2.1.2 量詞

根據前面的敘述，當命題函數中所有變元均被賦值后，命題函數才成為命題。當把命題函數中的所有變元都量化后，也可使命題函數成為命題。例如：

1）這家公司所有員工都喜歡鍛煉。

2）這家公司某些員工喜歡鍛煉。

這兩句都是命題，除了有個體詞和謂詞外，還有表示數量的詞。這兩句的個體詞和謂詞相同，個體域都是這家公司的員工。將個體域的每個個體代換個體變元后，可以判斷其真假。當1）中每個個體代換后均為真，該命題的真值才為1，只要有一個個體代換后為假，該命題的真值就是0。當2）中有一個或多個個體代換后為真，該命題的真值就是1，只有當每個個體代換后均為假，該命題的真值才為0。因此，將這兩個命題符號化時要使用表示數量的詞。

定義2.1.5 表示個體常元或個體變元之間數量關系的詞稱為量詞。量詞有兩種。

1）全稱量詞 符號為“?”，?x表示對個體域“所有的x”“每一個x”“一切x”等。

2）存在量詞 符號為“?”，?x表示個體域中“存在這樣的x”“某個x”“至少有一個x”或“有一些x”等。

?xF（x）表示個體域中所有個體都有性質F，?xF（x）表示個體域中存在個體有性質F。

例2.1.4 假設F（x）表示x喜歡鍛煉，x的個體域是某家公司的員工，將上面的命題符號化。

解 1）這家公司所有員工都喜歡鍛煉，可符號化為?xF（x）。

2）這家公司某些員工喜歡鍛煉，可符號化為?xF（x）。

?

這個例題中，F（x）是命題函數，?xF（x）和?xF（x）是命題。也就是說，命題可以通過將命題函數中的個體變元量化得到。

在使用量詞時，不同的個體域中命題符號化的形式可能不一樣。一般來說，沒有特別說明時，以全總個體域為個體域。例如上面的例題中，當個體域是全總個體域時，1）不能符號化為?xF（x），因為用宇宙中一切事物代換個體變元時，該命題的真值不為1。2）也不能符號化為?xF（x），因為在宇宙的一切事物中存在具有性質F的個體，但這和題意是不相符的。原因是這兩個命題的個體域只是全總個體域的子集。因此，需要引入一個新的謂詞表示個體的取值范圍。稱這個表示個體范圍的謂詞為特性謂詞。在命題符號化時，一定要正確使用特性謂詞。

在例2.1.4中，如果個體的取值范圍是全總個體域，則設特性謂詞S（x）表示x是這個公司的員工，這樣，1）符號化為?x（S（x）→F（x）），2）符號化為：?x（S（x）∧F（x））。

注意：在使用全稱量詞時，表示個體范圍的特性謂詞和表示個體性質的謂詞構成條件關系式；在使用存在量詞時，表示個體范圍的特性謂詞和表示個體性質的謂詞構成合取關系式。

例2.1.5 個體域分別為人類集合、全總個體域，將下列命題符號化，并給出它們的真值。

1）人類都呼吸。

2）有的人用左手。

解 假設F（x）表示x呼吸，G（x）表示x用左手寫字。

（1）個體域為人類集合

1）符號化為?xF（x），真值為1。

2）符號化為?xG（x），真值為1。

（2）個體域為全總個體域

因為全總個體域里包括人以外的東西，所以我們在這里引入謂詞A（x）：x是人類。

1）符號化為?x（A（x）→F（x）），真值為1。

2）符號化為?x（A（x）∧G（x）），真值為1。

?

例2.1.6 用謂詞邏輯將下列命題符號化。

1）所有的教練員都是運動員。

2）這個班有些學生有智能手機。

3）沒有不愛學習的華工人。

4）并非每個實數都是有理數。

5）某些大學生運動員是國家運動員。

6）有些大學生不欽佩運動員。

解 1）設A（x）表示x是教練員，B（x）表示x是運動員。則原命題可符號化為

?x（A（x）→B（x））

2）設A（x）表示x是這個班的學生，B（x）表示x有智能手機。則原命題可符號化為

?x（A（x）∧B（x））

3）設A（x）表示x是華工人，B（x）表示x愛學習，命題可符號化為

4）設A（x）表示x是實數，B（x）表示x是有理數。則原命題可符號化為

5）設A（x）表示x是大學生，B（x）表示x是運動員，C（x）表示x是國家選手。則原命題可符號化為

?x（A（x）∧B（x）∧C（x））

6）設A（x）表示x是大學生，B（y）表示y是運動員，C（x，y）表示x欽佩y。則原命題可符號化為

?x（A（x）∧ ?y（B（y）→C（x，y）））

?

以上各題中論述域都是全總個體域，因而都要引入特性謂詞表示個體的取值范圍。在全稱量詞后面的是表示個體范圍的謂詞和表示個體特征的謂詞構成的條件式，在存在量詞后面的是表示個體范圍的謂詞和表示個體特征的謂詞構成的合取式。命題1）不可以表示成?x（A（x）∧B（x）），因為?x（A（x）∧B（x））表示所有的x都是正整數并且大于0，和題意不符。命題2）不能表示成?x（A（x）→B（x）），因為不是這個班的有智能手機的學生代入也可使A（x）→B（x）為真。

當論述域中的元素個數有限時，例如，論述域為n個元素的集合{a₁，a₂，a₃，…，a_n}時，有

?xA（x）?A（a₁）∧A（a₂）∧A（a₃）… ∧A（a_n）

?xA（x）?A（a₁）∨A（a₂）∨A（a₃）… ∨A（a_n）

例2.1.7 假設個體域為D={-2,3,6}，謂詞F（x）:x≤3，G（x）:x>5，R（x）:x≤7，求下列各式的真值：

1）?xF（x）

2）?xF（x）

3）?x（F（x）∧G（x））

4）?x（R（x）→F（x））∨G（5）

5）?x（F（x）∨G（x））

解 1）?xF（x）

?F（-2）∧F（3）∧F（6）

?1∧1∧0

?0

所以?xF（x）為假。

2）?xF（x）

?F（-2）∨F（3）∨F（6）

?1∨1∨0

?1

所以?xF（x）為真。

3）?x（F（x）∧G（x））

?（F（-2）∧G（-2））∧（F（3）∧G（3））∧（F（6）∧G（6））

?（1∧0）∧（1∧0）∧（0∧1）?0

所以?x（F（x）∧G（x））為假。

4）?x（R（x）→F（x））∨G（5）

?（（R（-2）→F（-2））∧（R（3）→F（3））∧（R（6）→F（6）））∨0

?（1→1）∧（1→1）∧（1→0）

?0

所以?x（R（x）→F（x））∨G（5）為假。

5）?x（F（x）∨G（x））

??xF（x）∨?xG（x）量詞分配等價式

?（F（-2）∨F（3）∨F（6））∨（G（-2）∨G（3）∨G（6））

?（1∨1∨0）∨（0∨0∨1）?1

所以?x（F（x）∨G（x））為真。

?

根據上面的例題，可以得出如下結論。

1）在不同的個體域內，同一個命題的符號化形式可能不同，也可能相同。

2）同一命題，在不同的個體域中的真值可能不同，也可能相同。

3）全稱量詞后跟的是由特性謂詞和謂詞組成的條件式，存在量詞后跟的是由特性謂詞和謂詞組成的合取式。

4）P（x）不是命題，當x用個體常元代替，或用量詞量化為?xP（x）和?xP（x）時，則成為命題。

5）對含多個個體變元的命題函數，要對每一個個體變元量化或用個體常元代換，才能轉變為命題。因而，會同時出現多個量詞。除非所有量詞都是全稱量詞或存在量詞，否則，在多個量詞同時出現時，不能隨意顛倒量詞的順序，顛倒后會改變原命題的含義。

例2.1.8 對個體域{1，2}，判定下列公式的真值，E（x）表示“x是偶數”。

1）

2）

3）?x（E（x）∧x=1）

4）?x（E（x）→x=1）

解 1）第一個命題的含義是對于任意x，如果x是偶數，則x不等于1，個體域中只有2是偶數，為真命題。

2）第二個命題的含義是存在x為偶數，且x不等于1。2滿足條件，所以這是真命題。

3）第三個命題的含義是對于任意x，x都是偶數且等于1，這顯然是錯誤的，是假命題。

4）第四個命題的含義為對于任意x，如果x為偶數，則x等于1，當x為1時，E（1）→1=1為真，當x為2時，E（2）→2=1為假，所以此命題為假。

?