程法通常適用于線性問題。

（4）分布法

分布法（method of distribution）也稱 PDF 方法或 CDF 方法，源于統(tǒng)計物理 [15] 和流體力學(xué) [16] 。該方法引入目標系統(tǒng)狀態(tài)的精細概率密度函數(shù)或精細累積分布函數(shù)，旨在推導(dǎo)新函數(shù)的控制方程，從而求解目標系統(tǒng)狀態(tài)的概率密度函數(shù)（probability density function, PDF）或累積分布函數(shù)（cumulative distribution function, CDF），以獲取全部統(tǒng)計信息。近年來，隨著數(shù)值算法框架的改進，分布法可以與統(tǒng)計類方法結(jié)合使用，以獲取系統(tǒng)狀態(tài)的概率分布信息 [17-20] ，對隨機常微分方程（組）和隨機雙曲型方程系統(tǒng)具有較好的效果。

（5）廣義多項式混沌法

廣義多項式混沌（generalized polynomial chaos）法將目標解表現(xiàn)為隨機參數(shù)的正交多項式展開。此處的 “混沌” 概念不同于動力系統(tǒng)中的混沌現(xiàn)象，最早指代混沌多項式逼近理論，由維納于1938年首次提出 [1] 。加尼姆（Roger G. Ghanem）和斯帕諾斯（Pol D. Spanos）隨后將多項式混沌與有限元方法相結(jié)合，將埃爾米特多項式(Hermite polynomial）用于高斯隨機過程的正交基函數(shù)，開啟了該方法在不確定性量化上的應(yīng)用 [21] 。為了提高多項式混沌在非高斯參數(shù)上的收斂速度和近似效果，修東濱（Dongbin Xiu）和卡尼亞達克斯（George Em Karniadakis）對其進行了泛化 [22] ，建立了可處理任意類型隨機參數(shù)輸入的廣義多項式混沌法 [23] 。該方法可以通過嵌入或非嵌入的方式實現(xiàn)，被廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)與工程技術(shù)領(lǐng)域。

除了不確定性的正向傳播與量化，人們同樣關(guān)心反問題中的不確定性，希望通過對原正向系統(tǒng)狀態(tài)的測量，獲取系統(tǒng)的輸入信息。例如，在新材料研發(fā)中，科學(xué)家通過電鏡測量合金材料中各類元素的擴散距離，從而估測該材料的互擴散系數(shù)；在集成電路制造中，晶圓廠通過對測試芯片進行電學(xué)特性測量，優(yōu)化產(chǎn)線配置，從而提高芯片的成品率。由于原正向系統(tǒng)的輸出信息和所需求解的輸入信息往往不匹配，此類反問題的解通常有多種可能，呈現(xiàn)出一定分布。為此，人們開發(fā)了貝葉斯推理、馬爾可夫鏈蒙特卡洛方法、壓縮感知、雙濾波同化等方法予以解決。

綜上所述，不確定性量化研究的目標是提高仿真計算的預(yù)測能力，為科學(xué)決策提供全面準確的信息。由于現(xiàn)實問題中的不確定性來源眾多，隨機輸入所帶來的高維逼近嚴重加劇了數(shù)學(xué)模型計算的復(fù)雜性，所引發(fā)的維數(shù)災(zāi)難不僅是科學(xué)計算的巨大挑戰(zhàn)，也是不確定性量化研究的核心難點。隨著大數(shù)據(jù)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、存算一體等技術(shù)的飛速發(fā)展，筆者相信不確定性量化研究可有效汲取這些新興領(lǐng)域的優(yōu)點，通過與稀疏格點、擬蒙特卡洛方法、敏感性分析與降維等現(xiàn)有方法的結(jié)合，共同緩解維數(shù)災(zāi)難，推動科學(xué)計算向著更高、更快、更準的目標前進。