1.2　圓桌問題

蒂蒂：“前陣子，我在電視上看到一家餐館內的擺設。”

我：“嗯。”

蒂蒂：“其中一張圓桌上面有 Lazy Susan……”

我：“Lazy Susan 是什么啊？”

蒂蒂：“就是圓桌上可以轉來轉去的旋轉臺。”

我：“哦……原來那個東西叫作 Lazy Susan 啊！”

蒂蒂：“客人會圍坐在圓桌周圍。”

我：“是啊，圍著圓桌吃飯。”

蒂蒂：“圍坐在圓桌周圍，客人可以和旁邊的客人聊天，不過要是座位相隔遠一點兒，交談不是很不方便嗎？”

我：“沒錯。”

蒂蒂：“如果想和所有人都說話，只能常常換座位啰！于是我產生了一個想法，以餐館的圓桌為例，要是有 5 個人圍繞圓桌坐成一圈，共有幾種入座方式呢？”

問題 1（圓桌問題）

一張圓桌，有 5 個座位。5 個人欲坐在這些座位上，共有幾種入座方式呢？

我：“原來如此，這個問題啊……”

蒂蒂：“學長，請等一下。”

我：“咦？”

蒂蒂：“學長，不要馬上告訴我答案哦！”

我：“好好好，你是怎么想的呢？”

蒂蒂：“試著將 5 個人排排看，算算總共有幾種可能的排列方式。”

我：“哦！”

蒂蒂拿出筆記本。

蒂蒂：“就像這樣，不過算到一半的時候變得有點兒混亂……”

蒂蒂的筆記

我：“我明白了。你想用窮舉法，把所有可能都列舉出來。這是可行方法之一。”

蒂蒂：“是的。”

我：“可是，你是否按照一定的順序來計算可能的情形了呢？”

蒂蒂：“有啊！假設有 A、B、C、D、E 這 5 個人坐在圓桌旁，畫成示意圖就像這樣。首先，讓 A、B、C、D、E 按順時針方向入座。”

（1）5 人按順時針方向入座

我：“嗯，基本上沒錯。請問：A 和 B 之間的連接是什么意思呢？”

蒂蒂：“這條線表示接下來要將這兩個人的座位對調。A 和 B的座位對調，就是另一種入座方式，所以變成下面的（2）。”

（2）將 A 和 B的座位對調

我：“這樣啊……嗯。”

蒂蒂：“其次，考慮 A 和 B 不相鄰的情況，假設 A 和 B 之間夾了 C，變成（3）的情形。”

（3）A 和 B 之間夾著 C

我：“嗯，沒錯。”

蒂蒂：“然后和剛才一樣，再將這兩個人的座位對調，得到（4）。”

（4）將 A 和 B的座位對調

我：“蒂蒂……”

蒂蒂：“接下來，考慮 A 和 B 之間夾了 C 和 D的情形，也就是（5），然后，再將這兩個人的座位對調，得到（6）。”

（5）A 和 B 之間夾著 C 和 D

（6）將 A 和 B的座位對調

我：“蒂蒂，可是……”

蒂蒂：“不過，當我想在 A 和 B 之間夾進 C、D、E 時，也就是（7）的時候，發現了一件事。”

（7）A 和 B 之間夾著 C、D、E

我：“……”

蒂蒂：“（7）的入座方式從另一個角度看，和（2）的入座方式一模一樣。”

（7）和（2）的入座方式完全相同

我：“是啊，這種解題方式不太好，會重復計算哦！”

蒂蒂：“沒錯，學長說得對，這種解題方式并不好。我原本以為只要讓夾在 A 和 B 之間的人數逐漸增加，就可以列出所有可能的情形。沒想到圓桌居然是陷阱。一不小心，同樣的入座方式就會重復出現。”

我：“正是如此。逐漸增加人數這個想法不錯，但是出現重復情形就麻煩了。”

蒂蒂：“于是，我就被困在這里。碰到這種情況的時候，要怎樣思考才能找到答案呢？怎么做才能真正解出數學題的答案呢？”

蒂蒂看向我，睜大她的眼睛，等待我的回答。

我：“嗯……這么說吧，蒂蒂，能解答所有數學題的萬能解題法，并不存在。”

蒂蒂：“啊，這么說也是啦，不好意思。但這樣一來，不就需要把各種解題方式全部死記硬背下來才行嗎？這樣在我們碰到不同的數學題時，才有辦法解答。不過，要把所有解題方式都背下來實在有點兒困難……”

我：“嗯，相當困難。能解答所有數學題的萬能解題法并不存在，當然，也不可能把所有數學題的解題方式都背下來。”

蒂蒂：“沒錯，就是這個意思。萬能的工具不僅不存在，把所有工具都收集齊全也很困難，那該怎么辦才好呢？”

我：“我說蒂蒂啊，這個想法會不會太極端呢？你想到的解題方式過于極端，實際的情形常常介于兩者之間。”

蒂蒂：“這是什么意思呢？”

我：“解數學題的時候，通常不會只用到死記硬背的解題方式。當然，還是會用到記憶中的解法，把自己以前所有的解題經驗全拿來試試看。但解題時，必須詳讀題目、理解敘述、整理解題條件……這樣才能逐漸推導、得到答案哦！”

蒂蒂：“聽起來好復雜哦……”

我：“把某些解題方式死記硬背下來是一個辦法，不過如何運用這些解題方式很重要。在數學家波利亞的《怎樣解題》這本書中，提到許多解題方式。至于我自己的解題經驗嘛，只是許多順利解答與被難題困住解不出來的經驗而已。真要說的話，我在解題的時候，常常會這樣對自己‘提問’。”

● 仔細閱讀題目了嗎？

● 能試著舉一個例子嗎？舉例說明，驗證自己是否理解。

● 能試著作圖嗎？

● 能整理成表格嗎？

● 能為未知事物命名嗎？

● 是否考慮到所有狀況？有沒有遺漏？

● 有沒有類似的東西？

● 會不會覺得“如果那樣就好了”？

● 反過來想又會怎么樣呢？

● 如果數太大，想想看數小的情況怎么樣？

● 遇到極端的情形該怎么辦？

● 再重新仔細閱讀一遍題目。

蒂蒂：“原來如此……學長所說的‘提問’，雖然聽起來很抽象，實際卻很具體。和直接解答相比，這些提問好像很抽象，但就對自己的要求而言，卻是很具體的提問。”

蒂蒂一邊點頭一邊說，很快接受了我的說法。

我：“沒錯。面對題目的時候，這樣的‘提問’很有效。在解題時，自問自答是很有用的方法。”