1.7　考慮余數

我：“我把你無法接受的地方寫出來吧。”

由梨的疑問

設為大于或等于0的整數（=0、1、2、3……）。

① 若為3的倍數，則加上另一個3的倍數，仍是3的倍數；

② 若不為3的倍數，則加上一個3的倍數，仍不是3的倍數。

由梨：“嗯，正是如此。我知道這是對的，但我無法‘瞬間了解’。”

我：“你想想除以3的余數吧。”

由梨：“余數，除以3的余數？”

我：“沒錯，就是余數。除以3，余數有3種可能吧？即0、1與2。”

由梨：“‘余數為0’是指‘沒有余數’，一般把這種情況稱為‘整除’吧？”

我：“是啊，一般會這么說。總之，除以3有3種可能。”

由梨：“嗯。”

我：“我們用圖來表示這些可能的情況吧。”

由梨：“這是什么啊？”

我：“先畫3座‘島’，分別命名為0之島、1之島、2之島。再將0、1、2、3等數按照以下方式，放入這些島。”

● 除以3，余數為0的數，放入0之島。

● 除以3，余數為1的數，放入1之島。

● 除以3，余數為2的數，放入2之島。

由梨：“哦……”

我：“如此一來，0被放入0之島，1被放入1之島，2被放入2之島。”

由梨：“嗯。”

我：“3被放入哪座島呢？沒有3之島哦！”

由梨：“3被放入0之島，因為3除以3的余數是0。”

我：“沒錯，3被放入0之島，4被放入1之島，5被放入2之島……”

由梨：“我知道了，你不用再說了，就是從0之島、1之島到2之島，將數依序放入這3座島，形成循環(huán)吧？”

我：“沒錯。”

由梨：“只要加1，數就會跑到下一座島。”

我：“沒錯，按照箭頭的方向循環(huán)，由圖可知，一個數加3，會留在原來的島上。”

由梨：“啊，真的呢！因為加了3次1，所以會回到原來的島。”

我：“這樣想即可‘瞬間了解’。”

由梨：“咦？對呢！‘某數加上3的倍數’，雖然可能循環(huán)了好幾圈，但還是會回到原來的島。”

我：“沒錯，加上3的倍數代表加了好幾次3。因為加上3的倍數，數仍會留在原來的島，所以‘不會影響它原本是否為3的倍數’。”

由梨：“我完全明白。某數加上3的倍數，不會改變這個數是否為3的倍數的性質，加上3不會改變，加上6和9也不會……”

我：“小于1000的數證明完畢。我剛才說要進行更一般化的證明吧？數學有趣的地方現在才開始，聽好了。”

由梨：“等一下，哥哥。”

我：“哎呀，又怎么了？”